Chapitre 5 — Suites numériques · coursVIII Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

D'où vient le quotient ? Une suite est croissante quand $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ ; si ses termes sont strictement positifs, on peut diviser par $u_{n}$ .

u_{n + 1}

⩾ u_{n}

la suite est croissante (définition 5)

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

⩾ \frac{u _{n}}{u _{n}}

on divise par

u_{n} > 0

: le sens ne change pas

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

⩾ 1

\frac{u _{n}}{u _{n}} = 1

Comparer $u_{n + 1}$ à $u_{n}$ revient donc à comparer le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ ; de même, $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ donne $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} ⩽ 1$ .

Propriété 2 — Comparer le quotient à 1

Si tous les termes de la suite $(u_{n})$ sont strictement positifs :

si, pour tout $n$ , $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} ⩾ 1$ , alors $(u_{n})$ est croissante ;
si, pour tout $n$ , $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} ⩽ 1$ , alors $(u_{n})$ est décroissante.

Cette méthode convient quand $u_{n}$ est un produit, en particulier avec une puissance $3^{n}$ , $0, 5^{n}$ … : le quotient se simplifie.

Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient

Exemples corrigés

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$u_{n} = 5 \times 3^{n}$ pour tout entier naturel $n$ .
b)
$v_{n} = 8 \times 0, 5^{n}$ pour tout entier naturel $n$ .
c)
$w_{n} = \frac{2 ^{n}}{n}$ pour tout entier $n ⩾ 1$ .

Correction

5 > 0

3^{n} > 0

, donc

u_{n} > 0

pour tout

n

on vérifie d'abord le signe des termes

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

= \frac{5 \times 3 ^{n + 1}}{5 \times 3 ^{n}}

on recopie

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

= \frac{5 \times 3 \times 3 ^{n}}{5 \times 3 ^{n}}

3^{n + 1} = 3 \times 3^{n}

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

= 3

3 > 1

: la suite

(u_{n})

est strictement croissante.

chaque terme est le triple du précédent

8 > 0

0, 5^{n} > 0

, donc

v_{n} > 0

pour tout

n

signe des termes

\frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

= \frac{8 \times 0 , 5 ^{n + 1}}{8 \times 0 , 5 ^{n}}

on recopie

\frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

= 0, 5

même simplification qu'en a)

0, 5 < 1

: la suite

(v_{n})

est strictement décroissante.

chaque terme est la moitié du précédent

Pour

n ⩾ 1

2^{n} > 0

n > 0

, donc

w_{n} > 0

signe des termes

\frac{w _{n + 1}}{w _{n}}

= \frac{2 ^{n + 1}}{n + 1} \times \frac{n}{2 ^{n}}

diviser par

w_{n}

, c'est multiplier par son inverse

\frac{w _{n + 1}}{w _{n}}

= \frac{2 \times 2 ^{n} \times n}{( n + 1 ) \times 2 ^{n}}

2^{n + 1} = 2 \times 2^{n}

\frac{w _{n + 1}}{w _{n}}

= \frac{2 n}{n + 1}

On compare ce quotient à

1

par une différence :

signe de

\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} - 1

\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} - 1

= \frac{2 n}{n + 1} - \frac{n + 1}{n + 1}

1 = \frac{n + 1}{n + 1}

\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} - 1

= \frac{2 n - n - 1}{n + 1}

\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} - 1

= \frac{n - 1}{n + 1}

Pour

n ⩾ 1

n - 1 ⩾ 0

n + 1 > 0

, donc

\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} ⩾ 1

. La suite

(w_{n})

est croissante.

w_{1} = w_{2} = 2

, puis elle augmente

À vous de jouer

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$a_{n} = 4 \times 2^{n}$ pour tout entier naturel $n$ .
b)
$b_{n} = 6 \times 0, 8^{n}$ pour tout entier naturel $n$ .
c)
$c_{n} = \frac{3 ^{n}}{n}$ pour tout entier $n ⩾ 1$ .

Correction

4 > 0

2^{n} > 0

, donc

a_{n} > 0

pour tout

n

signe des termes

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

= \frac{4 \times 2 ^{n + 1}}{4 \times 2 ^{n}}

on recopie

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

= \frac{4 \times 2 \times 2 ^{n}}{4 \times 2 ^{n}}

2^{n + 1} = 2 \times 2^{n}

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

= 2

2 > 1

(a_{n})

est strictement croissante.

quotient supérieur à

1

6 > 0

0, 8^{n} > 0

, donc

b_{n} > 0

pour tout

n

signe des termes

\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}

= \frac{6 \times 0 , 8 ^{n + 1}}{6 \times 0 , 8 ^{n}}

on recopie

\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}

= 0, 8

même simplification qu'en a)

0, 8 < 1

(b_{n})

est strictement décroissante.

quotient inférieur à

1

Pour

n ⩾ 1

3^{n} > 0

n > 0

, donc

c_{n} > 0

signe des termes

\frac{c _{n + 1}}{c _{n}}

= \frac{3 ^{n + 1}}{n + 1} \times \frac{n}{3 ^{n}}

on multiplie par l'inverse

\frac{c _{n + 1}}{c _{n}}

= \frac{3 \times 3 ^{n} \times n}{( n + 1 ) \times 3 ^{n}}

3^{n + 1} = 3 \times 3^{n}

\frac{c _{n + 1}}{c _{n}}

= \frac{3 n}{n + 1}

\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} - 1

= \frac{3 n}{n + 1} - \frac{n + 1}{n + 1}

1 = \frac{n + 1}{n + 1}

\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} - 1

= \frac{2 n - 1}{n + 1}

Pour

n ⩾ 1

2 n - 1 > 0

n + 1 > 0

, donc

\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} > 1

(c_{n})

est strictement croissante.

quotient supérieur à

1

À faire : exercices 29 à 32

Exercice 29 — Comparer le quotient à 1

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$u_{n} = 2 \times 5^{n}$
b)
$v_{n} = 9 \times 0, 8^{n}$
c)
$w_{n} = \frac{4 ^{n}}{n}$ , $n ⩾ 1$

Corrigé

Tous les termes sont strictement positifs.

a)
$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 \times 5 ^{n + 1}}{2 \times 5 ^{n}} = 5 > 1$ : $strictement croissante$ .
b)
$\frac{v _{n + 1}}{v _{n}} = 0, 8 < 1$ : $strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
c)
$\frac{w _{n + 1}}{w _{n}}$
$= \frac{4 ^{n + 1}}{n + 1} \times \frac{n}{4 ^{n}}$
multiplier par l'inverse
$\frac{w _{n + 1}}{w _{n}}$
$= \frac{4 n}{n + 1}$
$\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} - 1$
$= \frac{4 n - n - 1}{n + 1} = \frac{3 n - 1}{n + 1}$

Pour $n ⩾ 1$ on a $3 n - 1 > 0$ : $strictement croissante$ .

Exercice 30 — D'autres quotients

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$u_{n} = \frac{3 ^{n}}{2 ^{n}}$
b)
$v_{n} = \frac{n}{2 ^{n}}$ , $n ⩾ 1$
c)
$w_{n} = \frac{5 ^{n}}{n + 1}$

Corrigé

a)
$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{3}{2} = 1, 5 > 1$ : $strictement croissante$ .
b)
$\frac{v _{n + 1}}{v _{n}} = \frac{n + 1}{2 ^{n + 1}} \times \frac{2 ^{n}}{n} = \frac{n + 1}{2 n}$ et $\frac{n + 1}{2 n} - 1 = \frac{1 - n}{2 n} ⩽ 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ ( $v_{1} = v_{2} = \frac{1}{2}$ ).
c)
$\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} = \frac{5 ( n + 1 )}{n + 2}$ et $\frac{5 ( n + 1 )}{n + 2} - 1 = \frac{4 n + 3}{n + 2} > 0$ : $strictement croissante$ .

Exercice 31 — Choisir la méthode

Pour chaque suite, choisir entre la différence et le quotient, puis étudier son sens de variation.

a)
$u_{n} = 6 \times 0, 5^{n}$
b)
$v_{n} = n^{2} + 5 n$
c)
$w_{n} = n \times 2^{n}$ , $n ⩾ 1$

Corrigé

a)
Quotient : $0, 5 < 1$ et termes positifs : $strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
b)
Différence : $v_{n + 1} - v_{n} = 2 n + 6 > 0$ : $strictement croissante$ .
c)
Quotient : $\frac{( n + 1 ) \times 2 ^{n + 1}}{n \times 2 ^{n}} = \frac{2 ( n + 1 )}{n} > 1$ : $strictement croissante$ .

Exercice 32 — Croissante à partir d'un rang

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on pose $u_{n} = \frac{2 ^{n}}{n ^{2}}$ .

1.
Calculer $u_{1}$ à $u_{5}$ .
2.
Montrer que $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} ⩾ 1$ revient à $n^{2} - 2 n - 1 ⩾ 0$ .
3.
En déduire à partir de quel rang la suite est croissante.

Corrigé

1.
$u_{1} = 2$ ; $u_{2} = 1$ ; $u_{3} = \frac{8}{9} ≃ 0, 89$ ; $u_{4} = 1$ ; $u_{5} = 1, 28$ .
2.
$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{( n + 1 ) ^{2}} \times \frac{n ^{2}}{2 ^{n}} = \frac{2 n ^{2}}{( n + 1 ) ^{2}}$ . Ce quotient est $⩾ 1$ si $2 n^{2} ⩾ (n + 1)^{2}$ , soit $2 n^{2} ⩾ n^{2} + 2 n + 1$ , soit $n^{2} - 2 n - 1 ⩾ 0$ .
3.
$Δ = 8$ ; racines $1 - 2$ et $1 + 2 ≃ 2, 41$ . Pour $n$ entier $⩾ 1$ , $n^{2} - 2 n - 1 ⩾ 0$ dès $n ⩾ 3$ : $croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 3$ .

Chapitre 5 — Suites numériques · coursVIII Sens de variation : quotient un​un+1​​

Propriété 2 — Comparer le quotient à 1

Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 29 — Comparer le quotient à 1

Exercice 30 — D'autres quotients

Exercice 31 — Choisir la méthode

Exercice 32 — Croissante à partir d'un rang

Chapitre 5 — Suites numériques · coursVIII Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$