Chapitre 5 — Suites numériques · coursXI Problèmes : déterminer un seuil

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Définition 7 — Seuil

Chercher un seuil, c'est chercher le premier rang $n$ à partir duquel $u_{n}$ dépasse une valeur donnée (ou passe en dessous). On le trouve avec le tableau de la calculatrice, ou avec un programme qui calcule les termes un par un tant que la valeur n'est pas atteinte.

Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Exemples corrigés

Un club d'escalade compte $2000$ adhérents en septembre 2026. Chaque année, $10 %$ des adhérents ne se réinscrivent pas et $500$ nouveaux adhérents arrivent. On note $u_{n}$ le nombre d'adhérents en septembre de l'année $2026 + n$ .

a)
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
b)
Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 500$ .
c)
Compléter la fonction ci-dessous pour qu'elle renvoie le nombre d'années au bout duquel le club dépasse $4000$ adhérents.
d)
À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année où le club dépasse $4000$ adhérents.

def seuil():
    u = 2000
    n = 0
    while .......... :
        u = ..........
        n = n + 1
    return n

Correction

u_{1}

= 2000 - 0, 1 \times 2000 + 500

on retire

10 %

, on ajoute les nouveaux

u_{1}

= 2000 - 200 + 500 = 2300

u_{2}

= 2300 - 230 + 500 = 2570

10 %

2300

230

Retirer

10 %

, c'est multiplier par

0, 9

; on ajoute ensuite les

500

nouveaux :

u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 500

comme à la méthode 6

def seuil():
    u = 2000
    n = 0
    while u <= 4000 :
        u = 0.9*u + 500
        n = n + 1
    return n

tant que le seuil n'est pas dépassé ( $u ⩽ 4000$ , le contraire de « dépasser »), on passe au terme suivant (relation de récurrence) et au rang suivant ; la boucle s'arrête au premier terme qui dépasse $4000$ , et n est son rang

Tableau de la calculatrice :

u_{10} ≃ 3954

u_{11} ≃ 4059

le premier terme au-dessus de

4000

est

u_{11}

seuil() renvoie

11

: le club dépasse

4000

adhérents en septembre 2037.

2026 + 11 = 2037

À vous de jouer

Un étang contient $800$ kg d'algues le 1^er mai. Chaque semaine, on en retire $20 %$ et elles repoussent de $60$ kg. On note $a_{n}$ la masse d'algues, en kg, au bout de $n$ semaines.

a)
Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$ .
b)
Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n + 1} = 0, 8 a_{n} + 60$ .
c)
Compléter la fonction ci-dessous pour qu'elle renvoie le nombre de semaines au bout duquel la masse passe sous $400$ kg.
d)
À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de semaines la masse passe sous $400$ kg.

def seuil():
    a = 800
    n = 0
    while .......... :
        a = ..........
        n = n + 1
    return n

Correction

a_{1}

= 800 - 0, 2 \times 800 + 60

on retire

20 %

, on ajoute la repousse

a_{1}

= 800 - 160 + 60 = 700

a_{2}

= 700 - 140 + 60 = 620

20 %

700

140

Retirer

20 %

, c'est multiplier par

0, 8

; on ajoute ensuite

60

kg :

a_{n + 1} = 0, 8 a_{n} + 60

coefficient multiplicateur

def seuil():
    a = 800
    n = 0
    while a >= 400 :
        a = 0.8*a + 60
        n = n + 1
    return n

Tant que la masse n'est pas passée sous

400

kg (

a ⩾ 400

), on passe à la semaine suivante.

la condition est le contraire du but

Tableau :

a_{7} ≃ 404, 9

a_{8} ≃ 383, 9

le premier terme sous

400

est

a_{8}

seuil() renvoie

8

: la masse passe sous

400

kg au bout de

8

semaines.

on conclut par une phrase

À faire : exercices 41 à 47

Exercice 41 — Abonnés d'une newsletter

Une newsletter compte $3000$ abonnés en janvier. Chaque mois, $15 %$ des abonnés se désinscrivent et $800$ nouveaux s'inscrivent. On note $u_{n}$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois.

1.
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2.
Justifier que $u_{n + 1} = 0, 85 u_{n} + 800$ .
3.
Écrire une fonction seuil() qui renvoie le premier mois où l'on dépasse $5000$ abonnés.
4.
À l'aide de la calculatrice, donner ce mois.

Corrigé

1.
$u_{1} = 0, 85 \times 3000 + 800 = 3350$ ; $u_{2} = 0, 85 \times 3350 + 800 = 3647, 5$ .
2.
$15 %$ partent : il reste $0, 85 u_{n}$ ; on ajoute $800$ .

def seuil():
    u = 3000
    n = 0
    while u <= 5000 :
        u = 0.85*u + 800
        n = n + 1
    return n

4.
$u_{11} ≃ 4942, 9$ et $u_{12} ≃ 5001, 4$ : $au bout de 12 mois$ .

Exercice 42 — Seuil d'une suite explicite

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = 2 n^{2} + 3 n$ .

Compléter la fonction pour qu'elle renvoie le plus petit $n$ tel que $u_{n} > 1000$ .

def seuil():
    n = 0
    u = 0
    while .......... :
        n = n + 1
        u = ..........
    return n

2.
Retrouver ce rang avec le tableau de la calculatrice.

Corrigé

1.
while u <= 1000 : puis u = 2*n**2 + 3*n (on calcule directement le terme de rang n).
2.
$u_{21} = 945$ et $u_{22} = 1034$ : $n = 22$ .

Exercice 43 — Élimination d'un médicament

Un patient reçoit $40$ mg d'un médicament. Chaque heure, son corps en élimine $20 %$ . On note $m_{n}$ la quantité, en mg, présente au bout de $n$ heures.

1.
Calculer $m_{1}$ et $m_{2}$ , puis exprimer $m_{n + 1}$ en fonction de $m_{n}$ .
2.
Écrire une fonction seuil() qui renvoie le nombre d'heures au bout duquel il reste moins de $5$ mg.
3.
Donner ce nombre d'heures.

Corrigé

1.
$m_{1} = 32$ ; $m_{2} = 25, 6$ ; $m_{n + 1} = 0, 8 m_{n}$ .

def seuil():
    m = 40
    n = 0
    while m >= 5 :
        m = 0.8*m
        n = n + 1
    return n

3.
$m_{9} ≃ 5, 37$ et $m_{10} ≃ 4, 29$ : $10 heures$ .

Exercice 44 — Qui dépasse l'autre ?

Un site compte $500$ abonnés payants et en gagne $40$ par mois ; un autre en compte $200$ et gagne $10 %$ d'abonnés par mois. On note $a_{n} = 500 + 40 n$ et $b_{n}$ leurs abonnés au bout de $n$ mois ( $b_{0} = 200$ et $b_{n + 1} = 1, 1 b_{n}$ ).

def depasse():
    b = 200
    n = 0
    while b <= 500 + 40*n :
        b = 1.1*b
        n = n + 1
    return n

1.
Expliquer ce que renvoie cette fonction.
2.
À l'aide de la calculatrice, donner le résultat et l'interpréter.

Corrigé

1.
Tant que $b_{n} ⩽ a_{n} = 500 + 40 n$ , on passe au mois suivant : la fonction renvoie le premier mois où le second site a plus d'abonnés que le premier.
2.
$b_{19} ≃ 1223 < a_{19} = 1260$ et $b_{20} ≃ 1345 > a_{20} = 1300$ : elle renvoie $20$ ; au bout de $20$ mois, le site à $+ 10 %$ dépasse l'autre.

Exercice 45 — Automatismes (QCM)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1.
$u_{n} = n^{2} - 1$ ; alors $u_{n + 1}$ vaut :

a) $n^{2}$ b) $n^{2} + 2 n$ c) $n^{2} + 1$ d) $n^{2} + 2 n + 2$
2.
$u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$ ; alors $u_{2}$ vaut :

a) $5$ b) $14$ c) $17$ d) $8$
3.
Baisser de $15 %$ revient à multiplier par :

a) $0, 15$ b) $1, 15$ c) $0, 85$ d) $- 15$
4.
Si $u_{n + 1} - u_{n} = - n^{2} - 1$ pour tout $n$ , la suite $(u_{n})$ est :

a) croissante b) décroissante c) constante d) on ne peut pas savoir
5.
La limite de $u_{n} = 3 + \frac{1}{n}$ semble être :

a) $0$ b) $3$ c) $4$ d) $+ \infty$

Corrigé

$1. b)$ : $(n + 1)^{2} - 1 = n^{2} + 2 n$ ; $2. b)$ : $u_{1} = 5$ puis $u_{2} = 14$ ; $3. c)$ ; $4. b)$ : la différence est négative ; $5. b)$ .

Exercice 46 — Une plateforme de covoiturage

Une plateforme locale de covoiturage compte $600$ conducteurs inscrits en janvier 2026. Chaque mois, $10 %$ des conducteurs se désinscrivent et $40$ nouveaux s'inscrivent. On note $u_{n}$ le nombre de conducteurs au bout de $n$ mois ; ainsi $u_{0} = 600$ .

1.
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ , puis justifier que $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 40$ .
2.
On admet que, pour tout entier $n$ , $u_{n} = 400 + 200 \times 0, 9^{n}$ . Vérifier cette formule pour $n = 0$ et $n = 1$ .
3.
Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = - 20 \times 0, 9^{n}$ . En déduire le sens de variation de $(u_{n})$ .
4.
Conjecturer la limite de $(u_{n})$ . Interpréter.
5.
Compléter la fonction pour qu'elle renvoie le premier mois où il y a moins de $450$ conducteurs, puis donner ce mois.
```
def seuil():
    u = 600
    n = 0
    while .......... :
        u = ..........
        n = n + 1
    return n
```

Corrigé

1.
$u_{1} = 0, 9 \times 600 + 40 = 580$ ; $u_{2} = 0, 9 \times 580 + 40 = 562$ . Il reste $90 %$ des conducteurs, puis $40$ s'ajoutent : $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 40$ .
2.
$n = 0$ : $400 + 200 = 600 = u_{0}$ ; $n = 1$ : $400 + 180 = 580 = u_{1}$ .
3.
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 200 \times 0, 9^{n + 1} - 200 \times 0, 9^{n}$
les $400$ s'éliminent
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 200 \times 0, 9^{n} (0, 9 - 1)$
facteur commun
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= - 20 \times 0, 9^{n}$

$0, 9^{n} > 0$ , donc la différence est négative : $(u_{n}) est strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
4.
$0, 9^{n}$ se rapproche de $0$ : $n \to + \infty lim u_{n} = 400$ . Le nombre de conducteurs se stabiliserait vers $400$ .
5.
while u >= 450 : et u = 0.9*u + 40. $u_{13} ≃ 450, 8$ et $u_{14} ≃ 445, 8$ : la fonction renvoie $14$ , soit $mars 2027$ .

Exercice 47 — Coût moyen de fabrication

Un atelier fabrique $n$ lampes par jour ( $n ⩾ 1$ ). Le coût moyen de fabrication d'une lampe, en euros, est $c_{n} = n + \frac{400}{n}$ .

1.
Calculer $c_{1}$ , $c_{10}$ et $c_{20}$ .
2.
On pose $f (x) = x + \frac{400}{x}$ sur $[1; + \infty [$ . Calculer $f^{'} (x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
3.
En déduire le sens de variation de $(c_{n})$ et le nombre de lampes qui rend le coût moyen le plus faible.
4.
Pour $n ⩾ 20$ , à partir de quel nombre de lampes le coût moyen dépasse-t-il $50$ € ? On résoudra $n^{2} - 50 n + 400 > 0$ .

Corrigé

1.
$c_{1} = 401$ ; $c_{10} = 10 + 40 = 50$ ; $c_{20} = 20 + 20 = 40$ .
2.
$f^{'} (x)$
$= 1 - \frac{400}{x ^{2}}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 400}{x ^{2}} = \frac{( x - 20 ) ( x + 20 )}{x ^{2}}$
3.
$(c_{n})$ décroît jusqu'au rang $20$ , puis croît : le coût moyen est le plus faible pour $20 lampes$ ( $40$ €).
4.
Pour $n > 0$ , $c_{n} > 50$ revient à $n^{2} + 400 > 50 n$ , soit $n^{2} - 50 n + 400 > 0$ . $Δ = 900$ ; racines $10$ et $40$ ; le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Pour $n ⩾ 20$ : $n ⩾ 41$ .