Chapitre 1 — Suites numériques · coursI Notion de suite

Sommaire du chapitre

I — Notion de suite
- Méthode 1 — Calculer un terme d'une suite définie de façon explicite
II — Suites définies par récurrence
- Méthode 2 — Calculer les termes d'une suite définie par récurrence
III — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 3 — Représenter graphiquement une suite
IV — Suites arithmétiques : définition
- Méthode 4 — Reconnaître et modéliser une suite arithmétique
V — Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$
- Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$
VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
- Méthode 6 — Résoudre un problème de seuil (croissance linéaire)
VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
- Méthode 7 — Sens de variation d'une suite arithmétique
VIII — Suites géométriques : définition
- Méthode 8 — Reconnaître et modéliser une suite géométrique
IX — Suites géométriques : expression en fonction de $n$
- Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$
X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
- Méthode 10 — Sens de variation d'une suite géométrique
XI — Suites géométriques : problème de seuil
- Méthode 11 — Résoudre un problème de seuil avec un tableau de valeurs
XII — Comparer deux évolutions
- Méthode 12 — Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle

Définition 1 — Suite numérique

Une suite associe un nombre $u_{n}$ à chaque entier $n = 0$ ; $1$ ; $2$ ; … (on lit « $u$ indice $n$ »).

$u_{n}$ est le terme de rang $n$ ; la suite se note $(u_{n})$ .
Le premier terme est $u_{0}$ , le deuxième $u_{1}$ , le troisième $u_{2}$ …
Le terme suivant $u_{n}$ est $u_{n + 1}$ ; le terme précédent est $u_{n - 1}$ .

Définition 2 — Suite définie de façon explicite

Une suite est définie de façon explicite quand une formule donne $u_{n}$ directement à partir de $n$ , par exemple $u_{n} = 4 n$ . On calcule alors n'importe quel terme sans connaître les précédents.

Méthode 1 — Calculer un terme d'une suite définie de façon explicite

Exemples corrigés

a)
Soit $u_{n} = 3 n + 4$ . Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{15}$ .
b)
Soit $v_{n} = 4 n^{2} - 1$ . Calculer les quatre premiers termes.
c)
Une carte de bus coûte $8$ €, puis chaque trajet $1, 50$ €. Pour $n$ trajets, on paie $c_{n} = 8 + 1, 5 n$ euros. Calculer $c_{20}$ et interpréter.

Correction

u_{0}

= 3 \times 0 + 4

on remplace

n

par

0

u_{0}

= 4

u_{1}

= 3 \times 1 + 4 = 7

u_{2}

= 3 \times 2 + 4 = 10

u_{15}

= 3 \times 15 + 4 = 49

directement, sans les termes d'avant

v_{0}

= 4 \times 0^{2} - 1 = - 1

les quatre premiers : rangs

0

3

v_{1}

= 4 \times 1^{2} - 1 = 3

v_{2}

= 4 \times 2^{2} - 1 = 15

le carré d'abord :

4 \times 4 - 1

v_{3}

= 4 \times 3^{2} - 1 = 35

4 \times 9 - 1

c_{20}

= 8 + 1, 5 \times 20

on remplace

n

par

20

c_{20}

= 8 + 30

c_{20}

= 38

Avec

20

trajets, on paie

38

€ en tout, carte comprise.

on répond dans le contexte

À vous de jouer

1°)
Soit $u_{n} = 4 n - 7$ . Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{30}$ .
2°)
Soit $v_{n} = n^{2} + 3 n$ . Calculer les quatre premiers termes.
3°)
Une salle de sport demande $30$ € d'inscription, puis $6$ € par séance. Pour $n$ séances, on paie $c_{n} = 30 + 6 n$ euros. Calculer $c_{12}$ et interpréter.

Correction

1°)

u_{0}

= 4 \times 0 - 7

on remplace

n

par

0

u_{0}

= - 7

u_{1}

= 4 \times 1 - 7 = - 3

u_{30}

= 4 \times 30 - 7 = 113

directement, sans les termes d'avant

2°)

v_{0}

= 0^{2} + 3 \times 0 = 0

les quatre premiers : rangs

0

3

v_{1}

= 1^{2} + 3 \times 1 = 4

v_{2}

= 2^{2} + 3 \times 2 = 10

le carré d'abord :

4 + 6

v_{3}

= 3^{2} + 3 \times 3 = 18

9 + 9

3°)

c_{12}

= 30 + 6 \times 12

on remplace

n

par

12

c_{12}

= 102

Pour

12

séances, on paie

102

€.

on interprète dans le contexte

À faire : exercices 1 à 5

Exercice 1 — Calculer les premiers termes

Pour chaque suite, calculer les cinq premiers termes.

u_{n} = 4 n - 5

v_{n} = n^{2} + 1

w_{n} = 3^{n}

Corrigé

Les cinq premiers termes sont ceux de rang $0$ à $4$ .

u_{n} = 4 n - 5 : - 5; - 1; 3; 7; 11

v_{n} = n^{2} + 1 : 1; 2; 5; 10; 17

w_{n} = 3^{n} : 1; 3; 9; 27; 81

$3^{0} = 1$ , et non $0$ .

Exercice 2 — Calculer un terme

Calculer les termes demandés.

a)
$u_{n} = 6 n + 5$ : calculer $u_{9}$ .
b)
$v_{n} = 3 n^{2} - 2 n + 1$ : calculer $v_{4}$ .
c)
$w_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ : calculer $w_{0}$ , $w_{1}$ , $w_{2}$ et $w_{3}$ .
d)
$t_{n} = 20 - n^{2}$ : calculer $t_{3}$ .

Corrigé

a)
$u_{9} = 6 \times 9 + 5 = 59$
b)
$v_{4} = 3 \times 16 - 8 + 1 = 41$
c)
$w_{0} = 0$ ; $w_{1} = 1$ ; $w_{2} = \frac{4}{3}$ ; $w_{3} = \frac{6}{4} = 1, 5$
d)
$t_{3} = 20 - 9 = 11$

Exercice 3 — Des suites dans la vie courante

Pour chaque situation, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer le terme demandé.

a)
Une piscine vend une carte annuelle à $30$ €, puis chaque entrée $3, 50$ €. $u_{n}$ est le prix payé pour $n$ entrées dans l'année. Calculer $u_{12}$ .
b)
Une trottinette en libre-service coûte $1$ € au départ, puis $0, 25$ € par minute. $u_{n}$ est le prix d'un trajet de $n$ minutes. Calculer $u_{40}$ .
c)
La réserve d'eau d'un village, de $9000$ m $^{3}$ , baisse de $600$ m $^{3}$ par mois. $u_{n}$ est la réserve au bout de $n$ mois. Calculer $u_{6}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 30 + 3, 5 n$ ; $u_{12} = 30 + 42 = 72 €$
b)
$u_{n} = 1 + 0, 25 n$ ; $u_{40} = 1 + 10 = 11 €$
c)
$u_{n} = 9000 - 600 n$ ; $u_{6} = 9000 - 3600 = 5400 m^{3}$

Exercice 4 — Ne pas confondre

Soit la suite définie par $u_{n} = 2 n + 5$ .

a)
Calculer $u_{4}$ , puis $u_{4} + 1$ , puis $u_{5}$ .
b)
Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

a)
$u_{4} = 13$ ; $u_{4} + 1 = 14$ ; $u_{5} = 15$ .
b)
On remplace $n$ par $n + 1$ : $u_{n + 1} = 2 (n + 1) + 5 = 2 n + 7$

$u_{n + 1}$ est le terme suivant ; $u_{n} + 1$ est le terme augmenté de $1$ .

Exercice 5 — Retrouver le rang

Soit la suite définie par $u_{n} = 80 - 4 n$ .

a)
Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{10}$ .
b)
Pour quel rang $n$ a-t-on $u_{n} = 48$ ? et $u_{n} = 0$ ?

Corrigé

a)
$u_{0} = 80$ ; $u_{1} = 76$ ; $u_{10} = 40$ .
b)
$80 - 4 n = 48 ⟺ 4 n = 32 ⟺ n = 8$ ; $80 - 4 n = 0 ⟺ n = 20$ .