Chapitre 1 — Suites numériques · coursIX Suites géométriques : expression en fonction de $n$

Sommaire du chapitre

I — Notion de suite
- Méthode 1 — Calculer un terme d'une suite définie de façon explicite
II — Suites définies par récurrence
- Méthode 2 — Calculer les termes d'une suite définie par récurrence
III — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 3 — Représenter graphiquement une suite
IV — Suites arithmétiques : définition
- Méthode 4 — Reconnaître et modéliser une suite arithmétique
V — Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$
- Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$
VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
- Méthode 6 — Résoudre un problème de seuil (croissance linéaire)
VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
- Méthode 7 — Sens de variation d'une suite arithmétique
VIII — Suites géométriques : définition
- Méthode 8 — Reconnaître et modéliser une suite géométrique
IX — Suites géométriques : expression en fonction de $n$
- Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$
X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
- Méthode 10 — Sens de variation d'une suite géométrique
XI — Suites géométriques : problème de seuil
- Méthode 11 — Résoudre un problème de seuil avec un tableau de valeurs
XII — Comparer deux évolutions
- Méthode 12 — Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle

Propriété 6 — Terme de rang $n$

Si $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ , alors, pour tout entier $n$ :

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

En effet, pour aller de $u_{0}$ à $u_{n}$ , on multiplie $n$ fois par la raison : $u_{1} = u_{0} \times q$ ; $u_{2} = u_{0} \times q^{2}$ ; $u_{3} = u_{0} \times q^{3}$ …

Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$

Exemples corrigés

a)
Soit $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n}$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{4}$ .
b)
Soit $u_{1} = 12$ et $u_{n + 1} = 4 u_{n}$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c)
Livret à $3 %$ (partie VIII) : exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis donner le capital au bout de $10$ ans. On donne $1, 0 3^{10} ≃ 1, 34$ .

Correction

u_{n}

= u_{0} \times q^{n}

premier terme

5

, raison

3

u_{n}

= 5 \times 3^{n}

u_{4}

= 5 \times 3^{4}

la puissance d'abord :

3^{4} = 81

u_{4}

= 405

u_{0}

= \frac{u _{1}}{4}

on recule d'un rang : on divise par la raison

u_{0}

= 3

u_{n}

= 3 \times 4^{n}

u_{0} \times q^{n}

u_{n}

= 1000 \times 1, 0 3^{n}

premier terme

1000

, raison

1, 03

u_{10}

≃ 1000 \times 1, 34

on utilise la valeur donnée

u_{10}

≃ 1340

Au bout de

10

ans, le capital vaut environ

1340

€.

À vous de jouer

1°)
Soit $v_{0} = 500$ et $v_{n + 1} = 0, 8 v_{n}$ . Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et calculer $v_{2}$ .
2°)
Soit $w_{1} = 10$ et $w_{n + 1} = 2 w_{n}$ . Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ et calculer $w_{5}$ .
3°)
On place $3000$ € à $2 %$ par an. Quel est le capital au bout de $10$ ans ? On donne $1, 0 2^{10} ≃ 1, 22$ .

Correction

1°)

v_{n}

= v_{0} \times q^{n}

premier terme

500

, raison

0, 8

v_{n}

= 500 \times 0, 8^{n}

v_{2}

= 500 \times 0, 64

0, 8^{2} = 0, 64

v_{2}

= 320

2°)

w_{0}

= \frac{w _{1}}{2}

on recule d'un rang : on divise par la raison

w_{0}

= 5

w_{n}

= 5 \times 2^{n}

w_{5}

= 5 \times 32

2^{5} = 32

w_{5}

= 160

3°)

u_{n}

= 3000 \times 1, 0 2^{n}

premier terme

3000

, raison

1, 02

u_{10}

≃ 3000 \times 1, 22

on utilise la valeur donnée

u_{10}

≃ 3660

Au bout de

10

ans, le capital vaut environ

3660

€.

À faire : exercices 37 à 41

Exercice 37 — Appliquer la formule

Pour chaque suite géométrique, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer le terme demandé.

a)
$u_{0} = 2$ et $q = 3$ : $u_{4}$ .
b)
$u_{0} = 5000$ et $q = 0, 1$ : $u_{3}$ .
c)
$u_{1} = 6$ et $q = 2$ : $u_{5}$ .
d)
$u_{0} = 128$ et $q = 0, 5$ : $u_{4}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 2 \times 3^{n}$ ; $u_{4} = 2 \times 81 = 162$
b)
$u_{n} = 5000 \times 0, 1^{n}$ ; $u_{3} = 5000 \times 0, 001 = 5$
c)
$u_{0} = \frac{6}{2} = 3$ et $u_{n} = 3 \times 2^{n}$ ; $u_{5} = 3 \times 32 = 96$
d)
$u_{n} = 128 \times 0, 5^{n}$ ; $u_{4} = \frac{128}{16} = 8$

Exercice 38 — Placer ses économies

Une étudiante place $1500$ € au taux annuel de $2 %$ . On note $c_{n}$ le capital au bout de $n$ années.

a)
Calculer $c_{1}$ et $c_{2}$ .
b)
Donner la nature de $(c_{n})$ , puis exprimer $c_{n}$ en fonction de $n$ .
c)
On donne $1, 0 2^{10} ≃ 1, 22$ . Estimer le capital au bout de $10$ ans.

Corrigé

a)
$c_{1} = 1500 + 30 = 1530$ ; $c_{2} = 1530 + 30, 60 = 1560, 60$
b)
Géométrique de raison $1, 02$ : $c_{n} = 1500 \times 1, 0 2^{n}$
c)
$c_{10} ≃ 1500 \times 1, 22 = 1830 €$

Exercice 39 — Covoiturage

En 2024, $80$ salariés d'une entreprise viennent au travail en covoiturage. On suppose que ce nombre augmente de $10 %$ par an, et on note $u_{n}$ ce nombre en $2024 + n$ .

a)
Donner la nature de la suite $(u_{n})$ et sa raison.
b)
Les années sont en ligne 1 (2024 en B1) et les termes en ligne 2 ( $80$ en B2). Quelle formule saisir en C2, à recopier vers la droite ?
c)
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
d)
On donne $1, 1^{3} = 1, 331$ . Estimer $u_{3}$ à l'unité près.
e)
L'entreprise vise un quart de ses $400$ salariés en covoiturage en 2027. L'objectif sera-t-il atteint ?

Corrigé

a)
Géométrique de raison $1, 1$ .
b)
$=B2*1,1$ (recopiée vers la droite)
c)
$u_{n} = 80 \times 1, 1^{n}$
d)
$u_{3} = 80 \times 1, 331 = 106, 48$ , soit $106$ salariés.
e)
Un quart de $400$ : $100$ . Or $106 ⩾ 100$ : l'objectif $sera atteint$ .

Exercice 40 — Dioxyde d'azote

Dans une ville, la concentration en dioxyde d'azote est de $60$ µg/m $^{3}$ en 2020 ; on veut la faire baisser de $5 %$ par an. On note $u_{n}$ la concentration en $2020 + n$ .

a)
Calculer $u_{1}$ , puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
b)
On donne $0, 9 5^{6} ≃ 0, 74$ . Estimer la concentration en 2026.

Corrigé

a)
$u_{1} = 60 - 3 = 57$ ; $u_{n} = 60 \times 0, 9 5^{n}$
b)
2026 : $n = 6$ et $u_{6} ≃ 60 \times 0, 74 = 44, 4 μ g/m^{3}$

Exercice 41 — Lire la formule

Donner le premier terme $u_{0}$ et la raison de chaque suite géométrique.

u_{n} = 4 \times 5^{n}

v_{n} = 2000 \times 0, 8 5^{n}

c) $w_{n} = 3^{n}$

Corrigé

u_{0} = 4

;

q = 5

v_{0} = 2000

;

q = 0, 85

w_{0} = 1

;

q = 3

$3^{n} = 1 \times 3^{n}$ : le premier terme est $1$ .

Chapitre 1 — Suites numériques · coursIX Suites géométriques : expression en fonction de n

Propriété 6 — Terme de rang n

Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de n

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 37 — Appliquer la formule

Exercice 38 — Placer ses économies

Exercice 39 — Covoiturage

Exercice 40 — Dioxyde d'azote

Exercice 41 — Lire la formule

Chapitre 1 — Suites numériques · coursIX Suites géométriques : expression en fonction de $n$

Propriété 6 — Terme de rang $n$

Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$