Chapitre 1 — Suites numériques · coursXII Comparer deux évolutions

Sommaire du chapitre

I — Notion de suite
- Méthode 1 — Calculer un terme d'une suite définie de façon explicite
II — Suites définies par récurrence
- Méthode 2 — Calculer les termes d'une suite définie par récurrence
III — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 3 — Représenter graphiquement une suite
IV — Suites arithmétiques : définition
- Méthode 4 — Reconnaître et modéliser une suite arithmétique
V — Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$
- Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$
VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
- Méthode 6 — Résoudre un problème de seuil (croissance linéaire)
VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
- Méthode 7 — Sens de variation d'une suite arithmétique
VIII — Suites géométriques : définition
- Méthode 8 — Reconnaître et modéliser une suite géométrique
IX — Suites géométriques : expression en fonction de $n$
- Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$
X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
- Méthode 10 — Sens de variation d'une suite géométrique
XI — Suites géométriques : problème de seuil
- Méthode 11 — Résoudre un problème de seuil avec un tableau de valeurs
XII — Comparer deux évolutions
- Méthode 12 — Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle

	Suite arithmétique	Suite géométrique
D'un terme au suivant	on ajoute $r$	on multiplie par $q$
Relation de récurrence	$u_{n + 1} = u_{n} + r$	$u_{n + 1} = q \times u_{n}$
Terme de rang $n$	$u_{n} = u_{0} + n r$	$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$
Croissante quand	$r > 0$	$q > 1$
Décroissante quand	$r < 0$	$0 < q < 1$
Graphique	points alignés	points non alignés
Dans un énoncé	même quantité ajoutée	même pourcentage d'évolution
Croissance	linéaire	exponentielle

Méthode 12 — Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle

Exemples corrigés

Au 1^er janvier, deux chaînes vidéo ont chacune $5000$ abonnés. La chaîne A en gagne $300$ par mois ; celle de la chaîne B augmente de $5 %$ par mois. On note $u_{n}$ et $v_{n}$ les nombres d'abonnés de A et de B après $n$ mois. À partir de quel mois la chaîne B a-t-elle plus d'abonnés que la chaîne A ? On donne :

$n$	$7$	$8$	$9$	$10$
$v_{n}$ (arrondi)	$7036$	$7387$	$7757$	$8144$

Correction

Résolution

u_{n} = 5000 + 300 n

A : on ajoute

300

, suite arithmétique

v_{n} = 5000 \times 1, 0 5^{n}

B : on multiplie par

1, 05

, suite géométrique

u_{8}

= 5000 + 300 \times 8 = 7400

7400 > 7387

: A devant

u_{9}

= 5000 + 300 \times 9 = 7700

7700 < 7757

: B devant

À partir du

9^{e}

mois, la chaîne B a plus d'abonnés.

la croissance exponentielle finit par dépasser la croissance linéaire

À vous de jouer

En 2025, la ville A compte $12000$ habitants et en gagne $400$ par an ; la ville B compte $10000$ habitants, avec une hausse de $4 %$ par an.

1°)
Exprimer la population de chaque ville en fonction de $n$ (année $2025 + n$ ).
2°)
À partir de quelle année la ville B sera-t-elle la plus peuplée ? On donne, pour la ville B : $16651$ habitants en 2038, $17317$ en 2039 et $18009$ en 2040 (valeurs arrondies).

Correction

1°)

a_{n} = 12000 + 400 n

A : on ajoute

400

, suite arithmétique

b_{n} = 10000 \times 1, 0 4^{n}

B : on multiplie par

1, 04

, suite géométrique

2°)

a_{14}

= 12000 + 400 \times 14 = 17600

2039 :

17600 > 17317

, A devant

a_{15}

= 12000 + 400 \times 15 = 18000

2040 :

18000 < 18009

, B devant

La ville B sera la plus peuplée à partir de 2040.

la croissance exponentielle finit par dépasser la croissance linéaire

À faire : exercices 48 à 50, puis les exercices de type épreuve 51 à 53

Exercice 48 — Arithmétique, géométrique ou aucune des deux ?

Donner la nature de chaque suite et, s'il y a lieu, sa raison.

u_{n} = 5 n

u_{n} = n^{2} - 1

u_{n} = 4 \times 3^{n}

u_{n + 1} = u_{n} - 2

u_{n + 1} = u_{n} + 0, 2 u_{n}

u_{n + 1} = 2 u_{n}

Corrigé

a) arithmétique,

r = 5

aucune

- 1

;

0

;

3

c) géométrique,

q = 3

d) arithmétique,

r = - 2

e) géométrique,

q = 1, 2

f) géométrique,

q = 2

e) est le piège : ajouter $0, 2 u_{n}$ , c'est augmenter de $20 %$ .

Exercice 49 — Deux placements

En 2025, Yanis dispose de $15000$ € pour un projet qui en coûte $18000$ . Placement A : $400$ € d'intérêts chaque année ; on note $a_{n}$ le capital en $2025 + n$ . Placement B : $+ 3 %$ par an ; on note $b_{n}$ le capital en $2025 + n$ .

a)
Calculer $a_{1}$ et $b_{1}$ .
b)
Donner la nature et la raison de chaque suite.
c)
Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
d)
Avec le placement A, en quelle année le projet sera-t-il financé ?
e)
On donne $b_{6} ≃ 17911$ et $b_{7} ≃ 18448$ . Même question avec le placement B. Quel placement choisir ?

Corrigé

a)
$a_{1} = 15400$ ; $b_{1} = 15000 + 450 = 15450$
b)
$(a_{n})$ arithmétique, $r = 400$ ; $(b_{n})$ géométrique, $q = 1, 03$ .
c)
$a_{n} = 15000 + 400 n$ ; $b_{n} = 15000 \times 1, 0 3^{n}$
d)
$400 n ⩾ 3000 ⟺ n ⩾ 7, 5$ : $n = 8$ , $en 2033$ .
e)
$b_{6} < 18000 ⩽ b_{7}$ : $en 2032$ avec B. Le placement $B$ finance le projet plus tôt.

Exercice 50 — Réduire ses déchets

Deux entreprises veulent diviser par deux leurs déchets plastiques de 2020. L'entreprise A en produit $360$ t en 2020, et $15$ t de moins chaque année ; l'entreprise B en produit $500$ t, et $7 %$ de moins chaque année. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ leurs productions en $2020 + n$ .

a)
Donner la nature et la raison de chaque suite.
b)
Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
c)
En quelle année l'entreprise A atteindra-t-elle son objectif ?
d)
On donne $0, 9 3^{9} ≃ 0, 52$ et $0, 9 3^{10} ≃ 0, 48$ . En quelle année l'entreprise B atteindra-t-elle son objectif ?
e)
Laquelle y parvient la première ?

Corrigé

a)
$(a_{n})$ arithmétique, $r = - 15$ ; $(b_{n})$ géométrique, $q = 0, 93$ .
b)
$a_{n} = 360 - 15 n$ ; $b_{n} = 500 \times 0, 9 3^{n}$
c)
$360 - 15 n ⩽ 180 ⟺ 15 n ⩾ 180 ⟺ n ⩾ 12$ : $en 2032$ .
d)
$b_{n} ⩽ 250 ⟺ 0, 9 3^{n} ⩽ 0, 5$ : $n = 10$ , $en 2030$ .
e)
$L’entreprise B$ , deux ans plus tôt.

Exercice 51 — Automatismes (QCM)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1.
Diminuer de $30 %$ revient à multiplier par :

a) $0, 3$ b) $1, 3$ c) $0, 7$ d) $- 30$
2.
La liste $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$ est celle d'une suite :

a) arithmétique de raison $4$ b) géométrique de raison $2$ c) ni l'une ni l'autre
3.
$u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n}$ ; alors $u_{3}$ vaut :

a) $10$ b) $40$ c) $30$ d) $20$
4.
$u_{n} = 60 - 3 n$ ; alors $u_{10}$ vaut :

a) $57$ b) $30$ c) $600$ d) $90$
5.
Une suite géométrique de raison $1, 02$ et de premier terme $50$ est :

a) croissante b) décroissante c) constante
6.
$u_{n} = 400 \times 0, 5^{n}$ ; alors $u_{1}$ vaut :

a) $200$ b) $400, 5$ c) $800$ d) $0, 5$

Corrigé

c) 0, 7

b) g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, q = 2

b) 40

b) 30

a) croissante

a) 200

Exercice 52 — Location de vélos

Une jeune entreprise de location possède $40$ vélos au mois $0$ et en achète $30$ chaque mois. Elle compte $25$ clients au mois $0$ , puis $20 %$ de clients de plus chaque mois. On note $u_{n}$ le nombre de vélos et $v_{n}$ le nombre de clients au mois $n$ .

1.
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . Montrer qu'au mois $10$ , l'entreprise possède plus de $300$ vélos.
2.
Au bout de combien de mois aura-t-elle $640$ vélos ?
3.
Justifier que $v_{n + 1} = 1, 2 v_{n}$ . En déduire la nature de $(v_{n})$ .
4.
Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
5.
On donne $1, 2^{5} ≃ 2, 49$ . Montrer que $v_{5} ≃ 62$ et interpréter.
6.
On donne $1, 2^{9} ≃ 5, 16$ et $1, 2^{10} ≃ 6, 19$ . À partir de quel mois l'entreprise aura-t-elle plus de $150$ clients ?

Corrigé

1°)
$u_{n} = 40 + 30 n$ ; $u_{10} = 340 > 300$ .
2°)
$40 + 30 n = 640 ⟺ 30 n = 600 ⟺ n = 20$ : $au mois 20$ .
3°)
$+ 20 %$ : $\times 1, 2$ . $G \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, q = 1, 2$ .
4°)
$v_{n} = 25 \times 1, 2^{n}$
5°)
$v_{5} ≃ 25 \times 2, 49 = 62, 25 ≃ 62$ : au mois $5$ , l'entreprise compte environ $62$ clients.
6°)
$v_{n} > 150 ⟺ 1, 2^{n} > 6$ ; $1, 2^{9} ≃ 5, 16 < 6$ et $1, 2^{10} ≃ 6, 19 > 6$ : $\overset{a}{ˋ} partir du mois 10$ .

Exercice 53 — Deux clubs sportifs

En 2025, un club de tennis compte $700$ adhérents et en perd $15$ chaque année ; on note $T_{n}$ le nombre d'adhérents en $2025 + n$ . Un club d'escalade compte $150$ adhérents en 2025 ; le graphique donne ses effectifs $E_{n}$ .

1.
Calculer $T_{1}$ , puis exprimer $T_{n}$ en fonction de $n$ .
2.
Justifier que le club de tennis aura perdu plus de $20 %$ de ses adhérents entre 2025 et 2035.
3.
Estimer par lecture graphique le nombre d'adhérents du club d'escalade en 2028.
4.
On admet que $E_{n + 1} = 1, 2 E_{n}$ . Donner la nature de $(E_{n})$ , son premier terme et sa raison.
5.
On donne $1, 2^{7} ≃ 3, 58$ et $1, 2^{8} ≃ 4, 30$ . À partir de quelle année le club d'escalade aura-t-il plus d'adhérents que le club de tennis ?

Corrigé

1°)
$T_{1} = 685$ ; $T_{n} = 700 - 15 n$
2°)
$T_{10} = 550$ : perte de $150$ adhérents ; or $20 %$ de $700$ font $140$ , et $150 > 140$ .
3°)
2028 : $n = 3$ ; on lit $E_{3} ≃ 260$ (valeur $259, 2$ ).
4°)
Géométrique, $E_{0} = 150$ , $q = 1, 2$ .
5°)
$E_{7} ≃ 150 \times 3, 58 = 537 < T_{7} = 595$ ; $E_{8} ≃ 150 \times 4, 30 = 645 > T_{8} = 580$ : $\overset{a}{ˋ} partir de 2033$ .