Chapitre 1 — Suites numériques · coursII Suites définies par récurrence

Sommaire du chapitre

I — Notion de suite
- Méthode 1 — Calculer un terme d'une suite définie de façon explicite
II — Suites définies par récurrence
- Méthode 2 — Calculer les termes d'une suite définie par récurrence
III — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 3 — Représenter graphiquement une suite
IV — Suites arithmétiques : définition
- Méthode 4 — Reconnaître et modéliser une suite arithmétique
V — Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$
- Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$
VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
- Méthode 6 — Résoudre un problème de seuil (croissance linéaire)
VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
- Méthode 7 — Sens de variation d'une suite arithmétique
VIII — Suites géométriques : définition
- Méthode 8 — Reconnaître et modéliser une suite géométrique
IX — Suites géométriques : expression en fonction de $n$
- Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$
X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
- Méthode 10 — Sens de variation d'une suite géométrique
XI — Suites géométriques : problème de seuil
- Méthode 11 — Résoudre un problème de seuil avec un tableau de valeurs
XII — Comparer deux évolutions
- Méthode 12 — Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle

Définition 3 — Suite définie par récurrence

Une suite est définie par récurrence quand on connaît :

son premier terme (en général $u_{0}$ ) ;
une relation qui donne chaque terme à partir du précédent : $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ .

Exemple : $u_{0} = 6$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n}$ se lit « on part de $6$ , et chaque terme est le double du précédent ».

Méthode 2 — Calculer les termes d'une suite définie par récurrence

Exemples corrigés

a)
Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 5 u_{n}$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b)
Soit $v_{0} = 4$ et $v_{n + 1} = 2 v_{n} - 3$ . Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ .
c)
Léa a $45$ abonnés sur son compte de photos et en gagne $8$ chaque semaine. On note $a_{n}$ son nombre d'abonnés après $n$ semaines. Donner $a_{0}$ , exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ , puis calculer $a_{3}$ .

Correction

u_{1}

= 5 \times u_{0}

la relation avec

n = 0

u_{1}

= 5 \times 2 = 10

on remplace

u_{0}

par sa valeur

u_{2}

= 5 \times 10 = 50

u_{2} = 5 \times u_{1}

u_{3}

= 5 \times 50 = 250

u_{3} = 5 \times u_{2}

v_{1}

= 2 \times 4 - 3 = 5

v_{1} = 2 v_{0} - 3

v_{2}

= 2 \times 5 - 3 = 7

toujours avec le terme d'avant

v_{3}

= 2 \times 7 - 3 = 11

a_{0} = 45

le nombre de départ

a_{n + 1} = a_{n} + 8

d'une semaine à la suivante, on ajoute

8

a_{1} = 53

;

a_{2} = 61

;

a_{3} = 69

après

3

semaines, Léa a

69

abonnés

À vous de jouer

1°)
Soit $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 2$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
2°)
Soit $v_{0} = 80$ et $v_{n + 1} = v_{n} - 12$ . Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ .
3°)
À 8 h, un parking a $300$ places libres ; chaque quart d'heure, $25$ voitures s'y garent. On note $p_{n}$ le nombre de places libres après $n$ quarts d'heure. Donner $p_{0}$ , exprimer $p_{n + 1}$ en fonction de $p_{n}$ , puis calculer $p_{3}$ .

Correction

1°)

u_{1}

= 3 \times 1 + 2 = 5

u_{1} = 3 u_{0} + 2

u_{2}

= 3 \times 5 + 2 = 17

toujours avec le terme d'avant

u_{3}

= 3 \times 17 + 2 = 53

2°)

v_{1}

= 80 - 12 = 68

v_{2}

= 68 - 12 = 56

v_{3}

= 56 - 12 = 44

3°)

p_{0} = 300

le nombre de places libres au départ, à 8 h

p_{n + 1} = p_{n} - 25

chaque quart d'heure,

25

places de moins

p_{1}

= 300 - 25 = 275

p_{2}

= 275 - 25 = 250

p_{3}

= 250 - 25 = 225

À faire : exercices 6 à 11

Exercice 6 — Calculer les termes pas à pas

Pour chaque suite, calculer les termes de rang $1$ à $4$ .

a)
$u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$
b)
$v_{0} = 5$ et $v_{n + 1} = v_{n} + 4$
c)
$w_{0} = 48$ et $w_{n + 1} = \frac{w _{n}}{2}$
d)
$t_{0} = 20$ et $t_{n + 1} = t_{n} - 6$

Corrigé

a)
$u_{1} = 5$ ; $u_{2} = 14$ ; $u_{3} = 41$ ; $u_{4} = 122$
b)
$v_{1} = 9$ ; $v_{2} = 13$ ; $v_{3} = 17$ ; $v_{4} = 21$
c)
$w_{1} = 24$ ; $w_{2} = 12$ ; $w_{3} = 6$ ; $w_{4} = 3$
d)
$t_{1} = 14$ ; $t_{2} = 8$ ; $t_{3} = 2$ ; $t_{4} = - 4$

Exercice 7 — Avec des nombres négatifs

Calculer les termes demandés.

a)
$u_{0} = - 1$ et $u_{n + 1} = 3 - u_{n}^{2}$ : calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b)
$v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = - 3 v_{n} + 2$ : calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ .

Corrigé

a)
$u_{1} = 3 - (- 1)^{2} = 2$ ; $u_{2} = 3 - 4 = - 1$ ; $u_{3} = 3 - 1 = 2$
b)
$v_{1} = - 3 + 2 = - 1$ ; $v_{2} = 3 + 2 = 5$ ; $v_{3} = - 15 + 2 = - 13$

$(- 1)^{2} = 1$ : le carré d'un nombre négatif est positif.

Exercice 8 — Traduire un énoncé

Pour chaque situation, donner le premier terme et la relation de récurrence, puis calculer les deux termes suivants.

a)
Une tirelire contient $150$ € ; chaque semaine, on y ajoute $20$ €. On note $u_{n}$ la somme après $n$ semaines.
b)
Une algue couvre $3$ m $^{2}$ d'un étang, et sa surface triple chaque semaine. On note $a_{n}$ la surface, en m $^{2}$ , après $n$ semaines.
c)
Une médiathèque compte $400$ abonnés ; chaque année, $30$ partent et $50$ arrivent. On note $c_{n}$ le nombre d'abonnés après $n$ années.

Corrigé

a)
$u_{0} = 150$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 20$ ; $u_{1} = 170$ ; $u_{2} = 190$ .
b)
$a_{0} = 3$ et $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ; $a_{1} = 9$ ; $a_{2} = 27$ .
c)
$c_{0} = 400$ et $c_{n + 1} = c_{n} + 20$ ( $- 30 + 50$ ) ; $c_{1} = 420$ ; $c_{2} = 440$ .

Exercice 9 — Retrouver la relation

Pour chaque liste, donner le premier terme et une relation de récurrence qui la produit.

4

;

9

;

14

;

19

2

;

8

;

32

;

128

1

;

4

;

13

;

40

Corrigé

a)
$u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 5$
b)
$u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 4 u_{n}$
c)
$u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 1$ ( $3 \times 1 + 1 = 4$ ; $3 \times 4 + 1 = 13$ …)

Exercice 10 — Revenir en arrière

On sait que $u_{n + 1} = u_{n} - 6$ et que $u_{3} = 11$ . Calculer $u_{2}$ , $u_{1}$ , puis $u_{0}$ .

Corrigé

En reculant d'un rang, on ajoute $6$ : $u_{2} = 17$ ; $u_{1} = 23$ ; $u_{0} = 29$ .

Exercice 11 — Au tableur

Les rangs $n$ sont en colonne A, les termes en colonne B, le premier terme en B2. Pour chaque suite, quelle formule saisir en B3, à recopier vers le bas ?

a)
$u_{0} = 30$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 15$ .
b)
$v_{0} = 200$ et $v_{n + 1} = 0, 9 v_{n} + 30$ .
c)
$w_{n} = 5 n - 1$ (la formule utilise la colonne A).

Corrigé

a)
$=B2+15$
b)
$=0,9*B2+30$
c)
$=5*A3-1$ la ligne 3 contient le rang $n = 1$ en A3.

Récurrence : on utilise la cellule du dessus. Formule explicite : on utilise le rang, dans la même ligne.