Chapitre 1 — Suites numériques · coursIV Suites arithmétiques : définition

Sommaire du chapitre

I — Notion de suite
- Méthode 1 — Calculer un terme d'une suite définie de façon explicite
II — Suites définies par récurrence
- Méthode 2 — Calculer les termes d'une suite définie par récurrence
III — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 3 — Représenter graphiquement une suite
IV — Suites arithmétiques : définition
- Méthode 4 — Reconnaître et modéliser une suite arithmétique
V — Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$
- Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$
VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
- Méthode 6 — Résoudre un problème de seuil (croissance linéaire)
VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
- Méthode 7 — Sens de variation d'une suite arithmétique
VIII — Suites géométriques : définition
- Méthode 8 — Reconnaître et modéliser une suite géométrique
IX — Suites géométriques : expression en fonction de $n$
- Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$
X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
- Méthode 10 — Sens de variation d'une suite géométrique
XI — Suites géométriques : problème de seuil
- Méthode 11 — Résoudre un problème de seuil avec un tableau de valeurs
XII — Comparer deux évolutions
- Méthode 12 — Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle

Définition 5 — Suite arithmétique

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ : pour tout $n$ ,

u_{n + 1} = u_{n} + r

Le nombre $r$ s'appelle la raison de la suite.

Propriété 1 — Reconnaître une suite arithmétique

Une suite est arithmétique quand la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même : $u_{n + 1} - u_{n} = r$ . Dans un énoncé : une grandeur augmente (ou diminue) de la même quantité à chaque étape.

Méthode 4 — Reconnaître et modéliser une suite arithmétique

Exemples corrigés

a)
En 2020, une commune compte $800$ arbres en ville et en plante $150$ de plus chaque année. On note $u_{n}$ le nombre d'arbres en $2020 + n$ . Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ , exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ , puis donner la nature de la suite.
b)
Le 1^er mars, une station de ski a $120$ cm de neige ; la hauteur baisse de $4$ cm par jour. On note $h_{n}$ la hauteur, en cm, $n$ jours après le 1^er mars. Modéliser par une suite.
c)
Les listes $7$ ; $11$ ; $15$ ; $19$ et $2$ ; $5$ ; $9$ ; $14$ sont-elles les premiers termes de suites arithmétiques ?

Correction

u_{0} = 800

;

u_{1} = 800 + 150 = 950

;

u_{2} = 950 + 150 = 1100

en 2022, la commune compte

1100

arbres

u_{n + 1} = u_{n} + 150

chaque année, on ajoute

150

(u_{n})

est arithmétique, de premier terme

u_{0} = 800

et de raison

r = 150

même nombre ajouté à chaque étape

h_{0} = 120

h_{n + 1} = h_{n} - 4

on retire

4

chaque jour

(h_{n})

est arithmétique, de raison

r = - 4

retirer

4

, c'est ajouter

- 4

11 - 7 = 4

;

15 - 11 = 4

;

19 - 15 = 4

différences successives

Première liste : arithmétique, de raison

4

les différences sont égales

5 - 2 = 3

mais

9 - 5 = 4

Deuxième liste : pas arithmétique.

les différences changent

À vous de jouer

1°)
En 2024, une association compte $65$ bénévoles et en accueille $9$ de plus chaque année. On note $b_{n}$ le nombre de bénévoles en $2024 + n$ . Exprimer $b_{n + 1}$ en fonction de $b_{n}$ et donner la nature de la suite.
2°)
Les listes $30$ ; $26$ ; $22$ ; $18$ et $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ sont-elles les premiers termes de suites arithmétiques ?

Correction

1°)

b_{0} = 65

b_{n + 1} = b_{n} + 9

chaque année, on ajoute

9

(b_{n})

est arithmétique, de premier terme

b_{0} = 65

et de raison

r = 9

même nombre ajouté à chaque étape

2°)

26 - 30 = - 4

;

22 - 26 = - 4

;

18 - 22 = - 4

différences successives

Première liste : arithmétique, de raison

- 4

les différences sont égales

4 - 2 = 2

mais

8 - 4 = 4

Deuxième liste : pas arithmétique.

les différences changent

À faire : exercices 16 à 19

Exercice 16 — Reconnaître une suite arithmétique

Ces nombres sont-ils les premiers termes d'une suite arithmétique ? Si oui, donner la raison.

6

;

10

;

14

;

18

12

;

9

;

6

;

3

2

;

6

;

18

;

54

1, 5

;

2

;

2, 5

;

3

0

;

1

;

4

;

9

Corrigé

On calcule les différences entre deux termes consécutifs.

r = 4

r = - 3

c) non :

4

, puis

12

r = 0, 5

e) non :

1

, puis

3

Exercice 17 — Modéliser

Pour chaque situation, donner le premier terme, la relation de récurrence et la raison.

a)
Un cinéma vend $50000$ places la première année ( $u_{0}$ ), puis $4000$ de plus chaque année.
b)
Le stock d'un entrepôt, de $6000$ cartons, baisse de $450$ cartons par semaine.
c)
Une cagnotte contient $200$ € ; on y ajoute $15$ € chaque mois.

Corrigé

a)
$u_{0} = 50000$ ; $u_{n + 1} = u_{n} + 4000$ ; $r = 4000$
b)
$u_{0} = 6000$ ; $u_{n + 1} = u_{n} - 450$ ; $r = - 450$
c)
$u_{0} = 200$ ; $u_{n + 1} = u_{n} + 15$ ; $r = 15$

Exercice 18 — Arithmétique ou non ?

Dire si chaque suite est arithmétique, en justifiant.

a)
$u_{n} = 7 - 3 n$ : calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ . La suite est-elle arithmétique ?
b)
$v_{n} = n^{2} + 3$ : calculer $v_{0}$ , $v_{1}$ et $v_{2}$ . La suite est-elle arithmétique ?
c)
$w_{n} = 3 (n + 2)$ : montrer que la suite est arithmétique.

Corrigé

a)
$u_{n + 1} - u_{n} = 4 - 3 n - (7 - 3 n) = - 3$ : constante, donc $arithm \overset{e}{ˊ} tique de raison - 3$ .
b)
$v_{0} = 3$ ; $v_{1} = 4$ ; $v_{2} = 7$ : les différences $1$ et $3$ ne sont pas égales, donc $pas arithm \overset{e}{ˊ} tique$ .
c)
$w_{n} = 3 n + 6$ et $w_{n + 1} - w_{n} = 3$ : $arithm \overset{e}{ˊ} tique de raison 3$ .

Exercice 19 — Compléter

Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont arithmétiques.

a)
$u_{0} = 9$ et $r = - 4$ : calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
b)
$v_{2} = 13$ et $v_{3} = 18$ : donner la raison, puis $v_{4}$ , $v_{1}$ et $v_{0}$ .

Corrigé

a)
$u_{1} = 5$ ; $u_{2} = 1$ ; $u_{3} = - 3$ ; $u_{4} = - 7$
b)
$r = 18 - 13 = 5$ ; $v_{4} = 23$ ; $v_{1} = 8$ ; $v_{0} = 3$