Faire des maths

Chapitre 1 — Suites numériques · coursVIII Suites géométriques : définition

Sommaire du chapitre
  1. I — Notion de suite
  2. II — Suites définies par récurrence
  3. III — Représentation graphique d'une suite
  4. IV — Suites arithmétiques : définition
  5. V — Suites arithmétiques : expression en fonction de
  6. VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
  7. VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
  8. VIII — Suites géométriques : définition
  9. IX — Suites géométriques : expression en fonction de
  10. X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
  11. XI — Suites géométriques : problème de seuil
  12. XII — Comparer deux évolutions

Définition 6 — Suite géométrique

Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre  : pour tout ,

Le nombre s'appelle la raison de la suite.

Propriété 5 — Reconnaître une suite géométrique

Une suite à termes strictement positifs est géométrique quand le quotient de deux termes consécutifs est toujours le même : . Dans un énoncé : une grandeur évolue du même pourcentage à chaque étape.

Méthode 8 — Reconnaître et modéliser une suite géométrique

Exemples corrigés

  1. a)
    En 2022, un lac contient  kg de déchets plastiques ; grâce au nettoyage, cette masse baisse de par an. On note la masse, en kg, en . Calculer , exprimer en fonction de , puis donner la nature de la suite.
  2. b)
    Les listes  ;  ;  ; et  ;  ;  ; sont-elles les premiers termes de suites géométriques ?
Correction

a)

Baisser de , c'est multiplier par .
et .
en 2023, il reste  kg
 : est géométrique, de premier terme et de raison .
même coefficient à chaque étape

b)

 ;  ; .
quotients successifs
Première liste : géométrique, de raison .
les quotients sont égaux
mais .
Deuxième liste : pas géométrique (elle est arithmétique, de raison ).

À vous de jouer

  1. 1°)
    En 2025, une ville compte habitants ; sa population augmente de par an. On note la population en . Donner et , puis exprimer en fonction de .
  2. 2°)
    Un téléphone acheté  € perd de sa valeur chaque année. Quelle est la raison de la suite de ses valeurs ?
  3. 3°)
    La liste  ;  ;  ; est-elle géométrique ?
Correction

1°)

Augmenter de , c'est multiplier par .
et .
en 2026, la ville compte habitants
.
même coefficient à chaque étape : suite géométrique

2°)

Perdre , c'est multiplier par  : la raison est .

3°)

 ;  ; .
quotients successifs
La liste est géométrique, de raison .
les quotients sont égaux
À faire : exercices 32 à 36

Exercice 32 — Coefficient multiplicateur

Donner le coefficient multiplicateur .

a) Augmenter de b) Diminuer de
c) Augmenter de d) Diminuer de
e) Augmenter de f) Diminuer de
g) Augmenter de h) Diminuer de
Corrigé

Augmenter de  :  ; diminuer : .

a)   b) c)   d)
e)   f) g)   h)

Exercice 33 — Retrouver l'évolution

Traduire chaque coefficient par « augmenter de… % » ou « diminuer de… % ».

a) b) c)
d) e) f)
g) h)
Corrigé
a) diminuer de b) augmenter de
c) diminuer de d) augmenter de
e) augmenter de f) diminuer de
g) diminuer de h) augmenter de

 : hausse de  ;  : baisse de .

Exercice 34 — Reconnaître une suite géométrique

Ces nombres sont-ils les premiers termes d'une suite géométrique ? Si oui, donner la raison.

a)  ;  ;  ; b)  ;  ;  ;
c)  ;  ;  ; d)  ;  ;  ;
Corrigé

On calcule les quotients de deux termes consécutifs.

a) b)
c) non : et d)

Exercice 35 — Modéliser

Pour chaque situation, donner le premier terme, la relation de récurrence et la raison, puis calculer le terme de rang .

  1. a)
    Un capital de  € est placé à par an.
  2. b)
    Une forêt de arbres perd de ses arbres par an.
  3. c)
    Les émissions de CO d'une usine, de  t, doivent baisser de par an.
  4. d)
    Une population de insectes augmente de chaque semaine.
Corrigé
  1. a)
     ;  ;  ;
  2. b)
     ;  ;  ;
  3. c)
     ;  ;  ;
  4. d)
     ;  ;  ;

Exercice 36 — Appliquer une évolution

Calculer, sans calculatrice.

a) augmenté de b) diminué de
c) augmenté de d) diminué de
Corrigé
a) b)
c) d)