Chapitre 1 — Suites numériques · coursV Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$

Sommaire du chapitre

I — Notion de suite
- Méthode 1 — Calculer un terme d'une suite définie de façon explicite
II — Suites définies par récurrence
- Méthode 2 — Calculer les termes d'une suite définie par récurrence
III — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 3 — Représenter graphiquement une suite
IV — Suites arithmétiques : définition
- Méthode 4 — Reconnaître et modéliser une suite arithmétique
V — Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$
- Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$
VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
- Méthode 6 — Résoudre un problème de seuil (croissance linéaire)
VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
- Méthode 7 — Sens de variation d'une suite arithmétique
VIII — Suites géométriques : définition
- Méthode 8 — Reconnaître et modéliser une suite géométrique
IX — Suites géométriques : expression en fonction de $n$
- Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$
X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
- Méthode 10 — Sens de variation d'une suite géométrique
XI — Suites géométriques : problème de seuil
- Méthode 11 — Résoudre un problème de seuil avec un tableau de valeurs
XII — Comparer deux évolutions
- Méthode 12 — Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle

Propriété 2 — Terme de rang $n$

Si $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ , alors, pour tout entier $n$ :

u_{n} = u_{0} + n \times r

En effet, pour aller de $u_{0}$ à $u_{n}$ , on ajoute $n$ fois la raison : $u_{1} = u_{0} + r$ ; $u_{2} = u_{0} + 2 r$ ; $u_{3} = u_{0} + 3 r$ …

Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$

Exemples corrigés

a)
Soit $u_{0} = 12$ et $u_{n + 1} = u_{n} - 5$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{30}$ .
b)
Soit $u_{1} = 8$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 3$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c)
Arbres de la méthode 4 : exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer le nombre d'arbres en 2035.

Correction

u_{n}

= u_{0} + n \times r

premier terme

12

, raison

- 5

u_{n}

= 12 + n \times (- 5)

u_{n}

= 12 - 5 n

u_{30}

= 12 - 5 \times 30

on remplace

n

par

30

u_{30}

= - 138

u_{0}

= u_{1} - 3

on recule d'un rang : on retire la raison

u_{0}

= 5

u_{n}

= 5 + 3 n

u_{0} + n \times r

Contrôle :

u_{1} = 5 + 3 \times 1 = 8

on retrouve la donnée

u_{n}

= 800 + 150 n

premier terme

800

, raison

150

u_{15}

= 800 + 150 \times 15

2035 correspond à

n = 15

u_{15}

= 3050

En 2035, la commune comptera

3050

arbres.

À vous de jouer

1°)
Soit $v_{0} = - 3$ et $v_{n + 1} = v_{n} + 7$ . Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et calculer $v_{20}$ .
2°)
Soit $w_{1} = 40$ et $w_{n + 1} = w_{n} - 1, 5$ . Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ .
3°)
Bénévoles de la méthode 4 : combien seront-ils en 2034 ?

Correction

1°)

v_{n}

= v_{0} + n \times r

premier terme

- 3

, raison

7

v_{n}

= - 3 + 7 n

v_{20}

= - 3 + 7 \times 20

on remplace

n

par

20

v_{20}

= 137

2°)

w_{0}

= w_{1} + 1, 5

on recule d'un rang : on retire la raison

- 1, 5

w_{0}

= 41, 5

w_{n}

= 41, 5 - 1, 5 n

w_{0} + n \times r

Contrôle :

w_{1} = 41, 5 - 1, 5 = 40

on retrouve la donnée

3°)

b_{n}

= 65 + 9 n

premier terme

65

, raison

9

b_{10}

= 65 + 9 \times 10

2034 correspond à

n = 10

b_{10}

= 155

En 2034, l'association comptera

155

bénévoles.

À faire : exercices 20 à 24

Exercice 20 — Appliquer la formule

Pour chaque suite arithmétique, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer le terme demandé.

a)
$u_{0} = 10$ et $r = - 3$ : $u_{8}$ .
b)
$u_{0} = - 4$ et $r = 5$ : $u_{12}$ .
c)
$u_{1} = 600$ et $r = 40$ : $u_{8}$ .
d)
$u_{1} = - 7$ et $r = 4$ : $u_{5}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 10 - 3 n$ ; $u_{8} = 10 - 24 = - 14$
b)
$u_{n} = - 4 + 5 n$ ; $u_{12} = - 4 + 60 = 56$
c)
$u_{0} = 600 - 40 = 560$ et $u_{n} = 560 + 40 n$ ; $u_{8} = 880$
d)
$u_{0} = - 7 - 4 = - 11$ et $u_{n} = - 11 + 4 n$ ; $u_{5} = 9$

Avec $u_{1}$ , on recule d'un rang pour trouver $u_{0}$ , puis $u_{n} = u_{0} + n r$ .

Exercice 21 — Une suite qui diminue

On donne $u_{1} = 185$ ; $u_{2} = 172$ ; $u_{3} = 159$ et $u_{4} = 146$ .

a)
Montrer que ce sont les termes d'une suite arithmétique, et donner sa raison.
b)
Calculer $u_{5}$ , puis $u_{14}$ .

Corrigé

a)
$172 - 185 = - 13$ ; $159 - 172 = - 13$ ; $146 - 159 = - 13$ : les différences sont égales, la suite est arithmétique, $r = - 13$ .
b)
$u_{5} = 146 - 13 = 133$ ; $u_{14} = u_{1} + 13 r$ , soit $u_{14} = 185 - 169 = 16$

Exercice 22 — Production d'un atelier

En 2010, un atelier fabrique $4000$ vélos ; sa production augmente de $250$ vélos par an. On note $u_{n}$ la production en $2010 + n$ .

a)
Donner la nature de la suite $(u_{n})$ , puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
b)
Calculer la production en 2013, puis en 2030.

Corrigé

a)
Arithmétique de raison $250$ : $u_{n} = 4000 + 250 n$
b)
2013 : $u_{3} = 4750$ ; 2030 : $u_{20} = 4000 + 5000 = 9000$

Exercice 23 — Lire la formule

Donner le premier terme $u_{0}$ et la raison de chaque suite arithmétique.

u_{n} = 5 + 4 n

v_{n} = 18 - 1, 5 n

w_{n} = 6 n

Corrigé

u_{0} = 5

;

r = 4

v_{0} = 18

;

r = - 1, 5

w_{0} = 0

;

r = 6

Exercice 24 — Un terme lointain

Calculer le terme demandé de chaque suite arithmétique.

a)
$u_{0} = 15$ et $r = 4$ : $u_{100}$ .
b)
$u_{1} = 7$ et $r = 3$ : $u_{50}$ .

Corrigé

a)
$u_{100} = 15 + 100 \times 4 = 415$
b)
$u_{50} = 7 + 49 \times 3 = 154$

Avec $u_{1}$ , on ajoute la raison $49$ fois (et non $50$ ) pour atteindre $u_{50}$ .

Chapitre 1 — Suites numériques · coursV Suites arithmétiques : expression en fonction de n

Propriété 2 — Terme de rang n

Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de n

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 20 — Appliquer la formule

Exercice 21 — Une suite qui diminue

Exercice 22 — Production d'un atelier

Exercice 23 — Lire la formule

Exercice 24 — Un terme lointain

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Propriété 2 — Terme de rang $n$

Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$