Chapitre 1 — Suites numériques · coursX Suites géométriques : variations et représentation graphique

Sommaire du chapitre

I — Notion de suite
- Méthode 1 — Calculer un terme d'une suite définie de façon explicite
II — Suites définies par récurrence
- Méthode 2 — Calculer les termes d'une suite définie par récurrence
III — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 3 — Représenter graphiquement une suite
IV — Suites arithmétiques : définition
- Méthode 4 — Reconnaître et modéliser une suite arithmétique
V — Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$
- Méthode 5 — Exprimer une suite arithmétique en fonction de $n$
VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
- Méthode 6 — Résoudre un problème de seuil (croissance linéaire)
VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
- Méthode 7 — Sens de variation d'une suite arithmétique
VIII — Suites géométriques : définition
- Méthode 8 — Reconnaître et modéliser une suite géométrique
IX — Suites géométriques : expression en fonction de $n$
- Méthode 9 — Exprimer une suite géométrique en fonction de $n$
X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
- Méthode 10 — Sens de variation d'une suite géométrique
XI — Suites géométriques : problème de seuil
- Méthode 11 — Résoudre un problème de seuil avec un tableau de valeurs
XII — Comparer deux évolutions
- Méthode 12 — Comparer une croissance linéaire et une croissance exponentielle

Propriété 7 — Sens de variation

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme $u_{0} > 0$ .

Si $q > 1$ , la suite est croissante.
Si $q = 1$ , la suite est constante.
Si $0 < q < 1$ , la suite est décroissante.

Propriété 8 — Représentation graphique

Les points d'une suite géométrique ne sont pas alignés. Quand $q > 1$ , l'écart entre deux termes consécutifs grandit de plus en plus : on parle de croissance exponentielle (de décroissance exponentielle quand $0 < q < 1$ ).

$u_{n} = 0, 5 \times 2^{n}$ : $q = 2 > 1$

$v_{n} = 16 \times 0, 5^{n}$ : $q = 0, 5 < 1$

Méthode 10 — Sens de variation d'une suite géométrique

Exemples corrigés

Donner le sens de variation de chaque suite.

a)
$u_{n} = 7 \times 1, 5^{n}$
b)
$v_{0} = 40$ et $v_{n + 1} = 0, 25 v_{n}$
c)
La masse de déchets du lac (méthode 8 : $- 20 %$ par an)

Correction

q = 1, 5 > 1

(u_{n})

est croissante.

la raison est le nombre élevé à la puissance

n

q = 0, 25

0 < q < 1

(v_{n})

est décroissante.

on multiplie par

0, 25

à chaque étape

q = 0, 8

0 < q < 1

: la masse de déchets diminue d'année en année.

baisse de

20 %

\times 0, 8

À vous de jouer

Donner le sens de variation de chaque suite géométrique :

u_{n} = 50 \times 0, 9^{n}

v_{0} = 3 et v_{n + 1} = 1, 1 v_{n}

une population qui augmente de 2 % par an

Correction

u_{n} = 50 \times 0, 9^{n}

q = 0, 9

0 < q < 1

, la suite est décroissante.

la raison est le nombre élevé à la puissance

n

v_{n + 1} = 1, 1 v_{n}

q = 1, 1 > 1

, la suite est croissante.

Hausse de

2 %

q = 1, 02 > 1

, la population est croissante.

\times 1, 02

chaque année

À faire : exercices 42 à 44

Exercice 42 — Sens de variation

Donner la raison, puis le sens de variation de chaque suite géométrique.

u_{n} = 8 \times 1, 3^{n}

v_{n} = 500 \times 0, 6^{n}

c) $w_{0} = 7$ et $w_{n + 1} = 1, 02 w_{n}$

d) $t_{0} = 40$ et $t_{n + 1} = 0, 25 t_{n}$

e) une quantité qui baisse de $5 %$ par an.

Corrigé

a)
$q = 1, 3 > 1$ : $croissante$
b)
$q = 0, 6 < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
c)
$q = 1, 02 > 1$ : $croissante$
d)
$q = 0, 25 < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
e)
$q = 0, 95 < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$

Exercice 43 — Linéaire ou exponentielle ?

On a représenté deux suites : $(a_{n})$ par des croix droites ( $+$ ), $(b_{n})$ par des croix obliques ( $\times$ ).

a)
Laquelle est arithmétique ? géométrique ? Donner leurs raisons.
b)
Calculer $a_{5}$ et $b_{5}$ .
c)
Laquelle a une décroissance linéaire ? exponentielle ?

Corrigé

a)
$(a_{n})$ : $8$ ; $6, 5$ ; $5$ … $arithm \overset{e}{ˊ} tique, r = - 1, 5$ ;
$(b_{n})$ : $8$ ; $4$ ; $2$ ; $1$ ; $0, 5$ : $g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, q = 0, 5$
b)
$a_{5} = 2 - 1, 5 = 0, 5$ ; $b_{5} = 0, 5 \times 0, 5 = 0, 25$
c)
Linéaire : $(a_{n})$ ; exponentielle : $(b_{n})$ .

Exercice 44 — Vrai ou faux ?

Justifier chaque réponse.

a)
Une suite géométrique de raison $1, 05$ (et de premier terme positif) est décroissante.
b)
Une quantité qui baisse de $4 %$ par an est modélisée par une suite décroissante.
c)
Les points d'une suite arithmétique de raison $3$ sont alignés.
d)
$u_{n} = 5 \times 0, 8^{n}$ est croissante, car $5 > 1$ .

Corrigé

a)
$Faux$ : $1, 05 > 1$ , la suite est croissante.
b)
$Vrai$ : $q = 0, 96 < 1$ .
c)
$Vrai$ : les points d'une suite arithmétique sont toujours alignés.
d)
$Faux$ : on compare $q = 0, 8$ à $1$ , pas le premier terme ; $0 < 0, 8 < 1$ , elle est décroissante.