Chapitre 4 — Suites numériques · coursI Définition d'une suite

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Définition 1 — Suite numérique

Une suite $(u_{n})$ associe un nombre $u_{n}$ à chaque entier $n = 0$ , $1$ , $2$ , $3$ …

Les nombres $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ … sont les termes de la suite.
L'entier $n$ est le rang du terme $u_{n}$ (on lit « $u$ indice $n$ »).

Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste

Exemples corrigés

Chaque liste donne les premiers termes d'une suite $(u_{n})$ , numérotée à partir de $u_{0}$ . Trouver comment on passe d'un terme au suivant, puis répondre.

a)
$6$ ; $11$ ; $16$ ; $21$ ; … Donner $u_{0}$ , $u_{4}$ et $u_{7}$ .
b)
$3$ ; $6$ ; $12$ ; $24$ ; … Donner les deux termes suivants, puis $u_{5}$ .
c)
$2$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ; $10$ ; … Donner $u_{3}$ et $u_{6}$ .

Correction

On ajoute

5

6

;

11

;

16

;

21

;

26

;

31

;

36

;

41

on prolonge la liste jusqu'au rang demandé

u_{0} = 6

;

u_{4} = 26

;

u_{7} = 41

u_{7}

est le

8^{e}

nombre de la liste

On multiplie par

2

: les deux termes suivants sont

48

96

u_{5} = 96

u_{0} = 3

, donc

96

est

u_{5}

Chaque terme est la somme des deux précédents :

2

;

2

;

4

;

6

;

10

;

16

;

26

4 = 2 + 2

6 = 2 + 4

10 = 4 + 6

…

u_{3} = 6

;

u_{6} = 26

on compte à partir de

u_{0}

À vous de jouer

Pour chaque suite, donner les deux termes suivants, puis $u_{2}$ et $u_{7}$ :

4; 10; 16; 22; \dots

1; 4; 16; 64; \dots

1; 4; 9; 16; 25; \dots

Correction

$4$ ; $10$ ; $16$ ; $22$ ; …

On ajoute

6

4

;

10

;

16

;

22

;

28

;

34

;

40

;

46

on prolonge la liste jusqu'au rang demandé

Les deux termes suivants sont

28

34

;

u_{2} = 16

u_{7} = 46

u_{7}

est le

8^{e}

nombre de la liste

$1$ ; $4$ ; $16$ ; $64$ ; …

On multiplie par

4

1

;

4

;

16

;

64

;

256

;

1024

;

4096

;

16384

Les deux termes suivants sont

256

1024

;

u_{2} = 16

u_{7} = 16384

$1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; …

Ce sont les carrés :

1^{2}

;

2^{2}

;

3^{2}

… Les deux termes suivants sont

36

49

les écarts

3

5

7

9

augmentent de

2

u_{2} = 9

u_{7} = 8^{2} = 64

on compte à partir de

u_{0} = 1

À faire : exercices 1 à 4

Exercice 1 — Suites logiques

Pour chaque liste, dire comment on passe d'un nombre au suivant, puis écrire les trois nombres suivants.

a)
$5$ ; $10$ ; $15$ ; $20$ ; $25$ ; …
b)
$2$ ; $9$ ; $16$ ; $23$ ; $30$ ; …
c)
$30$ ; $26$ ; $22$ ; $18$ ; …
d)
$3$ ; $9$ ; $27$ ; $81$ ; …
e)
$1$ ; $8$ ; $27$ ; $64$ ; $125$ ; …
f)
$1$ ; $3$ ; $4$ ; $7$ ; $11$ ; $18$ ; …

Corrigé

a)
On ajoute $5$ : $30; 35; 40$
b)
On ajoute $7$ : $37; 44; 51$
c)
On enlève $4$ : $14; 10; 6$
d)
On multiplie par $3$ : $243; 729; 2187$
e)
Les cubes $1^{3}$ , $2^{3}$ , $3^{3}$ … : $216; 343; 512$
f)
Chaque nombre est la somme des deux précédents : $29; 47; 76$

Exercice 2 — Rang et position

La suite $(u_{n})$ commence par $7$ ; $13$ ; $19$ ; $25$ ; …, avec $u_{0} = 7$ .

1)
Donner $u_{1}$ et $u_{3}$ .
2)
Quel est le rang du $5^{e}$ terme ? Calculer ce terme.
3)
Calculer $u_{8}$ . À quelle position de la liste se trouve-t-il ?

Corrigé

On ajoute $6$ : $7$ ; $13$ ; $19$ ; $25$ ; $31$ ; $37$ ; $43$ ; $49$ ; $55$ .

1°)
$u_{1} = 13$ et $u_{3} = 25$ .
2°)
Le $5^{e}$ terme est de rang $4$ : $u_{4} = 31$ .
3°)
$u_{8} = 55$ , le $9^{e}$ nombre de la liste.

Le rang vaut la position moins $1$ , puisqu'on commence à $u_{0}$ .

Exercice 3 — Lire un tableau

Voici les premiers termes d'une suite $(u_{n})$ .

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$u_{n}$	$15$	$11$	$7$	$3$	$- 1$	$- 5$

1)
Donner $u_{3}$ , puis le $3^{e}$ terme de la suite.
2)
Pour quel rang $n$ a-t-on $u_{n} = - 1$ ?
3)
Comment passe-t-on d'un terme au suivant ? En déduire $u_{6}$ .

Corrigé

1°)
$u_{3} = 3$ ; le $3^{e}$ terme est $u_{2} = 7$ .
2°)
$u_{n} = - 1$ pour $n = 4$ .
3°)
On enlève $4$ à chaque fois : $u_{6} = - 5 - 4 = - 9$ .

Exercice 4 — Les tribunes d'un stade

Dans une tribune, la première rangée compte $30$ sièges, et chaque rangée en compte $4$ de plus que la précédente. On note $u_{0} = 30$ le nombre de sièges de la première rangée, $u_{1}$ celui de la deuxième, etc.

1)
Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
2)
Combien de sièges compte la $1 0^{e}$ rangée ?
3)
Quelle rangée compte $70$ sièges ?

Corrigé

1°)
On ajoute $4$ sièges par rangée : $u_{1} = 34$ ; $u_{2} = 38$ ; $u_{3} = 42$ ; $u_{4} = 46$ .
2°)
La $1 0^{e}$ rangée correspond à $u_{9}$ : on ajoute $9$ fois $4$ sièges à $u_{0}$ , soit $30 + 36 = 66$ sièges.
3°)
De $30$ à $70$ , on ajoute $40$ sièges, soit $10$ fois $4$ : $u_{10} = 70$ . C'est la $1 1^{e}$ rangée.

Piège du décalage : $u_{10}$ est la $1 1^{e}$ rangée.