Chapitre 4 — Suites numériques · coursVIII Reconnaître une suite arithmétique

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Propriété 1 — Le test de la différence

La suite $(u_{n})$ est arithmétique quand la différence entre un terme et le précédent est toujours la même :

u_{n + 1} - u_{n} = r

(un nombre, sans n)

Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas

Exemples corrigés

a)
Les nombres $5$ ; $9$ ; $13$ ; $17$ peuvent-ils être les premiers termes d'une suite arithmétique ? Et $3$ ; $6$ ; $12$ ; $24$ ?
b)
Soit $u_{n} = 4 n - 1$ . Montrer que $(u_{n})$ est arithmétique.
c)
Soit $v_{n} = n^{2} + 2$ . La suite $(v_{n})$ est-elle arithmétique ?

Correction

9 - 5 = 4

;

13 - 9 = 4

;

17 - 13 = 4

: oui, de raison

4

on calcule toutes les différences

6 - 3 = 3

mais

12 - 6 = 6

: non.

deux différences distinctes suffisent pour dire non

u_{n + 1}

= 4 (n + 1) - 1

on remplace

n

par

n + 1

u_{n + 1}

= 4 n + 3

u_{n + 1} - u_{n}

= 4 n + 3 - (4 n - 1)

u_{n + 1} - u_{n}

= 4

un nombre, sans

n

(u_{n})

est arithmétique, de raison

r = 4

et de premier terme

u_{0} = - 1

v_{0} = 2

v_{1} = 3

v_{2} = 6

; or

v_{1} - v_{0} = 1

v_{2} - v_{1} = 3

les premiers termes suffisent pour dire non

Les différences ne sont pas égales :

(v_{n})

n'est pas arithmétique.

À vous de jouer

Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique ; si oui, donner sa raison et son premier terme :

a_{n} = 9 - 3 n

b_{n} = 3 n^{2}

c_{n} = \frac{n + 3}{2}

Correction

$(a_{n})$

a_{n + 1}

= 9 - 3 (n + 1)

on remplace

n

par

n + 1

a_{n + 1}

= 6 - 3 n

a_{n + 1} - a_{n}

= 6 - 3 n - (9 - 3 n)

a_{n + 1} - a_{n}

= - 3

un nombre, sans

n

(a_{n})

est arithmétique, de raison

r = - 3

et de premier terme

a_{0} = 9

$(b_{n})$

b_{0} = 0

b_{1} = 3

b_{2} = 12

; or

b_{1} - b_{0} = 3

b_{2} - b_{1} = 9

les premiers termes suffisent pour dire non

(b_{n})

n'est pas arithmétique.

$(c_{n})$

c_{n + 1} - c_{n}

= \frac{n + 4}{2} - \frac{n + 3}{2}

c_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) + 3}{2}

c_{n + 1} - c_{n}

= \frac{1}{2}

(c_{n})

est arithmétique, de raison

r = \frac{1}{2}

et de premier terme

c_{0} = \frac{3}{2}

À faire : exercices 32 à 34

Exercice 32 — À partir des termes

Ces nombres peuvent-ils être les premiers termes d'une suite arithmétique ? Si oui, donner la raison.

a)
$3$ ; $8$ ; $13$ ; $18$
b)
$20$ ; $14$ ; $8$ ; $2$
c)
$2$ ; $3$ ; $5$ ; $8$
d)
$1, 5$ ; $2, 25$ ; $3$ ; $3, 75$
e)
$401$ ; $377$ ; $353$ ; $329$
f)
$2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$

Corrigé

a)
Différences $5$ ; $5$ ; $5$ : $oui, r = 5$
b)
Différences $- 6$ ; $- 6$ ; $- 6$ : $oui, r = - 6$
c)
Différences $1$ puis $2$ : $non$
d)
Différences $0, 75$ ; $0, 75$ ; $0, 75$ : $oui, r = 0, 75$
e)
Différences $- 24$ ; $- 24$ ; $- 24$ : $oui, r = - 24$
f)
Différences $2$ puis $4$ : $non$

Exercice 33 — Démontrer

Soit $u_{n} = 5 n - 2$ .

1)
Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
2)
Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $n$ .
3)
Démontrer que $(u_{n})$ est arithmétique ; préciser son premier terme et sa raison.

Corrigé

1°)
$u_{0} = - 2$ ; $u_{1} = 3$ ; $u_{2} = 8$ ; $u_{3} = 13$ .
2°)
$u_{n + 1} = 5 (n + 1) - 2 = 5 n + 3$ .
3°)
$u_{n + 1} - u_{n} = 5 n + 3 - (5 n - 2) = 5$ : un nombre, sans $n$ .
$(u_{n}) est arithm \overset{e}{ˊ} tique, u_{0} = - 2 et r = 5$

Exercice 34 — Pour chaque suite

Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique. Si oui, donner sa raison et son premier terme ; sinon, le prouver avec les premiers termes.

a)
$a_{n} = 4 n$
b)
$b_{n} = 2 - 3 n$
c)
$c_{n} = n^{2} + n$
d)
$d_{n} = \frac{n}{3}$
e)
$e_{n} = 2 - n^{2}$
f)
$f_{n} = (n + 2)^{2} - n^{2}$
g)
$g_{0} = 1$ et $g_{n + 1} = g_{n}^{2} + 1$

Corrigé

a)
$a_{n + 1} - a_{n} = 4$ : $oui, r = 4 et a_{0} = 0$
b)
$b_{n + 1} - b_{n} = - 3$ : $oui, r = - 3 et b_{0} = 2$
c)
$0$ ; $2$ ; $6$ , différences $2$ et $4$ : $non$
d)
$d_{n + 1} - d_{n} = \frac{1}{3}$ : $oui, r = \frac{1}{3} et d_{0} = 0$
e)
$2$ ; $1$ ; $- 2$ , différences $- 1$ et $- 3$ : $non$
f)
$f_{n} = n^{2} + 4 n + 4 - n^{2} = 4 n + 4$ , donc $f_{n + 1} - f_{n} = 4$ : $oui, r = 4 et f_{0} = 4$
g)
$1$ ; $2$ ; $5$ , différences $1$ et $3$ : $non$

En f), on développe d'abord : l'expression se simplifie en $4 n + 4$ .