Chapitre 4 — Suites numériques · coursVII Suites arithmétiques

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Définition 6 — Suite arithmétique

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ :

u_{n + 1} = u_{n} + r

pour tout entier n

Ce nombre $r$ est la raison de la suite ; il est négatif quand on enlève.

Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique

Exemples corrigés

a)
$(u_{n})$ est arithmétique, de premier terme $u_{0} = - 5$ et de raison $4$ . Écrire la relation de récurrence, puis calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b)
Louer une nacelle élévatrice coûte $40$ € de forfait, puis $15$ € par heure. On note $p_{n}$ le prix pour $n$ heures. Donner $p_{0}$ , la relation entre $p_{n + 1}$ et $p_{n}$ , puis $p_{3}$ .

Correction

u_{n + 1} = u_{n} + 4

on ajoute la raison

u_{1}

= - 5 + 4 = - 1

u_{2}

= - 1 + 4 = 3

u_{3}

= 3 + 4 = 7

p_{0} = 40

p_{n + 1} = p_{n} + 15

départ : le forfait ; chaque heure ajoute

15

€

(p_{n})

est arithmétique de raison

15

p_{1} = 55

p_{2} = 70

p_{3} = 85

À vous de jouer

a)
$(b_{n})$ est arithmétique, avec $b_{0} = 12$ et $r = - 1, 5$ . Calculer $b_{1}$ , $b_{2}$ et $b_{3}$ .
b)
Le réservoir d'un groupe électrogène contient $30$ L ; le groupe consomme $2, 5$ L par heure. On note $h_{n}$ le volume restant après $n$ heures. Donner $h_{0}$ , la relation entre $h_{n + 1}$ et $h_{n}$ , puis $h_{4}$ .

Correction

b_{n + 1} = b_{n} - 1, 5

on ajoute la raison

- 1, 5

b_{1}

= 12 - 1, 5 = 10, 5

b_{2}

= 10, 5 - 1, 5 = 9

b_{3}

= 9 - 1, 5 = 7, 5

h_{0} = 30

h_{n + 1} = h_{n} - 2, 5

départ : le plein ; chaque heure retire

2, 5

(h_{n})

est arithmétique de raison

- 2, 5

h_{1} = 27, 5

h_{2} = 25

h_{3} = 22, 5

h_{4} = 20

au bout de

4

h, il reste

20

À faire : exercices 28 à 31

Exercice 28 — Premiers termes

$(u_{n})$ est arithmétique. Écrire la relation de récurrence, puis calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .

a)
$u_{0} = 4$ et $r = 6$
b)
$u_{0} = 12$ et $r = - 5$
c)
$u_{0} = - 3$ et $r = 0, 5$
d)
$u_{0} = \frac{1}{4}$ et $r = \frac{1}{2}$

Corrigé

a)
$u_{n + 1} = u_{n} + 6$ : $10; 16; 22$
b)
$u_{n + 1} = u_{n} - 5$ : $7; 2; - 3$
c)
$u_{n + 1} = u_{n} + 0, 5$ : $- 2, 5; - 2; - 1, 5$
d)
$u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{2}$ : $\frac{3}{4}; \frac{5}{4}; \frac{7}{4}$

En d), $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ : on ajoute $\frac{2}{4}$ à chaque fois.

Exercice 29 — Arithmétique ou pas ?

Pour chaque situation, dire si elle se traduit par une suite arithmétique ; si oui, donner le premier terme et la raison.

a)
Un loyer de $650$ € augmente de $15$ € chaque année.
b)
Une population de $5000$ bactéries augmente de $10 %$ par heure.
c)
Une piscine de $60 m^{3}$ se vide de $4 m^{3}$ par heure.
d)
Une balle lâchée de $3$ m remonte, à chaque rebond, aux trois quarts de sa hauteur précédente.

Corrigé

a)
On ajoute $15$ : $oui, u_{0} = 650 et r = 15$ .
b)
On multiplie par $1, 1$ : $non$ (c'est une suite géométrique).
c)
On enlève $4$ : $oui, u_{0} = 60 et r = - 4$ .
d)
On multiplie par $0, 75$ : $non$ .

« Ajouter le même nombre » : arithmétique ; « le même pourcentage » : ce n'est pas arithmétique.

Exercice 30 — Le food truck

La première semaine, un food truck sert $40$ repas ; ensuite, il en sert chaque semaine $5$ de plus que la semaine précédente. On note $u_{1} = 40$ les repas de la première semaine, $u_{2}$ ceux de la deuxième, etc.

1)
Justifier que $(u_{n})$ est arithmétique et donner sa raison.
2)
Combien de repas sont servis la $2^{e}$ semaine ? la $6^{e}$ ?

Corrigé

1°)
Chaque semaine, on ajoute $5$ repas : $u_{n + 1} = u_{n} + 5$ . La suite est $arithm \overset{e}{ˊ} tique de raison 5$ .
2°)
$u_{2} = 40 + 5 = 45$ repas.
$u_{6}$ : de $u_{1}$ à $u_{6}$ , on ajoute $5$ fois $5$ , soit $40 + 25 = 65$ repas.

Exercice 31 — Une application

Une application compte $2500$ utilisateurs le premier mois, puis $400$ de plus chaque mois. On note $v_{1}$ le nombre d'utilisateurs du premier mois, $v_{2}$ celui du deuxième, etc.

1)
Donner $v_{1}$ , puis calculer $v_{2}$ , $v_{3}$ et $v_{4}$ .
2)
Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ? Donner sa raison.

Corrigé

1°)
$v_{1} = 2500$ ; $v_{2} = 2900$ ; $v_{3} = 3300$ ; $v_{4} = 3700$ .
2°)
On ajoute $400$ chaque mois : $arithm \overset{e}{ˊ} tique de raison 400$ .