Chapitre 4 — Suites numériques · coursXII Terme général et variations d'une suite géométrique

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Propriété 6 — Terme général

Si $(u_{n})$ est géométrique, de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$ , alors pour tout entier $n$ :

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

De $u_{0}$ à $u_{n}$ , on multiplie $n$ fois par $q$ .

Les points ne sont pas alignés : pour $q > 1$ , ils montent de plus en plus vite. C'est une croissance exponentielle.

$u_{0} = 1$ et $q = 2$

Propriété 7 — Sens de variation

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme $u_{0} > 0$ .

Si $q > 1$ , la suite est croissante.
Si $q = 1$ , la suite est constante.
Si $0 < q < 1$ , la suite est décroissante, et ses termes se rapprochent de $0$ .

Démonstration. $u_{n + 1} - u_{n} = q \times u_{n} - u_{n} = u_{n} \times (q - 1)$ ; les termes $u_{n}$ sont positifs, donc la différence a le signe de $q - 1$ .

Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Exemples corrigés

a)
Le placement de la méthode 10 : $u_{0} = 800$ et $q = 1, 03$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , calculer $u_{10}$ , puis donner le sens de variation.
b)
Le village de la méthode 10 : $P_{0} = 2000$ et $q = 0, 96$ . Quelle sera sa population dans $10$ ans ?
c)
Au bout de combien d'années le capital du a) aura-t-il doublé ?

Correction

u_{n}

= 800 \times 1, 0 3^{n}

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

u_{10}

= 800 \times 1, 0 3^{10}

à la calculatrice

u_{10}

≃ 1075, 13

Après

10

ans, le capital vaut environ

1075, 13

€.

arrondi au centime

q = 1, 03 > 1

: la suite est croissante.

on compare

q

1

P_{n}

= 2000 \times 0, 9 6^{n}

P_{10}

= 2000 \times 0, 9 6^{10}

P_{10}

≃ 1329, 7

Environ

1330

habitants ;

0 < q < 1

: la population diminue.

on arrondit à l'unité : des habitants

On cherche le premier

n

tel que

u_{n} ⩾ 1600

, dans le tableau de valeurs de

800 \times 1, 0 3^{x}

doubler : atteindre

2 \times 800

u_{23} ≃ 1578, 87 < 1600

u_{24} ≃ 1626, 24 ⩾ 1600

on lit les deux lignes autour du seuil

Le capital aura doublé au bout de

24

ans.

À vous de jouer

a)
$(a_{n})$ est géométrique, avec $a_{0} = 5$ et $q = 2$ . Exprimer $a_{n}$ , calculer $a_{6}$ , puis donner le sens de variation.
b)
$(b_{n})$ est géométrique, avec $b_{0} = 729$ et $q = \frac{1}{3}$ . Calculer $b_{5}$ et donner le sens de variation.
c)
Le vélo de la méthode 10 : $v_{n} = 1500 \times 0, 8^{n}$ . Au bout de combien d'années vaut-il moins de $500$ € ?

Correction

a_{n}

= 5 \times 2^{n}

a_{n} = a_{0} \times q^{n}

a_{6}

= 5 \times 2^{6}

a_{6}

= 320

2^{6} = 64

q = 2 > 1

: la suite est croissante.

premier terme positif

b_{5}

= 729 \times (\frac{1}{3})^{5}

b_{5}

= \frac{729}{243} = 3

3^{5} = 243

0 < q < 1

: la suite est décroissante.

On cherche le premier

n

tel que

v_{n} < 500

, dans le tableau de valeurs de

1500 \times 0, 8^{x}

v_{4} = 614, 40

v_{5} ≃ 491, 52

on lit les deux lignes autour du seuil

Le vélo vaut moins de

500

€ au bout de

5

ans.

À faire : exercices 48 à 52

Exercice 48 — Calculer un terme éloigné

$(u_{n})$ est géométrique. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , calculer le terme demandé, puis donner le sens de variation.

a)
$u_{0} = 3$ , $q = 2$ : $u_{10}$
b)
$u_{0} = 6$ , $q = \frac{1}{2}$ : $u_{5}$
c)
$u_{0} = 2000$ , $q = 0, 8$ : $u_{5}$
d)
$u_{0} = 8$ , $q = 1$ : $u_{30}$

Corrigé

a)
$u_{n} = 3 \times 2^{n}$ ; $u_{10} = 3 \times 1024 = 3072$ ; $q > 1$ : $croissante$
b)
$u_{n} = 6 \times (\frac{1}{2})^{n}$ ; $u_{5} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$ ; $0 < q < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
c)
$u_{n} = 2000 \times 0, 8^{n}$ ; $u_{5} = 655, 36$ ; $0 < q < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
d)
$u_{n} = 8 \times 1^{n} = 8$ ; $u_{30} = 8$ ; $q = 1$ : $constante$

Exercice 49 — Quand on ne part pas de $u_{0}$

$(u_{n})$ est géométrique.

a)
$u_{1} = 4$ et $q = 3$ . Exprimer $u_{n}$ , puis calculer $u_{6}$ .
b)
$u_{2} = 5$ et $q = 2$ . Calculer $u_{3}$ , $u_{4}$ et $u_{5}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 4 \times 3^{n - 1}$ ; $u_{6} = 4 \times 3^{5} = 972$ .
b)
On multiplie par $2$ : $u_{3} = 10$ ; $u_{4} = 20$ ; $u_{5} = 40$ .

De $u_{1}$ à $u_{6}$ , on multiplie $5$ fois par $q$ : l'exposant est $n - 1$ .

Exercice 50 — Un placement

On place $5000$ € à $5 %$ par an : chaque fin d'année, les intérêts s'ajoutent au capital. On note $C_{n}$ le capital après $n$ années.

1)
Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$ .
2)
Quelle est la nature de la suite $(C_{n})$ ? Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ .
3)
Calculer le capital après $10$ ans, arrondi au centime.
4)
Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ?

Corrigé

1°)
$C_{1} = 1, 05 \times 5000 = 5250$ € ; $C_{2} = 1, 05 \times 5250 = 5512, 50$ €.
2°)
Géométrique de raison $1, 05$ : $C_{n} = 5000 \times 1, 0 5^{n}$ .
3°)
$C_{10} = 5000 \times 1, 0 5^{10} ≃ 8144, 47$ €.
4°)
Tableau de valeurs : $C_{14} ≃ 9899, 66 < 10000$ et $C_{15} ≃ 10394, 64 ⩾ 10000$ .
$au bout de 15 ans$

Exercice 51 — La ville (suite)

On reprend la ville de l'exercice 43 b) : $u_{0} = 40000$ et $q = 0, 97$ .

1)
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis donner le sens de variation.
2)
Quelle sera la population après $10$ ans ?
3)
Au bout de combien d'années la ville comptera-t-elle moins de $35000$ habitants ?

Corrigé

1°)
$u_{n} = 40000 \times 0, 9 7^{n}$ ; $0 < q < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
2°)
$u_{10} ≃ 29497$ habitants.
3°)
Tableau de valeurs : $u_{4} ≃ 35412$ et $u_{5} ≃ 34349 < 35000$ .
$au bout de 5 ans$

Une population s'arrondit à l'unité.

Exercice 52 — La batterie d'un drone

Au premier vol, la batterie d'un drone tient $30$ minutes. À chaque nouveau vol, elle s'use : elle ne tient plus que $98 %$ de la durée du vol précédent. On note $d_{1} = 30$ la durée du premier vol, $d_{2}$ celle du deuxième, etc.

1)
Quelle est la nature de la suite $(d_{n})$ ? Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ .
2)
Calculer $d_{5}$ , arrondi au centième.
3)
À partir de quel vol la batterie tient-elle moins de $24$ minutes ?

Corrigé

1°)
On multiplie par $0, 98$ à chaque vol : géométrique de raison $0, 98$ , qui commence à $d_{1}$ .
$d_{n} = 30 \times 0, 9 8^{n - 1}$
2°)
$d_{5} = 30 \times 0, 9 8^{4} ≃ 27, 67$ minutes.
3°)
Tableau de valeurs : $d_{12} ≃ 24, 02$ et $d_{13} ≃ 23, 54 < 24$ .
$\overset{a}{ˋ} partir du 1 3^{e} vol$

La suite commence à $d_{1}$ : l'exposant est $n - 1$ .

	Arithmétique (raison $r$ )	Géométrique (raison $q > 0$ )
D'un terme au suivant	on ajoute $r$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r$	on multiplie par $q$ : $u_{n + 1} = q \times u_{n}$
Terme général	$u_{n} = u_{0} + n \times r$	$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$
Croissante si	$r > 0$	$q > 1$ (avec $u_{0} > 0$ )
Décroissante si	$r < 0$	$0 < q < 1$ (avec $u_{0} > 0$ )
Graphique	points alignés : croissance linéaire	croissance exponentielle (si $q > 1$ )

Chapitre 4 — Suites numériques · coursXII Terme général et variations d'une suite géométrique

Propriété 6 — Terme général

Propriété 7 — Sens de variation

Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 48 — Calculer un terme éloigné

Exercice 49 — Quand on ne part pas de u0​

Exercice 50 — Un placement

Exercice 51 — La ville (suite)

Exercice 52 — La batterie d'un drone

Exercice 49 — Quand on ne part pas de $u_{0}$