Chapitre 4 — Suites numériques · coursXI Reconnaître une suite géométrique

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Propriété 5 — Le test du quotient

La suite $(u_{n})$ , dont aucun terme n'est nul, est géométrique quand le quotient d'un terme par le précédent est toujours le même :

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q

(un nombre, sans n)

Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas

Exemples corrigés

a)
Les nombres $2$ ; $6$ ; $18$ ; $54$ peuvent-ils être les premiers termes d'une suite géométrique ? Et $4$ ; $8$ ; $16$ ; $30$ ?
b)
Soit $u_{n} = 3 \times 5^{n}$ . Montrer que $(u_{n})$ est géométrique.
c)
Soit $v_{n} = 3 n + 2$ . La suite $(v_{n})$ est-elle géométrique ?

Correction

\frac{6}{2} = 3

;

\frac{18}{6} = 3

;

\frac{54}{18} = 3

: oui, de raison

3

on calcule tous les quotients

\frac{8}{4} = 2

;

\frac{16}{8} = 2

; mais

\frac{30}{16} \neq = 2

: non.

16 \times 2 = 32

, pas

30

u_{n + 1}

= 3 \times 5^{n + 1}

on remplace

n

par

n + 1

u_{n + 1}

= 3 \times 5^{n} \times 5

5^{n + 1} = 5^{n} \times 5

u_{n + 1}

= 5 \times u_{n}

on reconnaît

u_{n} = 3 \times 5^{n}

(u_{n})

est géométrique, de raison

q = 5

et de premier terme

u_{0} = 3 \times 5^{0} = 3

5^{0} = 1

v_{0} = 2

v_{1} = 5

v_{2} = 8

; or

\frac{v _{1}}{v _{0}} = \frac{5}{2}

\frac{v _{2}}{v _{1}} = \frac{8}{5}

les premiers termes suffisent pour dire non

Les quotients ne sont pas égaux :

(v_{n})

n'est pas géométrique.

elle est arithmétique, de raison

3

À vous de jouer

Pour chaque suite, dire si elle est géométrique ; si oui, donner sa raison :

64; 16; 4; 1

a_{n} = 6 \times 0, 5^{n}

b_{n} = n^{2} + 1

Correction

$64$ ; $16$ ; $4$ ; $1$

\frac{16}{64} = \frac{1}{4}

;

\frac{4}{16} = \frac{1}{4}

;

\frac{1}{4}

: oui, de raison

\frac{1}{4}

on calcule tous les quotients

$(a_{n})$

a_{n + 1}

= 6 \times 0, 5^{n + 1}

on remplace

n

par

n + 1

a_{n + 1}

= 6 \times 0, 5^{n} \times 0, 5

a_{n + 1}

= 0, 5 \times a_{n}

(a_{n})

est géométrique, de raison

q = 0, 5

et de premier terme

a_{0} = 6

$(b_{n})$

b_{0} = 1

b_{1} = 2

b_{2} = 5

; or

\frac{b _{1}}{b _{0}} = 2

\frac{b _{2}}{b _{1}} = 2, 5

(b_{n})

n'est pas géométrique.

deux quotients différents suffisent

À faire : exercices 44 à 47

Exercice 44 — À partir des termes

Ces nombres peuvent-ils être les premiers termes d'une suite géométrique ? Si oui, donner la raison.

a)
$5$ ; $10$ ; $20$ ; $40$
b)
$3$ ; $12$ ; $48$ ; $180$
c)
$128$ ; $32$ ; $8$ ; $2$
d)
$4$ ; $8$ ; $12$ ; $16$
e)
$200$ ; $220$ ; $242$ ; $266, 2$
f)
$50$ ; $10$ ; $2$ ; $0, 4$

Corrigé

a)
Quotients $2$ ; $2$ ; $2$ : $oui, q = 2$
b)
$\frac{12}{3} = 4$ ; $\frac{48}{12} = 4$ ; mais $\frac{180}{48} = 3, 75$ : $non$
c)
Quotients $\frac{1}{4}$ : $oui, q = \frac{1}{4}$
d)
$\frac{8}{4} = 2$ mais $\frac{12}{8} = 1, 5$ : $non$
e)
Quotients $1, 1$ : $oui, q = 1, 1$
f)
Quotients $0, 2$ : $oui, q = 0, 2$

En b), $48 \times 4 = 192$ , pas $180$ : un seul quotient différent suffit pour dire non.

Exercice 45 — Démontrer

Soit $u_{n} = 2 \times 3^{n}$ .

1)
Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
2)
Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $n$ .
3)
Démontrer que $(u_{n})$ est géométrique ; préciser son premier terme et sa raison.

Corrigé

1°)
$u_{0} = 2$ ; $u_{1} = 6$ ; $u_{2} = 18$ ; $u_{3} = 54$ .
2°)
$u_{n + 1} = 2 \times 3^{n + 1}$ .
3°)
$u_{n + 1} = 2 \times 3^{n} \times 3 = 3 \times u_{n}$ .
$(u_{n}) est g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, u_{0} = 2 et q = 3$

Exercice 46 — Pour chaque suite

Pour chaque suite, dire si elle est géométrique. Si oui, donner sa raison et son premier terme ; sinon, le prouver avec les premiers termes.

a)
$a_{n} = 5^{n}$
b)
$b_{n} = n^{2} + 3$
c)
$c_{n} = 8 \times 0, 5^{n}$
d)
$d_{n} = 3 n + 1$

e)
$e_{0} = 1$ et $e_{n + 1} = e_{n}^{2} + 2$

Corrigé

a)
$a_{n + 1} = 5^{n} \times 5 = 5 \times a_{n}$ : $oui, q = 5 et a_{0} = 1$
b)
$3$ ; $4$ ; $7$ , quotients $\frac{4}{3}$ et $\frac{7}{4}$ : $non$
c)
$c_{n + 1} = 0, 5 \times c_{n}$ : $oui, q = 0, 5 et c_{0} = 8$
d)
$1$ ; $4$ ; $7$ , quotients $4$ et $\frac{7}{4}$ : $non$
e)
$1$ ; $3$ ; $11$ , quotients $3$ et $\frac{11}{3}$ : $non$

En d), la suite est arithmétique (raison $3$ ), pas géométrique.

Exercice 47 — La valeur d'une machine

La valeur d'une machine-outil (en euros) est relevée chaque année :

$n$ (années)	$0$	$1$	$2$	$3$
$v_{n}$	$12000$	$10800$	$9720$	$8748$

1)
Montrer que ces valeurs sont celles d'une suite géométrique, dont on donnera la raison.
2)
De quel pourcentage la machine perd-elle de la valeur chaque année ?
3)
Calculer $v_{4}$ .

Corrigé

1°)
$\frac{10 800}{12 000} = 0, 9$ ; $\frac{9 720}{10 800} = 0, 9$ ; $\frac{8 748}{9 720} = 0, 9$ : $g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, q = 0, 9$ .
2°)
$q = 1 - 0, 1$ : $elle perd 10 % par an$ .
3°)
$v_{4} = 0, 9 \times 8748 = 7873, 20$ €.