Chapitre 4 — Suites numériques · coursIII Suites définies par récurrence

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Définition 3 — Suite définie par récurrence

Une suite est définie par récurrence quand on connaît :

son premier terme $u_{0}$ ;
une relation qui donne chaque terme à partir du précédent : $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ .

Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence

Exemples corrigés

a)
Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 4 u_{n}$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b)
Soit $v_{0} = 4$ et $v_{n + 1} = 3 v_{n} - 5$ . Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ .

Correction

u_{1}

= 4 \times u_{0}

on remplace

n

par

0

dans la relation

u_{1}

= 4 \times 2 = 8

on remplace

u_{0}

par sa valeur

u_{2}

= 4 \times 8 = 32

u_{2} = 4 \times u_{1}

u_{3}

= 4 \times 32 = 128

u_{3} = 4 \times u_{2}

v_{1}

= 3 \times 4 - 5 = 7

v_{1} = 3 v_{0} - 5

v_{2}

= 3 \times 7 - 5 = 16

v_{2} = 3 v_{1} - 5

: toujours le terme d'avant

v_{3}

= 3 \times 16 - 5 = 43

v_{3} = 3 v_{2} - 5

À vous de jouer

Calculer les trois termes qui suivent le premier :

w_{0} = 3 et w_{n + 1} = 2 w_{n}

t_{0} = 5 et t_{n + 1} = 2 t_{n} - 4

Correction

$(w_{n})$

w_{1}

= 2 \times 3 = 6

w_{1} = 2 w_{0}

w_{2}

= 2 \times 6 = 12

toujours le terme d'avant

w_{3}

= 2 \times 12 = 24

$(t_{n})$

t_{1}

= 2 \times 5 - 4 = 6

t_{1} = 2 t_{0} - 4

t_{2}

= 2 \times 6 - 4 = 8

la multiplication d'abord

t_{3}

= 2 \times 8 - 4 = 12

À faire : exercices 10 à 15

Exercice 10 — Tripler et enlever

Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ et $u_{5}$ .

Corrigé

u_{1}

= 3 \times 2 - 2 = 4

u_{2}

= 3 \times 4 - 2 = 10

u_{3}

= 3 \times 10 - 2 = 28

u_{4}

= 3 \times 28 - 2 = 82

u_{5}

= 3 \times 82 - 2 = 244

Exercice 11 — Des relatifs

Pour chaque suite, calculer les quatre termes qui suivent le premier.

a)
$u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = - 2 u_{n} + 3$
b)
$v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = v_{n}^{2} - 3$
c)
$w_{0} = - 4$ et $w_{n + 1} = 6 - w_{n}$

Corrigé

a)
$u_{1} = - 8 + 3 = - 5$ ; $u_{2} = 10 + 3 = 13$ ; $u_{3} = - 26 + 3 = - 23$ ; $u_{4} = 46 + 3 = 49$ .
$- 5; 13; - 23; 49$
b)
$v_{1} = 1 - 3 = - 2$ ; $v_{2} = 4 - 3 = 1$ , puis on recommence.
$- 2; 1; - 2; 1$
c)
$w_{1} = 6 - (- 4) = 10$ ; $w_{2} = 6 - 10 = - 4$ , puis on recommence.
$10; - 4; 10; - 4$

$- 2 \times (- 4) = 8$ : parenthèses autour d'un terme négatif.

Exercice 12 — Sans tout calculer ?

1)
Soit $a_{0} = - 3$ et $a_{n + 1} = - a_{n}$ . Calculer $a_{1}$ à $a_{5}$ , puis deviner $a_{40}$ et $a_{77}$ .
2)
Soit $b_{0} = 5$ et $b_{n + 1} = b_{n} + 4$ . Calculer $b_{1}$ à $b_{5}$ . Combien de calculs faudrait-il pour obtenir $b_{50}$ de cette façon ?

Corrigé

1°)
$a_{1} = 3$ ; $a_{2} = - 3$ ; $a_{3} = 3$ ; $a_{4} = - 3$ ; $a_{5} = 3$ .
Rang pair : $- 3$ ; rang impair : $3$ . Donc $a_{40} = - 3$ et $a_{77} = 3$ .
2°)
$9$ ; $13$ ; $17$ ; $21$ ; $25$ . Il faudrait $50$ calculs, un par terme.

Une formule explicite donnerait $b_{50}$ en un seul calcul (partie IX).

Exercice 13 — Avec des fractions

Soit $u_{0} = 50$ et $u_{n + 1} = \frac{10}{u _{n}}$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ . Que remarque-t-on ?

Corrigé

u_{1}

= \frac{10}{50} = \frac{1}{5}

u_{2}

= 10 \div \frac{1}{5} = 10 \times 5 = 50

u_{3}

= \frac{10}{50} = \frac{1}{5}

u_{4}

= 50

Les termes $alternent entre 50 et \frac{1}{5}$ .

Diviser par $\frac{1}{5}$ , c'est multiplier par $5$ .

Exercice 14 — Quand la relation contient $n$

Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = u_{n} - 2 n + 5$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ (le nombre $n$ change à chaque étape).

Corrigé

u_{1}

= u_{0} - 2 \times 0 + 5 = 2 + 5 = 7

n = 0

u_{2}

= u_{1} - 2 \times 1 + 5 = 7 + 3 = 10

n = 1

u_{3}

= u_{2} - 2 \times 2 + 5 = 10 + 1 = 11

n = 2

u_{4}

= u_{3} - 2 \times 3 + 5 = 11 - 1 = 10

n = 3

Pour calculer $u_{n + 1}$ , on remplace $n$ par le rang du terme précédent.

Exercice 15 — Une culture de levures

Une cuve contient $300$ milliers de levures. Chaque heure, leur nombre double, puis on en prélève $80$ milliers. On note $b_{n}$ le nombre de levures (en milliers) après $n$ heures.

1)
Donner $b_{0}$ , puis exprimer $b_{n + 1}$ en fonction de $b_{n}$ .
2)
Calculer $b_{1}$ , $b_{2}$ et $b_{3}$ .

Corrigé

1°)
$b_{0} = 300$ et $b_{n + 1} = 2 b_{n} - 80$ .
2°)
$b_{1} = 600 - 80 = 520$ ; $b_{2} = 1040 - 80 = 960$ ; $b_{3} = 1920 - 80 = 1840$ (en milliers).

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Définition 3 — Suite définie par récurrence

Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 10 — Tripler et enlever

Exercice 11 — Des relatifs

Exercice 12 — Sans tout calculer ?

Exercice 13 — Avec des fractions

Exercice 14 — Quand la relation contient n

Exercice 15 — Une culture de levures

Exercice 14 — Quand la relation contient $n$