Chapitre 4 — Suites numériques · coursIX Terme général et variations d'une suite arithmétique

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Propriété 2 — Terme général

Si $(u_{n})$ est arithmétique, de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$ , alors pour tout entier $n$ :

u_{n} = u_{0} + n \times r

De $u_{0}$ à $u_{n}$ , on ajoute $n$ fois la raison.

Les points du graphique sont alignés, sur la droite d'équation $y = u_{0} + r x$ : c'est une croissance linéaire.

$u_{0} = 2$ et $r = 1$

Propriété 3 — Sens de variation

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ .

Si $r > 0$ , la suite est croissante.
Si $r = 0$ , la suite est constante.
Si $r < 0$ , la suite est décroissante.

Démonstration. $u_{n + 1} - u_{n} = r$ : la différence a le signe de $r$ (méthode 6).

Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique

Exemples corrigés

a)
$(u_{n})$ est arithmétique, avec $u_{0} = 9$ et $r = - 3$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , calculer $u_{40}$ , puis donner le sens de variation.
b)
Soit $V_{n} = - 4 n + 10$ . Montrer que $(V_{n})$ est arithmétique, calculer $V_{100}$ , puis donner le sens de variation.
c)
Un atelier produit $4800$ pièces en janvier, puis $120$ pièces de plus chaque mois. On note $u_{1} = 4800$ la production de janvier. Combien de pièces produit-il en décembre ?

Correction

u_{n}

= 9 + n \times (- 3)

u_{n} = u_{0} + n \times r

u_{n}

= 9 - 3 n

u_{40}

= 9 - 3 \times 40

on remplace

n

par

40

u_{40}

= - 111

r = - 3 < 0

: la suite

(u_{n})

est décroissante.

signe de la raison

V_{n} = 10 + n \times (- 4)

: arithmétique, de premier terme

V_{0} = 10

et de raison

r = - 4

on reconnaît la forme

u_{0} + n \times r

V_{100}

= - 4 \times 100 + 10

V_{100}

= - 390

r = - 4 < 0

: la suite

(V_{n})

est décroissante.

On ajoute

120

chaque mois :

(u_{n})

est arithmétique, de raison

120

. Décembre correspond à

n = 12

janvier, c'est

u_{1}

u_{n}

= 4800 + (n - 1) \times 120

la suite commence à

u_{1}

u_{12}

= 4800 + 11 \times 120

u_{12}

= 6120

En décembre, l'atelier produit

6120

pièces.

une phrase pour conclure

À vous de jouer

a)
$(a_{n})$ est arithmétique, avec $a_{0} = - 8$ et $r = 5$ . Exprimer $a_{n}$ , calculer $a_{20}$ , puis donner le sens de variation.
b)
Le groupe électrogène de la méthode 7 : $h_{0} = 30$ et $r = - 2, 5$ . Exprimer $h_{n}$ , puis calculer le volume restant au bout de $8$ heures.

Correction

a_{n}

= - 8 + n \times 5

a_{n} = a_{0} + n \times r

a_{n}

= - 8 + 5 n

a_{20}

= - 8 + 5 \times 20

a_{20}

= 92

r = 5 > 0

: la suite

(a_{n})

est croissante.

signe de la raison

h_{n}

= 30 - 2, 5 n

h_{n} = h_{0} + n \times r

h_{8}

= 30 - 2, 5 \times 8

h_{8}

= 10

Au bout de

8

heures, il reste

10

L dans le réservoir.

une phrase pour conclure

À faire : exercices 35 à 39

Exercice 35 — Calculer un terme éloigné

$(u_{n})$ est arithmétique. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , calculer le terme demandé, puis donner le sens de variation.

a)
$u_{0} = 8$ , $r = - 3$ : $u_{9}$
b)
$u_{0} = 2$ , $r = 6$ : $u_{100}$
c)
$u_{0} = - 5$ , $r = \frac{5}{2}$ : $u_{6}$
d)
$u_{0} = 4$ , $r = - \frac{2}{3}$ : $u_{9}$

Corrigé

a)
$u_{n} = 8 - 3 n$ ; $u_{9} = 8 - 27 = - 19$ ; $r < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
b)
$u_{n} = 2 + 6 n$ ; $u_{100} = 2 + 600 = 602$ ; $r > 0$ : $croissante$
c)
$u_{n} = - 5 + \frac{5}{2} n$ ; $u_{6} = - 5 + 15 = 10$ ; $r > 0$ : $croissante$
d)
$u_{n} = 4 - \frac{2}{3} n$ ; $u_{9} = 4 - 6 = - 2$ ; $r < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$

Exercice 36 — Quand on ne part pas de $u_{0}$

$(u_{n})$ est arithmétique.

a)
$u_{1} = 3$ et $r = 4$ . Exprimer $u_{n}$ , puis calculer $u_{10}$ .
b)
$u_{1} = - 6$ et $r = 0, 5$ . Calculer $u_{21}$ .
c)
$u_{4} = 10$ et $r = 3$ . Calculer $u_{0}$ , puis $u_{12}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 3 + (n - 1) \times 4 = 4 n - 1$ ; $u_{10} = 39$ .
b)
$u_{21} = - 6 + 20 \times 0, 5 = 4$ .
c)
De $u_{0}$ à $u_{4}$ , on ajoute $4$ fois $3$ : $u_{0} = 10 - 12 = - 2$ .
$u_{12} = - 2 + 12 \times 3 = 34$ .

De $u_{1}$ à $u_{21}$ , on ajoute $20$ fois la raison, pas $21$ .

Exercice 37 — Une application (suite)

On reprend l'exercice 31 : $v_{1} = 2500$ et $r = 400$ .

1)
Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
2)
Combien l'application comptera-t-elle d'utilisateurs le $1 2^{e}$ mois ?
3)
Quel est le sens de variation de $(v_{n})$ ?

Corrigé

1°)
$v_{n} = 2500 + (n - 1) \times 400$
2°)
$v_{12} = 2500 + 11 \times 400 = 6900$ utilisateurs.
3°)
$r = 400 > 0$ : $(v_{n}) est croissante$ .

Exercice 38 — Économiser pour un scooter

Une apprentie veut acheter un scooter à $2000$ €. Le $1^{er}$ mars, elle a $1100$ € ; elle met ensuite $75$ € de côté chaque mois. On note $u_{1} = 1100$ son épargne au $1^{er}$ mars, $u_{2}$ au $1^{er}$ avril, etc.

1)
Calculer $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
2)
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{7}$ .
3)
Pour quel $n$ a-t-on $u_{n} = 2000$ ? À quelle date pourra-t-elle acheter le scooter ?

Corrigé

1°)
$u_{2} = 1175$ ; $u_{3} = 1250$ ; $u_{4} = 1325$ .
2°)
$u_{n} = 1100 + (n - 1) \times 75$ ; $u_{7} = 1100 + 6 \times 75 = 1550$ .
3°)
$1100 + (n - 1) \times 75 = 2000$ , soit $(n - 1) \times 75 = 900$ , $n - 1 = 12$ et $n = 13$ .
$u_{13}$ : $12$ mois après le $1^{er}$ mars, donc $le 1^{er} mars de l’ann \overset{e}{ˊ} e suivante$ .

Exercice 39 — La production d'une usine

En 2024, une usine fabrique $4500$ pièces ; sa production augmente ensuite de $500$ pièces par an. On note $p_{1} = 4500$ la production de 2024, $p_{2}$ celle de 2025, etc.

1)
Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ .
2)
Calculer la production en 2027, puis en 2040.
3)
En quelle année la production aura-t-elle triplé ?

Corrigé

1°)
$p_{n} = 4500 + (n - 1) \times 500$
2°)
2027 : $n = 4$ , $p_{4} = 4500 + 1500 = 6000$ pièces.
2040 : $n = 17$ , $p_{17} = 4500 + 8000 = 12500$ pièces.
3°)
Tripler : $3 \times 4500 = 13500$ . $(n - 1) \times 500 = 9000$ , soit $n - 1 = 18$ et $n = 19$ : $en 2042$ .

L'année $2023 + n$ correspond au rang $n$ : $p_{1}$ est 2024.

Chapitre 4 — Suites numériques · coursIX Terme général et variations d'une suite arithmétique

Propriété 2 — Terme général

Propriété 3 — Sens de variation

Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 35 — Calculer un terme éloigné

Exercice 36 — Quand on ne part pas de u0​

Exercice 37 — Une application (suite)

Exercice 38 — Économiser pour un scooter

Exercice 39 — La production d'une usine

Exercice 36 — Quand on ne part pas de $u_{0}$