Chapitre 4 — Suites numériques · coursIV Programmer une suite définie par récurrence

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Le programme type

Pour une suite donnée par $u_{0}$ et une relation $u_{n + 1} = \dots$ , la fonction suite(n) renvoie $u_{n}$ :

la variable u reçoit le premier terme ;
la boucle for refait $n$ fois le calcul du terme suivant ;
à la sortie de la boucle, u vaut $u_{n}$ : return u le renvoie.

Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python

Exemples corrigés

a)
Soit $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 5$ . Écrire le programme, puis calculer $u_{12}$ .
b)
Une cuve contient $800$ L d'eau. Chaque jour, on en utilise $20 %$ , puis on ajoute $100$ L. Combien d'eau contient-elle au bout de $10$ jours ?

Correction

def suite(n):
    u = 4
    for i in range(n):
        u = 3*u - 5
    return u

la ligne u = 4 donne $u_{0}$ ; dans la boucle, le nouveau u est $u_{n + 1}$ , l'ancien est $u_{n}$

Dans la console, suite(12) affiche 797164 :

u_{12} = 797164

contrôle : suite(1) affiche 7, comme

3 \times 4 - 5

u_{0} = 800

u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 100

utiliser

20 %

, c'est en garder

80 %

: on multiplie par

0, 8

def cuve(n):
    u = 800
    for i in range(n):
        u = 0.8*u + 100
    return u

cuve(10) affiche 532.21... : il reste environ

532

on arrondit au litre

À vous de jouer

Écrire le programme de la suite définie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ , puis donner $u_{10}$ .

Correction

def suite(n):
    u = 3
    for i in range(n):
        u = 2*u - 1
    return u

la ligne u = 3 donne $u_{0}$ ; dans la boucle, le nouveau u est $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$

Dans la console, suite(10) affiche 2049 :

u_{10} = 2049

contrôle : suite(1) affiche 5, comme

2 \times 3 - 1

À faire : exercices 16 à 19

Exercice 16 — Que renvoie ce programme ?

def suite(n):
    u = 3
    for i in range(n):
        u = 3*u - 4
    return u

1)
Quelle suite ce programme calcule-t-il ? Donner $u_{0}$ et la relation de récurrence.
2)
Calculer à la main ce que renvoient suite(1), suite(2) et suite(5).

Corrigé

1°)
$u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 4$ .
2°)
$u_{1}$
$= 3 \times 3 - 4 = 5$
$u_{2}$
$= 3 \times 5 - 4 = 11$
$u_{3}$
$= 3 \times 11 - 4 = 29$
$u_{4}$
$= 3 \times 29 - 4 = 83$
$u_{5}$
$= 3 \times 83 - 4 = 245$

suite(1) renvoie $5$ , suite(2) renvoie $11$ , suite(5) renvoie $245$ .

La boucle tourne $n$ fois : suite(5) applique $5$ fois la relation à partir de $u_{0}$ .

Exercice 17 — Même travail

Même travail avec la ligne u = 160 au départ et la ligne u = 0.5*u + 2 dans la boucle, pour suite(1), suite(2) et suite(6).

Corrigé

$u_{0} = 160$ et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2$ .

u_{1}

= 0, 5 \times 160 + 2 = 82

u_{2}

= 0, 5 \times 82 + 2 = 43

u_{3}

= 0, 5 \times 43 + 2 = 23, 5

u_{4}

= 0, 5 \times 23, 5 + 2 = 13, 75

u_{5}

= 0, 5 \times 13, 75 + 2 = 8, 875

u_{6}

= 0, 5 \times 8, 875 + 2 = 6, 4375

suite(1) renvoie $82$ , suite(2) renvoie $43$ , suite(6) renvoie $6, 4375$ .

Python affiche 82.0 : avec 0.5, le résultat est un nombre décimal.

Exercice 18 — Compléter le programme

Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 1 + 2 u_{n}$ .

1)
Calculer $u_{3}$ à la main.
2)
Compléter le programme, puis donner $u_{10}$ .

def suite(n):
    u = .....
    for i in range(n):
        u = .....
    return u

3)
Même travail avec $v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = 6 - 2 v_{n}$ : écrire le programme, puis donner $v_{1}$ , $v_{5}$ et $v_{10}$ .

Corrigé

1°)
$u_{1}$
$= 1 + 2 \times 2 = 5$
$u_{2}$
$= 1 + 2 \times 5 = 11$
$u_{3}$
$= 1 + 2 \times 11 = 23$
2°)
On range $u_{0}$ dans u, puis on traduit la relation :
```
def suite(n):
    u = 2
    for i in range(n):
        u = 1 + 2*u
    return u
```
suite(10) affiche 3071 : $u_{10} = 3071$ .
3°)
Seules la valeur de départ et la ligne de la boucle changent :
```
def suite(n):
    u = 1
    for i in range(n):
        u = 6 - 2*u
    return u
```
$v_{1} = 4$ ; $v_{5} = 34$ ; $v_{10} = - 1022$ .

On contrôle le programme sur un terme calculé à la main : suite(3) doit afficher $23$ .

Exercice 19 — Les abonnés d'une salle de sport

Une salle de sport compte $1200$ abonnés en 2024. Chaque année, $40 %$ des abonnés ne se réinscrivent pas, et $600$ nouveaux abonnés arrivent. On note $a_{n}$ le nombre d'abonnés l'année $2024 + n$ : $a_{0} = 1200$ .

1)
Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$ .
2)
Exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ .
3)
Écrire un programme qui renvoie $a_{n}$ .
4)
Combien y aura-t-il d'abonnés en 2039 (arrondi à l'unité) ?
5)
Vers quelle valeur le nombre d'abonnés semble-t-il se stabiliser ?

Corrigé

1°)
$60 %$ des abonnés restent, puis $600$ arrivent :

$a_{1}$
$= 0, 6 \times 1200 + 600 = 1320$
$a_{2}$
$= 0, 6 \times 1320 + 600 = 1392$
2°)
$a_{n + 1} = 0, 6 a_{n} + 600$

3°)

Sur le modèle de la fonction suite(n) du cours :

def abonnes(n):
    a = 1200
    for i in range(n):
        a = 0.6*a + 600
    return a

4°)
2039 correspond à $n = 15$ : abonnes(15) affiche 1499.85…, soit environ $1500$ abonnés.
5°)
Le nombre d'abonnés semble se stabiliser vers $1500$ .

Non exigé : avec $1500$ abonnés, $0, 6 \times 1500 + 600 = 1500$ , le nombre ne change plus.