Chapitre 4 — Suites numériques · coursII Suites définies explicitement

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Définition 2 — Suite définie explicitement

Une suite est définie explicitement quand une formule donne $u_{n}$ directement à partir de $n$ , comme une fonction : $u_{n} = f (n)$ . On calcule alors n'importe quel terme en remplaçant $n$ par son rang.

Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement

Exemples corrigés

a)
Soit $u_{n} = 4 n - 3$ . Calculer les quatre premiers termes, puis $u_{50}$ .
b)
Soit $v_{n} = 2 n^{2} + 1$ . Calculer les quatre premiers termes, puis $v_{10}$ .

Correction

u_{0}

= 4 \times 0 - 3

on remplace

n

par

0

u_{0}

= - 3

u_{1}

= 4 \times 1 - 3 = 1

u_{2}

= 4 \times 2 - 3 = 5

u_{3}

= 4 \times 3 - 3 = 9

u_{50}

= 4 \times 50 - 3 = 197

directement, sans les termes d'avant

v_{0}

= 2 \times 0^{2} + 1 = 1

la puissance d'abord

v_{1}

= 2 \times 1^{2} + 1 = 3

v_{2}

= 2 \times 2^{2} + 1 = 9

2 \times 4 + 1

v_{3}

= 2 \times 3^{2} + 1 = 19

v_{10}

= 2 \times 1 0^{2} + 1 = 201

À vous de jouer

Pour chaque suite, calculer les termes de rang $0$ , $1$ , $2$ et $10$ :

a_{n} = 6 n - 1

b_{n} = n^{2} - 3 n

c_{n} = 50 - 2 n^{2}

Correction

a_{0}

= 6 \times 0 - 1 = - 1

on remplace

n

par

0

a_{1}

= 6 \times 1 - 1 = 5

a_{2}

= 6 \times 2 - 1 = 11

a_{10}

= 6 \times 10 - 1 = 59

directement, sans les termes d'avant

b_{0}

= 0^{2} - 3 \times 0 = 0

b_{1}

= 1^{2} - 3 \times 1 = - 2

b_{2}

= 2^{2} - 3 \times 2 = - 2

b_{10}

= 1 0^{2} - 3 \times 10 = 70

c_{0}

= 50 - 2 \times 0^{2} = 50

c_{1}

= 50 - 2 \times 1^{2} = 48

c_{2}

= 50 - 2 \times 2^{2} = 42

le carré d'abord :

2 \times 4

c_{10}

= 50 - 2 \times 1 0^{2} = - 150

À faire : exercices 5 à 9

Exercice 5 — Des entiers

Soit $u_{n} = 5 n - 8$ . Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ , puis $u_{20}$ et $u_{100}$ .

Corrigé

u_{0}

= 5 \times 0 - 8 = - 8

u_{1}

= 5 \times 1 - 8 = - 3

u_{2}

= 5 \times 2 - 8 = 2

u_{3}

= 5 \times 3 - 8 = 7

u_{4}

= 5 \times 4 - 8 = 12

u_{20}

= 5 \times 20 - 8 = 92

u_{100}

= 5 \times 100 - 8 = 492

Exercice 6 — Pour chaque formule

Pour chaque suite, calculer les quatre premiers termes, puis le terme de rang $10$ .

a)
$a_{n} = 3^{n}$
b)
$b_{n} = n^{2} + n$
c)
$c_{n} = - 3 n + 4$
d)
$d_{n} = n^{2} - 4 n$
e)
$e_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - 1$
f)
$f_{n} = (n - 3)^{2}$

Corrigé

a)
$1$ ; $3$ ; $9$ ; $27$ et $a_{10} = 3^{10} = 59049$
b)
$0$ ; $2$ ; $6$ ; $12$ et $b_{10} = 100 + 10 = 110$
c)
$4$ ; $1$ ; $- 2$ ; $- 5$ et $c_{10} = - 30 + 4 = - 26$
d)
$0$ ; $- 3$ ; $- 4$ ; $- 3$ et $d_{10} = 100 - 40 = 60$
e)
$- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ ; $1$ ; $\frac{7}{2}$ et $e_{10} = 50 - 1 = 49$
f)
$9$ ; $4$ ; $1$ ; $0$ et $f_{10} = 7^{2} = 49$

Priorités : la puissance avant la multiplication, $\frac{1}{2} \times 3^{2} = \frac{9}{2}$ .

Exercice 7 — Fractions et signes

1)
Soit $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ . Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{8}$ , sous forme de fractions.
2)
Soit $v_{n} = (- 1)^{n}$ . Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ , $v_{3}$ et $v_{4}$ , puis $v_{40}$ , $v_{65}$ et $v_{100}$ .

Corrigé

1°)
$u_{0} = \frac{1}{2}$ ; $u_{1} = \frac{2}{3}$ ; $u_{2} = \frac{3}{4}$ ; $u_{3} = \frac{4}{5}$ ; $u_{8} = \frac{9}{10}$ .
2°)
$v_{1} = - 1$ ; $v_{2} = 1$ ; $v_{3} = - 1$ ; $v_{4} = 1$ .
Rang pair : $1$ ; rang impair : $- 1$ . Donc $v_{40} = 1$ ; $v_{65} = - 1$ ; $v_{100} = 1$ .

Exercice 8 — $u_{n + 1}$ ou $u_{n} + 1$ ?

Pour chaque suite, exprimer $u_{n + 1}$ , puis $u_{n} + 1$ , en fonction de $n$ .

a)
$u_{n} = 3 n + 2$
b)
$u_{n} = 5 - 4 n$
c)
$u_{n} = n^{2} - 2$

Corrigé

a)
$u_{n + 1} = 3 (n + 1) + 2 = 3 n + 5$ ; $u_{n} + 1 = 3 n + 3$
b)
$u_{n + 1} = 5 - 4 (n + 1) = 1 - 4 n$ ; $u_{n} + 1 = 6 - 4 n$
c)
$u_{n + 1} = (n + 1)^{2} - 2 = n^{2} + 2 n - 1$ ; $u_{n} + 1 = n^{2} - 1$

$u_{n + 1}$ : on remplace $n$ par $n + 1$ , entre parenthèses.

Exercice 9 — La borne de recharge

Une borne de recharge pour voiture électrique facture $2$ € la connexion, puis $3$ € par heure. On note $p_{n}$ le prix payé pour $n$ heures de charge.

1)
Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ .
2)
Combien coûtent $5$ heures de charge ? $8$ heures ?
3)
Une conductrice a payé $23$ €. Combien de temps sa voiture a-t-elle chargé ?

Corrigé

1°)
$p_{n} = 2 + 3 n$
2°)
$p_{5} = 2 + 15 = 17$ € ; $p_{8} = 2 + 24 = 26$ €.
3°)
$2 + 3 n = 23$ , soit $3 n = 21$ et $n = 7$ : $7 heures$ .

Chapitre 4 — Suites numériques · coursII Suites définies explicitement

Définition 2 — Suite définie explicitement

Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 5 — Des entiers

Exercice 6 — Pour chaque formule

Exercice 7 — Fractions et signes

Exercice 8 — un+1​ ou un​+1 ?

Exercice 9 — La borne de recharge

Exercice 8 — $u_{n + 1}$ ou $u_{n} + 1$ ?