Chapitre 4 — Suites numériques · coursV Représentation graphique d'une suite

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Lire les termes d'une suite donnée par une liste
II — Suites définies explicitement
- Méthode 2 — Calculer des termes d'une suite définie explicitement
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 3 — Calculer des termes d'une suite définie par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
- Méthode 4 — Calculer un terme de rang élevé avec Python
V — Représentation graphique d'une suite
- Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite
VI — Sens de variation d'une suite
- Méthode 6 — Étudier le sens de variation avec $u_{n + 1} - u_{n}$
VII — Suites arithmétiques
- Méthode 7 — Traduire une situation par une suite arithmétique
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
- Méthode 8 — Montrer qu'une suite est arithmétique, ou ne l'est pas
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
- Méthode 9 — Utiliser le terme général d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
- Méthode 10 — Traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique
XI — Reconnaître une suite géométrique
- Méthode 11 — Montrer qu'une suite est géométrique, ou ne l'est pas
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique
- Méthode 12 — Utiliser le terme général d'une suite géométrique

Définition 4 — Représentation graphique

On représente une suite $(u_{n})$ par les points de coordonnées $(n; u_{n})$ : le rang en abscisse, le terme en ordonnée. Les points ne se relient pas : il n'y a pas de terme entre deux rangs (pas de rang $2, 5$ ).

Méthode 5 — Représenter graphiquement une suite

Exemples corrigés

Dresser le tableau des six premiers termes, puis les représenter.

a)
$u_{n} = n^{2} - 5 n + 4$
b)
$w_{0} = 2$ et $w_{n + 1} = - w_{n} + 1$

Correction

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$u_{n}$	$4$	$0$	$- 2$	$- 2$	$0$	$4$

Par exemple $u_{2} = 2^{2} - 5 \times 2 + 4 = - 2$ : on place une croix en $(2; - 2)$ . Les croix ne sont pas reliées.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$w_{n}$	$2$	$- 1$	$2$	$- 1$	$2$	$- 1$

$w_{1} = - 2 + 1 = - 1$ , puis $w_{2} = 1 + 1 = 2$ : les termes alternent entre $2$ et $- 1$ .

À vous de jouer

Représenter les termes $a_{0}$ à $a_{5}$ de la suite $a_{n} = 6 - n$ , puis les termes $b_{0}$ à $b_{4}$ de la suite définie par $b_{0} = 16$ et $b_{n + 1} = \frac{b _{n}}{2}$ .

Correction

$(a_{n})$

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_{n}$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$

Par exemple $a_{2} = 6 - 2 = 4$ : une croix en $(2; 4)$ . Les croix sont alignées, mais on ne les relie pas.

$(b_{n})$

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$b_{n}$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$

Chaque terme est la moitié du précédent : les croix descendent de moins en moins vite.

À faire : exercices 20 à 23

Exercice 20 — Placer les points

Soit $u_{n} = n^{2} - 6 n + 5$ .

1)
Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , …, $u_{6}$ .
2)
Représenter ces termes dans le repère ci-contre.

Corrigé

1°) $u_{n} = n^{2} - 6 n + 5$ :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$u_{n}$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Par exemple : $u_{3} = 9 - 18 + 5 = - 4$ .

2°) On place les points $(n; u_{n})$ , sans les relier.

Les points ne sont pas reliés : il n'y a pas de rang $1, 5$ .

Exercice 21 — Une suite qui alterne

Soit $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = - u_{n} + 2$ . Calculer $u_{1}$ à $u_{6}$ , puis représenter ces termes dans un repère.

Corrigé

u_{1}

= - 4 + 2 = - 2

u_{2}

= - (- 2) + 2 = 4

Puis on recommence : $u_{3} = - 2$ ; $u_{4} = 4$ ; $u_{5} = - 2$ ; $u_{6} = 4$ .

Les termes $alternent entre 4 et - 2$ .

Exercice 22 — Une suite qui se rapproche

Soit $u_{0} = - 6$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 10}{2}$ . Calculer $u_{1}$ à $u_{4}$ , puis représenter $u_{0}$ à $u_{4}$ dans un repère. De quel nombre les termes semblent-ils se rapprocher ?

Corrigé

u_{1}

= \frac{- 6 + 10}{2} = 2

u_{2}

= \frac{2 + 10}{2} = 6

u_{3}

= \frac{6 + 10}{2} = 8

u_{4}

= \frac{8 + 10}{2} = 9

Les termes semblent se rapprocher de $10$ .

Chaque terme est à mi-chemin entre le précédent et $10$ : l'écart à $10$ est divisé par $2$ à chaque étape.

Exercice 23 — Lire un graphique

Les croix représentent les premiers termes d'une suite $(u_{n})$ .

1)
Lire $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
2)
Comment passe-t-on d'un terme au suivant ?
3)
En déduire $u_{5}$ et $u_{6}$ .

Corrigé

1°)
$u_{0} = 8$ ; $u_{1} = 6$ ; $u_{2} = 4$ ; $u_{3} = 2$ ; $u_{4} = 0$ .
2°)
On $enl \overset{e}{ˋ} ve 2$ à chaque fois.
3°)
$u_{5} = - 2$ et $u_{6} = - 4$ .