Chapitre 4 — Suites numériques · coursVI Sens de variation d'une suite

1. a)
   Les termes augmentent : $\text{croissante}$.
2. b)
   Les termes diminuent : $\text{deˊcroissante}$.
3. c)
   Ils montent puis descendent : $\text{ni l’une ni l’autre}$.
4. d)
   Les termes augmentent : $\text{croissante}$.

Quelques termes ne prouvent rien : c'est une conjecture.

1. a)
   $u_{n+1}-u_n=-6<0$ : $\text{deˊcroissante}$.
2. b)
   $u_{n+1}-u_n=n^2+1$ ; un carré est positif, donc $n^2+1⩾1>0$ : $\text{croissante}$.
3. c)
   $u_{n+1}-u_n=-2n^2⩽0$ : $\text{deˊcroissante}$.
4. d)
   $u_{n+1}-u_n=5n+3$ ; comme $n⩾0$, on a $5n+3⩾3>0$ : $\text{croissante}$.

Avec une relation de récurrence, la différence se lit directement : les $u_n$ se simplifient.

1. a)
   $u_{n+1}=4n-5$ et $u_{n+1}-u_n=4n-5-(4n-9)=4>0$ : $\text{croissante}$.
2. b)
   $u_{n+1}=3-3n$ et $u_{n+1}-u_n=3-3n-(6-3n)=-3<0$ : $\text{deˊcroissante}$.
3. c)
   $u_{n+1}=2(n+1{)}^2-5=2n^2+4n-3$.
   $u_{n+1}-u_n=4n+2$ ; comme $n⩾0$, on a $4n+2⩾2>0$ : $\text{croissante}$.
4. d)
   $u_{n+1}=(n+1{)}^2+6(n+1)=n^2+8n+7$.
   $u_{n+1}-u_n=2n+7$ ; comme $n⩾0$, on a $2n+7⩾7>0$ : $\text{croissante}$.

On soustrait $u_n$ entre parenthèses : $-(6-3n)=-6+3n$.

1. 1°)
   $5$ ; $8$ ; $9$ ; $8$ ; $5$ ; $0$ : à partir de $u_2$, la suite $\text{semble deˊcroissante}$.
2. 2°)
   $u_{n+1}=-(n+1{)}^2+4(n+1)+5=-n^2+2n+8$.
   $u_{n+1}-u_n=-n^2+2n+8-\left(-n^2+4n+5\right)=3-2n$.
3. 3°)
   Pour $n⩾2$, on a $2n⩾4$, donc $3-2n⩽-1<0$ : la suite $\text{est deˊcroissante aˋ partir du rang }2$.

$-(n+1{)}^2=-\left(n^2+2n+1\right)$ : le signe moins porte sur les trois termes.