Chapitre 4 — Dérivation · coursI Limite en zéro d'une fonction

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Définition 1 — Limite en zéro

Si $f (x)$ s'approche d'un nombre $L$ quand $x$ s'approche de $0$ , on écrit

x \to 0 lim f (x) = L

et on lit « la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $0$ est $L$ ». Dans l'exemple, $x \to 0 lim f (x) = 2$ .

Méthode 1 — Calculer une limite en zéro

Exemples corrigés

Calculer la limite en $0$ de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x}{x}$ (l'exemple ci-dessus)
b)
$g (x) = \frac{3 x ^{2} + 5 x}{x}$
c)
$h (x) = \frac{( 2 + x ) ^{2} - 4}{x}$

Correction

f (x)

= \frac{x ^{2} + 2 x}{x}

on recopie l'expression

f (x)

= \frac{x ( x + 2 )}{x}

on factorise le numérateur par

x

f (x)

= x + 2

on simplifie :

x \neq = 0

x \to 0 lim f (x)

= 2

on remplace

x

par

0

dans

x + 2

g (x)

= \frac{3 x ^{2} + 5 x}{x}

g (x)

= \frac{x ( 3 x + 5 )}{x}

g (x)

= 3 x + 5

x \to 0 lim g (x)

= 5

3 x

tend vers

0

h (x)

= \frac{( 2 + x ) ^{2} - 4}{x}

h (x)

= \frac{4 + 4 x + x ^{2} - 4}{x}

identité remarquable

h (x)

= \frac{x ( 4 + x )}{x}

4

- 4

s'annulent

h (x)

= 4 + x

x \to 0 lim h (x)

= 4

À vous de jouer

Calculer la limite en $0$ de chaque fonction :

k (x) = \frac{x ^{2} + 7 x}{x}

m (x) = \frac{5 x ^{2} - 2 x}{x}

p (x) = \frac{( 3 + x ) ^{2} - 9}{x}

Correction

$k$

k (x)

= \frac{x ^{2} + 7 x}{x}

on recopie l'expression

k (x)

= \frac{x ( x + 7 )}{x}

on factorise le numérateur par

x

k (x)

= x + 7

on simplifie :

x \neq = 0

x \to 0 lim k (x)

= 7

on remplace

x

par

0

dans

x + 7

$m$

m (x)

= \frac{5 x ^{2} - 2 x}{x}

m (x)

= \frac{x ( 5 x - 2 )}{x}

m (x)

= 5 x - 2

x \to 0 lim m (x)

= - 2

5 x

tend vers

0

$p$

p (x)

= \frac{( 3 + x ) ^{2} - 9}{x}

p (x)

= \frac{9 + 6 x + x ^{2} - 9}{x}

identité remarquable

p (x)

= \frac{x ( 6 + x )}{x}

9

- 9

s'annulent

p (x)

= 6 + x

x \to 0 lim p (x)

= 6

À faire : exercices 1 à 4

Exercice 1 — Conjecturer avec un tableau de valeurs

On considère $f (x) = \frac{x ^{2} - 3 x}{x}$ , avec $x \neq = 0$ .

1.
Calculer $f (x)$ pour $x$ égal à $- 0, 1$ , puis $- 0, 01$ , puis $0, 01$ et $0, 1$ .
2.
Quelle semble être la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $0$ ?
3.
Simplifier $f (x)$ et retrouver cette limite.

Corrigé

1.
$f (- 0, 1) = - 3, 1$ ; $f (- 0, 01) = - 3, 01$ ; $f (0, 01) = - 2, 99$ ; $f (0, 1) = - 2, 9$ .
2.
$f (x)$ semble s'approcher de $- 3$ .
3.
Pour $x \neq = 0$ :

$f (x)$
$= \frac{x ( x - 3 )}{x}$
on factorise par $x$
$f (x)$
$= x - 3$

Quand $x$ tend vers $0$ , $x - 3$ tend vers $- 3$ : $x \to 0 lim f (x) = - 3$ .

Exercice 2 — Calculer des limites en zéro

Calculer la limite en $0$ de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x}{x}$
b)
$g (x) = \frac{2 x ^{2} - 6 x}{x}$
c)
$h (x) = \frac{4 x ^{3} + x}{x}$
d)
$k (x) = \frac{3 x ^{3} - x ^{2} + 8 x}{x}$

Corrigé

On factorise par $x$ et on simplifie, puis on remplace $x$ par $0$ .

a)
$f (x) = x + 4$ : limite $4$ .
b)
$g (x) = 2 x - 6$ : limite $- 6$ .
c)
$h (x) = 4 x^{2} + 1$ : limite $1$ .
d)
$k (x) = 3 x^{2} - x + 8$ : limite $8$ .

Exercice 3 — Avec une identité remarquable

Calculer la limite en $0$ de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{( 1 + x ) ^{2} - 1}{x}$
b)
$g (x) = \frac{( 5 + x ) ^{2} - 25}{x}$
c)
$h (x) = \frac{( x - 2 ) ^{2} - 4}{x}$
d)
$k (x) = \frac{( 3 - x ) ^{2} - 9}{x}$

Corrigé

On développe le carré : la constante disparaît, puis on simplifie par $x$ .

a)
$f (x) = \frac{1 + 2 x + x ^{2} - 1}{x} = 2 + x$ : limite $2$ .
b)
$g (x) = \frac{25 + 10 x + x ^{2} - 25}{x} = 10 + x$ : limite $10$ .
c)
$h (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 4 - 4}{x} = x - 4$ : limite $- 4$ .
d)
$k (x) = \frac{9 - 6 x + x ^{2} - 9}{x} = x - 6$ : limite $- 6$ .

Exercice 4 — Limites quand $h$ tend vers $0$

Calculer la limite de chaque expression quand $h$ tend vers $0$ .

a)
$\frac{h ^{2} + 6 h}{h}$
b)
$\frac{( 2 + h ) ^{2} - 4}{h}$
c)
$\frac{3 ( 1 + h ) ^{2} - 3}{h}$

Corrigé

a)
$\frac{h ^{2} + 6 h}{h} = h + 6$ : limite $6$ .
b)
$\frac{4 + 4 h + h ^{2} - 4}{h} = 4 + h$ : limite $4$ .
c)
$\frac{3 + 6 h + 3 h ^{2} - 3}{h} = 6 + 3 h$ : limite $6$ .

$x$	$- 0, 1$	$- 0, 01$	$- 0, 001$	$0$	$0, 001$	$0, 01$	$0, 1$
$f (x)$	$1, 9$	$1, 99$	$1, 999$	interdit	$2, 001$	$2, 01$	$2, 1$

Chapitre 4 — Dérivation · coursI Limite en zéro d'une fonction

Définition 1 — Limite en zéro

Méthode 1 — Calculer une limite en zéro

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 1 — Conjecturer avec un tableau de valeurs

Exercice 2 — Calculer des limites en zéro

Exercice 3 — Avec une identité remarquable

Exercice 4 — Limites quand h tend vers 0

Exercice 4 — Limites quand $h$ tend vers $0$