Chapitre 4 — Dérivation · coursXII Étude complète d'une fonction

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout

Exemples corrigés

On considère $f (x) = \frac{4 x}{x ^{2} + 1}$ .

a)
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
b)
Calculer $f^{'} (x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
c)
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ .
d)
Dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums.
e)
Donner une équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $0$ .
f)
Tracer $T$ et $C_{f}$ sur $[- 4; 4]$ .

Correction

x^{2} + 1 ⩾ 1

: le dénominateur ne s'annule jamais.

on cherche les valeurs interdites

f

est définie sur

R

aucune valeur interdite

u (x)

= 4 x

u^{'} (x) = 4

v (x)

= x^{2} + 1

v^{'} (x) = 2 x

f^{'} (x)

= \frac{4 ( x ^{2} + 1 ) - 4 x \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{4 - 4 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

4 x^{2} + 4 - 8 x^{2}

f^{'} (x)

= \frac{4 ( 1 - x ) ( 1 + x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

1 - x^{2} = (1 - x) (1 + x)

4 > 0

(x^{2} + 1)^{2} > 0

f^{'} (x)

a le signe de

1 - x^{2}

on ne garde que les facteurs dont le signe change

1 - x^{2}

est négatif avant

- 1

, positif entre

- 1

1

, négatif après.

trinôme de racines

\pm 1

, avec

a = - 1 < 0

f (- 1)

= \frac{- 4}{2} = - 2

images des racines de

f^{'}

f (1)

= \frac{4}{2} = 2

f

a un minimum local

- 2

- 1

et un maximum local

2

1

f^{'}

s'annule en changeant de signe (théorème 2)

f (0)

= 0

f^{'} (0)

= \frac{4}{1} = 4

y

= 4 (x - 0) + 0

y = f^{'} (0) (x - 0) + f (0)

y

= 4 x

Tableau de valeurs à la calculatrice (arrondis au dixième) :

on ajoute les extremums et le point de tangence

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$- 0, 9$	$- 1, 2$	$- 1, 6$	$- 2$	$0$	$2$	$1, 6$	$1, 2$	$0, 9$

On place d'abord les extremums, où la tangente est horizontale, puis la tangente

T

la courbe « colle » à ses tangentes

À vous de jouer

Mêmes questions a) à e) pour $g (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}$ , avec la tangente au point d'abscisse $0$ ; puis tracer $C_{g}$ sur $[- 3; 0, 5]$ et sur $[1, 5; 5]$ .

Correction

x - 1 = 0

pour

x = 1

g

est définie sur

R ∖ {1}

valeur interdite

u (x)

= x^{2} + 3

u^{'} (x) = 2 x

v (x)

= x - 1

v^{'} (x) = 1

g^{'} (x)

= \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 3 ) \times 1}{( x - 1 ) ^{2}}

\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

g^{'} (x)

= \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 ) ^{2}}

2 x^{2} - 2 x - x^{2} - 3

g^{'} (x)

= \frac{( x + 1 ) ( x - 3 )}{( x - 1 ) ^{2}}

racines

- 1

(évidente) et

3

(x - 1)^{2} > 0

g^{'} (x)

a le signe de

(x + 1) (x - 3)

, positif à l'extérieur de

- 1

3

, négatif entre.

trinôme avec

a = 1 > 0

g (- 1)

= \frac{1 + 3}{- 2} = - 2

g (3)

= \frac{9 + 3}{2} = 6

g

a un maximum local

- 2

- 1

et un minimum local

6

3

double barre en

1

: valeur interdite

g (0)

= \frac{3}{- 1} = - 3

g^{'} (0)

= \frac{1 \times ( - 3 )}{1} = - 3

y

= g^{'} (0) (x - 0) + g (0)

y

= - 3 x - 3

Courbe

À faire : exercices 46 à 48

Exercice 46 — Étude d'un polynôme

On considère $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ sur $[- 1; 3]$ .

1.
Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $[- 1; 3]$ .
2.
Calculer $f^{'} (x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
3.
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
4.
Donner les extremums locaux de $f$ , puis son maximum et son minimum sur $[- 1; 3]$ .
5.
Donner une équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .
6.
Avec un tableau de valeurs (pas de $0, 5$ ), tracer $T$ et $C_{f}$ dans un repère orthonormé d'unité $1$ cm.

Corrigé

1.
$f$ est un polynôme : elle est définie et dérivable sur $R$ , donc sur $[- 1; 3]$ .
2.
$f^{'} (x)$
$= - 3 x^{2} + 6 x$
$f^{'} (x)$
$= - 3 x (x - 2)$
racines $0$ et $2$
3.
$f^{'} (x)$ est du signe de $a = - 3$ (négatif) à l'extérieur des racines, positif entre elles.

$f (- 1)$
$= 1 + 3 - 1 = 3$
$f (0)$
$= - 1$
$f (2)$
$= - 8 + 12 - 1 = 3$
$f (3)$
$= - 27 + 27 - 1 = - 1$
4.
Minimum local $- 1$ en $0$ et maximum local $3$ en $2$ ( $f^{'}$ s'annule en changeant de signe). Sur $[- 1; 3]$ : maximum $3$ (atteint en $- 1$ et en $2$ ), minimum $- 1$ (atteint en $0$ et en $3$ ).
5.
$f (1) = - 1 + 3 - 1 = 1$ et $f^{'} (1) = - 3 + 6 = 3$ .

$y$
$= 3 (x - 1) + 1$
$y$
$= 3 x - 2$
6.
$x$ $- 1$ $- 0, 5$ $0$ $0, 5$ $1$ $1, 5$ $2$ $2, 5$ $3$
$f (x)$ $3$ $- 0, 125$ $- 1$ $- 0, 375$ $1$ $2, 375$ $3$ $2, 125$ $- 1$

→ En $1$ , la courbe traverse sa tangente : ce n'est pas une erreur de tracé.

Exercice 47 — Étude d'un quotient défini sur $R$

On considère $f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2}$ .

1.
Justifier que $f$ est définie sur $R$ .
2.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{- 2 ( x + 2 ) ( x - 1 )}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$ .
3.
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
4.
Donner les extremums locaux de $f$ .
5.
Donner une équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $0$ .
6.
Avec un tableau de valeurs (pas de $1$ ), tracer $T$ et $C_{f}$ sur $[- 4; 4]$ , dans un repère orthonormé d'unité $2$ cm.

Corrigé

1.
$x^{2} + 2 ⩾ 2 > 0$ : le dénominateur ne s'annule jamais, $f$ est définie sur $R$ .
2.
$u (x) = 2 x + 1$ , $u^{'} (x) = 2$ ; $v (x) = x^{2} + 2$ , $v^{'} (x) = 2 x$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 ( x ^{2} + 2 ) - ( 2 x + 1 ) \times 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{2} + 4 - 4 x ^{2} - 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{- 2 x ^{2} - 2 x + 4}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{- 2 ( x + 2 ) ( x - 1 )}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$
$x^{2} + x - 2$ a pour racines $- 2$ et $1$
3.
Le dénominateur est positif : $f^{'} (x)$ a le signe de $- 2 x^{2} - 2 x + 4$ , négatif à l'extérieur des racines ( $a = - 2$ ), positif entre elles.

$f (- 2)$
$= \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}$
$f (1)$
$= \frac{3}{3} = 1$
4.
Minimum local $- \frac{1}{2}$ en $- 2$ ; maximum local $1$ en $1$ .
5.
$f (0) = \frac{1}{2}$ et $f^{'} (0) = \frac{4}{4} = 1$ , donc $y = x + \frac{1}{2}$ .
6.
Valeurs arrondies au centième :

$x$ $- 4$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
$f (x)$ $- 0, 39$ $- 0, 45$ $- 0, 5$ $- 0, 33$ $0, 5$ $1$ $0, 83$ $0, 64$ $0, 5$

Exercice 48 — Étude d'un quotient avec une valeur interdite

On considère $f (x) = \frac{x ^{2} - 3}{x - 2}$ .

1.
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
2.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}$ .
3.
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
4.
Donner les extremums locaux de $f$ . Que remarque-t-on ?
5.
Donner une équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $0$ .
6.
Avec un tableau de valeurs, tracer $T$ et $C_{f}$ sur $[- 3; 1, 5]$ et sur $[2, 5; 7]$ , dans un repère orthonormé d'unité $1$ cm.

Corrigé

1.
Le dénominateur s'annule en $2$ : $f$ est définie sur $R ∖ {2}$ .
2.
$u (x) = x^{2} - 3$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x - 2$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ( x - 2 ) - ( x ^{2} - 3 ) \times 1}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{2} - 4 x - x ^{2} + 3}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}$
racines $1$ et $3$
3.
$(x - 2)^{2} > 0$ : $f^{'} (x)$ a le signe de $x^{2} - 4 x + 3$ , positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. La double barre marque la valeur interdite $2$ .

$f (1)$
$= \frac{- 2}{- 1} = 2$
$f (3)$
$= \frac{6}{1} = 6$
4.
Maximum local $2$ en $1$ ; minimum local $6$ en $3$ . Le maximum local est plus petit que le minimum local : c'est possible, car la valeur interdite $2$ sépare les deux morceaux de la courbe.
5.
$f (0) = \frac{- 3}{- 2} = \frac{3}{2}$ et $f^{'} (0) = \frac{( - 1 ) ( - 3 )}{4} = \frac{3}{4}$ .

$y$
$= \frac{3}{4} (x - 0) + \frac{3}{2}$
$y$
$= \frac{3}{4} x + \frac{3}{2}$
6.
Valeurs arrondies au centième :

$x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $1, 5$
$f (x)$ $- 1, 2$ $- 0, 25$ $0, 67$ $1, 5$ $2$ $1, 5$

$x$ $2, 5$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$
$f (x)$ $6, 5$ $6$ $6, 5$ $7, 33$ $8, 25$ $9, 2$

→ On ne relie jamais les deux morceaux de la courbe : $f$ n'existe pas en $2$ .

$x$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$	$2, 5$	$3$
$f (x)$	$3$	$- 0, 125$	$- 1$	$- 0, 375$	$1$	$2, 375$	$3$	$2, 125$	$- 1$

$x$	$2, 5$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$f (x)$	$6, 5$	$6$	$6, 5$	$7, 33$	$8, 25$	$9, 2$

Chapitre 4 — Dérivation · coursXII Étude complète d'une fonction

Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 46 — Étude d'un polynôme

Exercice 47 — Étude d'un quotient défini sur R

Exercice 48 — Étude d'un quotient avec une valeur interdite

Exercice 47 — Étude d'un quotient défini sur $R$