Chapitre 4 — Dérivation · coursIV Approximation linéaire

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Propriété 2 — Approximation linéaire

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors, pour $h$ proche de $0$ :

f (a + h) ≃ f (a) + f^{'} (a) \times h .

Près de $A$ , la courbe et sa tangente se confondent presque : on remplace l'ordonnée $f (a + h)$ du point $M$ de la courbe par l'ordonnée $f (a) + f^{'} (a) \times h$ du point $P$ de la tangente. Plus $h$ est petit, plus l'écart $MP$ est petit.

C'est l'équation de la tangente (propriété 1), avec $x = a + h$ .

Méthode 5 — Calculer une valeur approchée

Exemples corrigés

a)
$f (x) = x^{2}$ : calculer $f^{'} (5)$ par le taux d'accroissement, puis donner une valeur approchée de $5, 0 3^{2}$ sans calculatrice.
b)
Un loyer augmente de $2$ % par an pendant $3$ ans : il est multiplié par $1, 0 2^{3}$ . Avec $g (x) = x^{3}$ , calculer $g^{'} (1)$ par le taux d'accroissement, puis donner une valeur approchée de $1, 0 2^{3}$ et le pourcentage d'augmentation sur les $3$ ans.

Correction

Nombre dérivé en

5

méthode 2

f (5)

= 25

f (5 + h)

= 25 + 10 h + h^{2}

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

T (h)

= \frac{10 h + h ^{2}}{h}

T (h) = \frac{f ( 5 + h ) - f ( 5 )}{h}

T (h)

= 10 + h

on simplifie par

h

f^{'} (5)

= 10

limite quand

h

tend vers

0

Valeur approchée, avec

a = 5

h = 0, 03

a

proche, où

f (a)

se calcule de tête

f (5 + 0, 03)

≃ f (5) + f^{'} (5) \times 0, 03

on recopie la formule

5, 0 3^{2}

≃ 25 + 10 \times 0, 03

5, 0 3^{2}

≃ 25, 3

la calculatrice donne

25, 3009

Nombre dérivé en

1

(1 + h)^{3} = (1 + h)^{2} (1 + h)

g (1)

= 1

g (1 + h)

= (1 + 2 h + h^{2}) (1 + h)

g (1 + h)

= 1 + 3 h + 3 h^{2} + h^{3}

on développe

T (h)

= \frac{3 h + 3 h ^{2} + h ^{3}}{h}

T (h)

= 3 + 3 h + h^{2}

on simplifie par

h

g^{'} (1)

= 3

limite quand

h

tend vers

0

Valeur approchée, avec

a = 1

h = 0, 02

g (1 + 0, 02)

≃ g (1) + g^{'} (1) \times 0, 02

on recopie la formule

1, 0 2^{3}

≃ 1 + 3 \times 0, 02

1, 0 2^{3}

≃ 1, 06

la calculatrice donne

1, 061208

Le loyer augmente d'environ

6

% en

3

ans.

à peine plus que

3 \times 2

À vous de jouer

1°)
$f (x) = x^{2}$ : calculer $f^{'} (4)$ par le taux d'accroissement, puis donner une valeur approchée de $4, 0 1^{2}$ sans calculatrice.
2°)
Un abonnement augmente de $4$ % par an pendant $2$ ans : il est multiplié par $1, 0 4^{2}$ . Avec $g (x) = x^{2}$ , calculer $g^{'} (1)$ par le taux d'accroissement, puis donner une valeur approchée de $1, 0 4^{2}$ et le pourcentage d'augmentation sur les $2$ ans.

Correction

1°)

f (4)

= 16

f (4 + h)

= 16 + 8 h + h^{2}

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

T (h)

= \frac{8 h + h ^{2}}{h}

T (h) = \frac{f ( 4 + h ) - f ( 4 )}{h}

T (h)

= 8 + h

f^{'} (4)

= 8

limite quand

h

tend vers

0

f (4 + 0, 01)

≃ f (4) + f^{'} (4) \times 0, 01

on recopie la formule

4, 0 1^{2}

≃ 16 + 8 \times 0, 01

4, 0 1^{2}

≃ 16, 08

la calculatrice donne

16, 0801

2°)

g (1)

= 1

g (1 + h)

= 1 + 2 h + h^{2}

T (h)

= \frac{2 h + h ^{2}}{h}

T (h)

= 2 + h

g^{'} (1)

= 2

limite quand

h

tend vers

0

g (1 + 0, 04)

≃ g (1) + g^{'} (1) \times 0, 04

on recopie la formule

1, 0 4^{2}

≃ 1 + 2 \times 0, 04

1, 0 4^{2}

≃ 1, 08

la calculatrice donne

1, 0816

L'abonnement augmente d'environ

8

% en

2

ans.

à peine plus que

2 \times 4

À faire : exercices 13 à 15

Exercice 13 — Valeurs approchées sans calculatrice

On utilise $f (a + h) ≃ f (a) + f^{'} (a) \times h$ , pour $h$ proche de $0$ ; chaque nombre dérivé se calcule par le taux d'accroissement.

1.
Pour $6, 0 2^{2}$ , on prend $f (x) = x^{2}$ , $a = 6$ et $h = 0, 02$ . Calculer $f (6)$ et $f^{'} (6)$ , puis une valeur approchée de $6, 0 2^{2}$ .
2.
Même méthode pour $1, 0 1^{3}$ , avec $g (x) = x^{3}$ , $a = 1$ et $h = 0, 01$ .
3.
Pour $\frac{1}{0 , 98}$ , avec $k (x) = \frac{1}{x}$ : choisir $a$ et $h$ , calculer $k^{'} (a)$ , puis donner une valeur approchée.
4.
Même question pour $\frac{1}{2 , 01}$ .
5.
Comparer les quatre résultats avec la calculatrice.

Corrigé

1.
$f (6) = 36$ . Nombre dérivé en $6$ , pour $h \neq = 0$ :

$T (h)$
$= \frac{( 6 + h ) ^{2} - 36}{h}$
$T (h)$
$= \frac{12 h + h ^{2}}{h}$
$T (h)$
$= 12 + h$
$f^{'} (6)$
$= 12$
limite quand $h$ tend vers $0$

$6, 0 2^{2} ≃ 36 + 12 \times 0, 02 = 36, 24$ .
2.
$g (1) = 1$ . Nombre dérivé en $1$ , pour $h \neq = 0$ :

$g (1 + h)$
$= (1 + 2 h + h^{2}) (1 + h)$
$g (1 + h)$
$= 1 + 3 h + 3 h^{2} + h^{3}$
$T (h)$
$= 3 + 3 h + h^{2}$
on divise $3 h + 3 h^{2} + h^{3}$ par $h$
$g^{'} (1)$
$= 3$

$1, 0 1^{3} ≃ 1 + 3 \times 0, 01 = 1, 03$ .
3.
$a = 1$ et $h = - 0, 02$ ; $k (1) = 1$ . Nombre dérivé en $1$ , pour $h \neq = 0$ :

$T (h)$
$= \frac{\frac{1}{1 + h} - 1}{h}$
$T (h)$
$= \frac{- h}{1 + h} \times \frac{1}{h}$
$\frac{1}{1 + h} - 1 = \frac{1 - ( 1 + h )}{1 + h}$
$T (h)$
$= \frac{- 1}{1 + h}$
$k^{'} (1)$
$= - 1$
$1 + h$ tend vers $1$

$\frac{1}{0 , 98} ≃ 1 + (- 1) \times (- 0, 02) = 1, 02$ .
4.
$a = 2$ et $h = 0, 01$ ; $k (2) = 0, 5$ . Nombre dérivé en $2$ , pour $h \neq = 0$ :

$T (h)$
$= \frac{\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}}{h}$
$T (h)$
$= \frac{- h}{2 ( 2 + h )} \times \frac{1}{h}$
$\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2} = \frac{2 - ( 2 + h )}{2 ( 2 + h )}$
$T (h)$
$= \frac{- 1}{2 ( 2 + h )}$
$k^{'} (2)$
$= - \frac{1}{4}$
$2 + h$ tend vers $2$

$\frac{1}{2 , 01} ≃ 0, 5 - \frac{1}{4} \times 0, 01 = 0, 4975$ .
5.
La calculatrice donne $36, 2404$ ; $1, 030301$ ; $1, 02040 \dots$ ; $0, 49751 \dots$ : les valeurs approchées sont justes au centième (et même mieux).

→ Le point clé : choisir $a$ « rond » (où l'on sait calculer $f (a)$ et $f^{'} (a)$ ) et $h$ petit.

Exercice 14 — Augmentations et baisses successives

Chaque nombre dérivé se calcule par le taux d'accroissement.

1.
Un abonnement augmente de $1, 5$ % par mois pendant $2$ mois. Avec $f (x) = x^{2}$ , calculer $f^{'} (1)$ , puis donner une valeur approchée de $1, 01 5^{2}$ et le pourcentage d'augmentation sur les $2$ mois.
2.
La population d'un village baisse de $2$ % par an pendant $3$ ans. Avec $g (x) = x^{3}$ , calculer $g^{'} (1)$ , puis donner une valeur approchée de $0, 9 8^{3}$ et le pourcentage de baisse sur les $3$ ans.

Corrigé

1.
$f (1) = 1$ et, pour $h \neq = 0$ , $T (h) = \frac{2 h + h ^{2}}{h} = 2 + h$ , donc $f^{'} (1) = 2$ . Avec $a = 1$ et $h = 0, 015$ : $1, 01 5^{2} ≃ 1 + 2 \times 0, 015 = 1, 03$ . Hausse d'environ $3 %$ (la calculatrice donne $1, 030225$ ).
2.
$g (1) = 1$ et $T (h) = 3 + 3 h + h^{2}$ (exercice 13), donc $g^{'} (1) = 3$ . Avec $a = 1$ et $h = - 0, 02$ : $0, 9 8^{3} ≃ 1 + 3 \times (- 0, 02) = 0, 94$ . Baisse d'environ $6 %$ (la calculatrice donne $0, 941192$ ).

→ Pour de petits pourcentages, $n$ hausses de $t %$ font environ $n \times t %$ .

Exercice 15 — Courbe et tangente

1.
On considère $f (x) = x^{2} + 3 x$ . Calculer $f (2)$ , puis $f^{'} (2)$ par le taux d'accroissement.
2.
En déduire une valeur approchée de $f (2, 1)$ , puis calculer l'écart avec la valeur exacte.
3.
Même question pour $f (1, 95)$ .

Corrigé

1.
$f (2) = 4 + 6 = 10$ . Pour $h \neq = 0$ :

$f (2 + h) - f (2)$
$= 4 + 4 h + h^{2} + 6 + 3 h - 10$
$f (2 + h) - f (2)$
$= 7 h + h^{2}$
$T (h)$
$= 7 + h$
on divise par $h$
$f^{'} (2)$
$= 7$
2.
$f (2, 1) ≃ 10 + 7 \times 0, 1 = 10, 7$ . Valeur exacte : $f (2, 1) = 4, 41 + 6, 3 = 10, 71$ ; l'écart est $0, 01$ .
3.
$f (1, 95) ≃ 10 + 7 \times (- 0, 05) = 9, 65$ . Valeur exacte : $f (1, 95) = 3, 8025 + 5, 85 = 9, 6525$ ; l'écart est $0, 0025$ .