Chapitre 4 — Dérivation · coursXI Extremums d'une fonction

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Définition 5 — Maximum, minimum

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $c$ un nombre de $I$ .

$f (c)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si $f (x) ⩽ f (c)$ pour tout $x$ de $I$ .
$f (c)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si $f (x) ⩾ f (c)$ pour tout $x$ de $I$ .

Un maximum ou un minimum est un extremum. Il est local s'il ne vaut que sur un intervalle ouvert autour de $c$ .

Théorème 2 — Extremum et dérivée

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $c$ un nombre de $I$ . Si $f^{'}$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors $f$ a un extremum local en $c$ , et la tangente y est horizontale.

$f^{'}$ passe de $+$ à $-$ : maximum $f (c)$

$f^{'}$ passe de $-$ à $+$ : minimum $f (c)$

Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction

Exemples corrigés

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ sur $[- 2; 3]$ .

a)
Dresser le tableau de variations de $f$ .
b)
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[- 2; 3]$ .
c)
Donner une équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $- 1$ .

Correction

f^{'} (x)

= 3 x^{2} - 3

on dérive

f^{'} (x)

= 3 (x - 1) (x + 1)

3 (x^{2} - 1)

: racines

- 1

1

Images des racines et des bornes :

les nombres de la ligne des

x

f (- 2)

= - 8 + 6 + 1 = - 1

f (- 1)

= - 1 + 3 + 1 = 3

f (1)

= 1 - 3 + 1 = - 1

f (3)

= 27 - 9 + 1 = 19

Le maximum de

f

sur

[- 2; 3]

est

19

, atteint en

3

on compare les « sommets » du tableau, bornes comprises

Le minimum est

- 1

, atteint en

- 2

et en

1

3

, atteint en

- 1

, n'est qu'un maximum local

f^{'} (- 1) = 0

: la tangente est horizontale, d'équation

y = 3

y = f^{'} (- 1) (x + 1) + f (- 1)

avec

f^{'} (- 1) = 0

À vous de jouer

$g (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ sur $[- 1; 4]$ .

1°)
Dresser le tableau de variations de $g$ .
2°)
Donner le maximum et le minimum de $g$ sur $[- 1; 4]$ .
3°)
Donner une équation de la tangente à $C_{g}$ au point d'abscisse $2$ .

Correction

1°)

g^{'} (x)

= - 3 x^{2} + 6 x

on dérive

g^{'} (x)

= - 3 x (x - 2)

racines

0

2

g^{'} (x)

est négatif à l'extérieur de

0

2

, positif entre.

trinôme avec

a = - 3 < 0

Images des racines et des bornes :

les nombres de la ligne des

x

g (- 1)

= 1 + 3 = 4

g (0)

= 0

g (2)

= - 8 + 12 = 4

g (4)

= - 64 + 48 = - 16

2°)

Le maximum de

g

sur

[- 1; 4]

est

4

, atteint en

- 1

et en

2

; le minimum est

- 16

, atteint en

4

on compare les « sommets » du tableau, bornes comprises

3°)

g^{'} (2) = 0

: la tangente est horizontale, d'équation

y = 4

y = g^{'} (2) (x - 2) + g (2)

avec

g^{'} (2) = 0

À faire : exercices 43 à 45

Exercice 43 — Lire les extremums

Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ dérivable sur $[- 2; 6]$ .

1.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[- 2; 6]$ .
2.
Donner le signe de $f^{'} (x)$ selon les valeurs de $x$ .
3.
Que vaut $f^{'} (1)$ ? Et $f^{'} (4)$ ?

Corrigé

1.
Maximum $5$ , atteint en $1$ ; minimum $- 3$ , atteint en $4$ ( $f (- 2) = 1$ et $f (6) = 0$ ne les dépassent pas).
2.
$f^{'} (x) ⩾ 0$ sur $[- 2; 1]$ , $f^{'} (x) ⩽ 0$ sur $[1; 4]$ , $f^{'} (x) ⩾ 0$ sur $[4; 6]$ .
3.
En $1$ et en $4$ , $f$ a un extremum local : la tangente y est horizontale, donc $f^{'} (1) = 0$ et $f^{'} (4) = 0$ .

Exercice 44 — Extremums d'un polynôme

On considère $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ sur $[0; 5]$ .

1.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
2.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[0; 5]$ .
3.
$f$ a-t-elle un extremum local en $1$ ? Lequel ?

Corrigé

1.
$f^{'} (x)$
$= 3 x^{2} - 12 x + 9$
$f^{'} (x)$
$= 3 (x^{2} - 4 x + 3)$
racines $1$ et $3$ ( $Δ = 4$ )
$f (1)$
$= 1 - 6 + 9 + 1 = 5$
$f (3)$
$= 27 - 54 + 27 + 1 = 1$
$f (5)$
$= 125 - 150 + 45 + 1 = 21$

Et $f (0) = 1$ .
2.
Maximum $21$ , atteint en $5$ ; minimum $1$ , atteint en $0$ et en $3$ .
3.
Oui : $f^{'}$ s'annule en $1$ en passant de $+$ à $-$ ; $f$ a un maximum local égal à $5$ en $1$ (ce n'est pas le maximum sur $[0; 5]$ ).

Exercice 45 — Vrai ou faux

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifier.

1.
Si $f^{'} (2) = 0$ , alors $f$ a un extremum en $2$ .
2.
La fonction $g (x) = x^{3} + x$ n'a aucun extremum sur $R$ .
3.
La fonction $h (x) = x + \frac{1}{x}$ a pour minimum $2$ sur $] 0; + \infty [$ .

Corrigé

1.
Faux. Contre-exemple : $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ ; $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12 = 3 (x - 2)^{2}$ s'annule en $2$ mais reste positive : $f$ est croissante, sans extremum en $2$ . Il faut que $f^{'}$ change de signe.
2.
Vrai. $g^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ : $g$ est strictement croissante sur $R$ , sans extremum.
3.
Vrai.

$h^{'} (x)$
$= 1 - \frac{1}{x ^{2}}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2}}$

Sur $] 0; + \infty [$ , $h^{'} (x)$ a le signe de $x - 1$ : $h$ décroît puis croît, et son minimum est $h (1) = 1 + 1 = 2$ .