Chapitre 4 — Dérivation · coursX Étude des variations d'une fonction

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Théorème 1 — Signe de la dérivée et variations

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f^{'} (x) ⩾ 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f^{'} (x) ⩽ 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Si $f^{'} (x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Si $f^{'} (x) > 0$ (sauf en quelques valeurs isolées où $f^{'} (x) = 0$ ), $f$ est strictement croissante ; de même pour $f^{'} (x) < 0$ .

Une tangente qui monte (coefficient directeur positif) suit une courbe qui monte.

Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction

Exemples corrigés

Dresser le tableau de variations de chaque fonction.

a)
$f (x) = x^{2} - 6 x + 1$ sur $R$
b)
$g (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ sur $R$
c)
$h (x) = x + \frac{4}{x}$ sur $] 0; + \infty [$

Correction

f^{'} (x)

= 2 x - 6

on dérive

2 x - 6

= 0

on cherche où

f^{'}

s'annule

x

= 3

f (3)

= 9 - 18 + 1

f (3)

= - 8

2 x - 6

est négatif avant

3

, positif après.

affine, coefficient

2 > 0

-

puis

+

g^{'} (x)

= 3 x^{2} - 6 x - 9

on dérive

Racines du trinôme

3 x^{2} - 6 x - 9

on cherche où

g^{'}

s'annule

Δ

= (- 6)^{2} - 4 \times 3 \times (- 9) = 144

144 = 12

x_{1}

= \frac{6 - 12}{6} = - 1

x_{2}

= \frac{6 + 12}{6} = 3

Images des racines :

les nombres de la ligne des

x

g (- 1)

= - 1 - 3 + 9 + 2 = 7

g (3)

= 27 - 27 - 27 + 2 = - 25

g^{'} (x)

est du signe de

a = 3

, sauf entre les racines.

signe du trinôme (ch. 3)

h^{'} (x)

= 1 - \frac{4}{x ^{2}}

4 \times (- \frac{1}{x ^{2}})

h^{'} (x)

= \frac{1 \times x ^{2}}{1 \times x ^{2}} - \frac{4}{x ^{2}}

même dénominateur

h^{'} (x)

= \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}}

h^{'} (x)

= \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ^{2}}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

h (2)

= 2 + \frac{4}{2}

h (2)

= 4

Sur

] 0; + \infty [

x^{2} > 0

x + 2 > 0

h^{'} (x)

a le signe de

x - 2

on ne garde que les facteurs dont le signe change

À vous de jouer

Dresser le tableau de variations de chaque fonction :

f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 3

g (x) = x^{3} - 12 x + 1

h (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1} sur] - 1; + \infty [

Correction

$f$

f^{'} (x)

= - 4 x + 8

on dérive

- 4 x + 8

= 0

on cherche où

f^{'}

s'annule

x

= 2

f (2)

= - 8 + 16 - 3

f (2)

= 5

- 4 x + 8

est positif avant

2

, négatif après.

affine, coefficient

- 4 < 0

+

puis

-

$g$

g^{'} (x)

= 3 x^{2} - 12

on dérive

g^{'} (x)

= 3 (x - 2) (x + 2)

3 (x^{2} - 4)

: racines

- 2

2

g (- 2)

= - 8 + 24 + 1 = 17

g (2)

= 8 - 24 + 1 = - 15

$h$

u (x)

= 2 x - 1

u^{'} (x) = 2

v (x)

= x + 1

v^{'} (x) = 1

h^{'} (x)

= \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x - 1 ) \times 1}{( x + 1 ) ^{2}}

h^{'} (x)

= \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}

h^{'} (x) > 0

sur

] - 1; + \infty [

h

y est croissante.

numérateur

3 > 0

, dénominateur un carré non nul

À faire : exercices 39 à 42

Exercice 39 — Du signe de $f^{'}$ aux variations de $f$

Une fonction $f$ est dérivable sur $[- 4; 5]$ ; voici le signe de $f^{'} (x)$ .

On sait que $f (- 4) = 2$ , $f (- 1) = - 3$ , $f (3) = 4$ et $f (5) = 1$ .

1.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
2.
Comparer $f (0)$ et $f (2)$ .

Corrigé

1.
$f^{'}$ négative : $f$ décroissante ; $f^{'}$ positive : $f$ croissante.
2.
$f$ est croissante sur $[- 1; 3]$ et $0 < 2$ , donc $f (0) ⩽ f (2)$ (et même $f (0) < f (2)$ , car $f^{'} (x) > 0$ entre $- 1$ et $3$ ).

Exercice 40 — Variations de polynômes

Dresser le tableau de variations de chaque fonction sur $R$ .

a)
$f (x) = x^{2} - 4 x + 7$
b)
$g (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 5$
c)
$h (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 1$
d)
$k (x) = x^{3} + 3 x - 2$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 2 x - 4$ s'annule en $2$ ; $f (2) = 4 - 8 + 7 = 3$ .
b)
$g^{'} (x) = - 6 x + 12$ s'annule en $2$ ; $g (2) = - 12 + 24 - 5 = 7$ .
c)
$h^{'} (x)$
$= 6 x^{2} - 6 x - 12$
$Δ$
$= (- 6)^{2} - 4 \times 6 \times (- 12) = 324$
$324 = 18$
$x_{1}$
$= \frac{6 - 18}{12} = - 1$
$x_{2}$
$= \frac{6 + 18}{12} = 2$
$h (- 1)$
$= - 2 - 3 + 12 + 1 = 8$
$h (2)$
$= 16 - 12 - 24 + 1 = - 19$

$h^{'} (x)$ est du signe de $a = 6$ , sauf entre les racines.
d)
$k^{'} (x) = 3 x^{2} + 3$ : un carré est positif, donc $k^{'} (x) ⩾ 3 > 0$ . $k$ est strictement croissante sur $R$ .

Exercice 41 — Variations d'un quotient

On considère $f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x + 1}$ sur $] - 1; + \infty [$ .

1.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
2.
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $] - 1; + \infty [$ .
3.
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

1.
$u (x) = x^{2} + 3$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x + 1$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ( x + 1 ) - ( x ^{2} + 3 ) \times 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{2} + 2 x - x ^{2} - 3}{( x + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{( x + 1 ) ^{2}}$
2.
$(x + 1)^{2} > 0$ : $f^{'} (x)$ a le signe de $x^{2} + 2 x - 3$ , de racines $- 3$ et $1$ ( $Δ = 16$ ). Sur $] - 1; + \infty [$ , seule la racine $1$ compte : $f^{'} (x) < 0$ sur $] - 1; 1 [$ et $f^{'} (x) > 0$ sur $] 1; + \infty [$ .
3.
$f (1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Exercice 42 — Lire le signe de la dérivée

On a tracé la courbe $C_{g}$ d'une fonction $g$ dérivable sur $[- 4; 4]$ . Ses tangentes sont horizontales aux points d'abscisses $- 2$ , $1$ et $3$ .

1.
Dresser le tableau de signes de $g^{'} (x)$ sur $[- 4; 4]$ .
2.
Dresser le tableau de variations de $g$ .

Corrigé

1.
La courbe descend, monte, descend puis monte ; $g^{'}$ s'annule aux tangentes horizontales.
2.

Chapitre 4 — Dérivation · coursX Étude des variations d'une fonction

Théorème 1 — Signe de la dérivée et variations

Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 39 — Du signe de f′ aux variations de f

Exercice 40 — Variations de polynômes

Exercice 41 — Variations d'un quotient

Exercice 42 — Lire le signe de la dérivée

Exercice 39 — Du signe de $f^{'}$ aux variations de $f$