Chapitre 4 — Dérivation · coursVII Dérivée d'une somme et d'un produit

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Propriété 6 — Somme, produit par un nombre, produit

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $k$ un nombre réel.

fonction	dérivée
$u + v$	$u^{'} + v^{'}$
$k u$	$k u^{'}$
$uv$	$u^{'} v + u v^{'}$

Attention : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

Méthode 8 — Dériver une somme, un produit

Exemples corrigés

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$
b)
$g (x) = 3 x - 4 x$
c)
$h (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3)$
d)
$k (x) = x x$ sur $] 0; + \infty [$
e)
$m (x) = x cos x$

Correction

f^{'} (x)

= 2 x + (- \frac{1}{x ^{2}})

somme : on dérive chaque terme

f^{'} (x)

= 2 x - \frac{1}{x ^{2}}

g^{'} (x)

= 3 - 4 \times \frac{1}{2 x}

g^{'} (x)

= 3 - \frac{2}{x}

u (x)

= 2 x + 1

on nomme les deux facteurs

u^{'} (x)

= 2

v (x)

= x^{2} - 3

v^{'} (x)

= 2 x

h^{'} (x)

= 2 (x^{2} - 3) + (2 x + 1) \times 2 x

u^{'} v + u v^{'}

h^{'} (x)

= 2 x^{2} - 6 + 4 x^{2} + 2 x

h^{'} (x)

= 6 x^{2} + 2 x - 6

u (x)

= x

u^{'} (x) = 1

v (x)

= x

v^{'} (x) = \frac{1}{2 x}

k^{'} (x)

= 1 \times x + x \times \frac{1}{2 x}

k^{'} (x)

= x + \frac{x}{2}

\frac{x}{x} = x

, car

x = x \times x

k^{'} (x)

= \frac{3}{2} x

u (x)

= x

u^{'} (x) = 1

v (x)

= cos x

v^{'} (x) = - sin x

m^{'} (x)

= 1 \times cos x + x \times (- sin x)

u^{'} v + u v^{'}

m^{'} (x)

= cos x - x sin x

À vous de jouer

Calculer la dérivée de chaque fonction :

f (x) = x^{3} - \frac{2}{x}

g (x) = 5 x^{2} + 2 x

h (x) = (x - 4) (3 x + 2)

k (x) = (x^{2} + 1) x

m (x) = x^{2} + sin x

p (x) = x sin x

Correction

f^{'} (x)

= 3 x^{2} - 2 \times (- \frac{1}{x ^{2}})

somme : on dérive chaque terme

f^{'} (x)

= 3 x^{2} + \frac{2}{x ^{2}}

g^{'} (x)

= 10 x + 2 \times \frac{1}{2 x}

g^{'} (x)

= 10 x + \frac{1}{x}

$h$

u (x)

= x - 4

u^{'} (x) = 1

v (x)

= 3 x + 2

v^{'} (x) = 3

h^{'} (x)

= 1 \times (3 x + 2) + (x - 4) \times 3

u^{'} v + u v^{'}

h^{'} (x)

= 3 x + 2 + 3 x - 12

h^{'} (x)

= 6 x - 10

$k$

u (x)

= x^{2} + 1

u^{'} (x) = 2 x

v (x)

= x

v^{'} (x) = \frac{1}{2 x}

k^{'} (x)

= 2 x x + \frac{x ^{2} + 1}{2 x}

u^{'} v + u v^{'}

$m$ et $p$

m^{'} (x)

= 2 x + cos x

une somme

p^{'} (x)

= 1 \times sin x + x \times cos x

un produit :

u = x

v = sin x

p^{'} (x)

= sin x + x cos x

À faire : exercices 25 à 29

Exercice 25 — Dériver une somme

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = x^{3} + \frac{1}{x}$
b)
$g (x) = 2 x^{2} - x$
c)
$h (x) = \frac{3}{x} + 5 x$
d)
$k (x) = x + cos x$

Corrigé

On dérive chaque terme.

a)
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = 4 x - \frac{1}{2 x}$
c)
$h^{'} (x) = - \frac{3}{x ^{2}} + 5$
d)
$k^{'} (x) = 1 - sin x$

Exercice 26 — Dériver un produit

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (3 x - 2) (x + 4)$
b)
$g (x) = (x^{2} + 1) (2 x - 3)$
c)
$h (x) = (x + 1) x$
d)
$k (x) = x^{2} cos x$

Corrigé

a)
$u (x) = 3 x - 2$ , $u^{'} (x) = 3$ ; $v (x) = x + 4$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= 3 (x + 4) + (3 x - 2) \times 1$
$u^{'} v + u v^{'}$
$f^{'} (x)$
$= 3 x + 12 + 3 x - 2$
$f^{'} (x)$
$= 6 x + 10$
b)
$u (x) = x^{2} + 1$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = 2 x - 3$ , $v^{'} (x) = 2$ .

$g^{'} (x)$
$= 2 x (2 x - 3) + (x^{2} + 1) \times 2$
$g^{'} (x)$
$= 4 x^{2} - 6 x + 2 x^{2} + 2$
$g^{'} (x)$
$= 6 x^{2} - 6 x + 2$
c)
$u (x) = x + 1$ , $u^{'} (x) = 1$ ; $v (x) = x$ , $v^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ .

$h^{'} (x)$
$= 1 \times x + (x + 1) \times \frac{1}{2 x}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 1}{2 x}$
$x = \frac{x \times 2 x}{2 x} = \frac{2 x}{2 x}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{3 x + 1}{2 x}$
d)
$u (x) = x^{2}$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = cos x$ , $v^{'} (x) = - sin x$ .

$k^{'} (x)$
$= 2 x cos x + x^{2} \times (- sin x)$
$k^{'} (x)$
$= 2 x cos x - x^{2} sin x$

Exercice 27 — Entraînement : sommes et produits

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{4}{x}$
b)
$g (x) = 4 x - 2 x^{3}$
c)
$h (x) = (x^{2} - 4) (3 x + 1)$
d)
$k (x) = (2 x - 1) x$
e)
$m (x) = (x + 2) cos x$
f)
$p (x) = \frac{1}{x} (x + 5)$
g)
$q (x) = (x^{2} + x) (x^{2} - x)$
h)
$r (x) = sin x cos x$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 2 x - 3 + 4 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = 2 x - 3 - \frac{4}{x ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = 4 \times \frac{1}{2 x} - 6 x^{2} = \frac{2}{x} - 6 x^{2}$
c)
$u (x) = x^{2} - 4$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = 3 x + 1$ , $v^{'} (x) = 3$ .

$h^{'} (x)$
$= 2 x (3 x + 1) + (x^{2} - 4) \times 3$
$h^{'} (x)$
$= 6 x^{2} + 2 x + 3 x^{2} - 12$
$h^{'} (x)$
$= 9 x^{2} + 2 x - 12$
d)
$u (x) = 2 x - 1$ , $u^{'} (x) = 2$ ; $v (x) = x$ , $v^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ .

$k^{'} (x)$
$= 2 x + (2 x - 1) \times \frac{1}{2 x}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{4 x}{2 x} + \frac{2 x - 1}{2 x}$
$2 x = \frac{4 x}{2 x}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{6 x - 1}{2 x}$
e)
$u (x) = x + 2$ , $u^{'} (x) = 1$ ; $v (x) = cos x$ , $v^{'} (x) = - sin x$ .

$m^{'} (x)$
$= 1 \times cos x + (x + 2) (- sin x)$
$m^{'} (x)$
$= cos x - (x + 2) sin x$
f)
$u (x) = \frac{1}{x}$ , $u^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ ; $v (x) = x + 5$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$p^{'} (x)$
$= - \frac{1}{x ^{2}} (x + 5) + \frac{1}{x} \times 1$
$p^{'} (x)$
$= \frac{- x - 5}{x ^{2}} + \frac{x}{x ^{2}}$
même dénominateur
$p^{'} (x)$
$= - \frac{5}{x ^{2}}$

→ Plus court : $p (x) = 1 + \frac{5}{x}$ , puis on dérive la somme.
g)
$u (x) = x^{2} + x$ , $u^{'} (x) = 2 x + 1$ ; $v (x) = x^{2} - x$ , $v^{'} (x) = 2 x - 1$ .

$q^{'} (x)$
$= (2 x + 1) (x^{2} - x) + (x^{2} + x) (2 x - 1)$
$q^{'} (x)$
$= 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{3} + x^{2} - x$
$q^{'} (x)$
$= 4 x^{3} - 2 x$

→ Vérification : $q (x) = x^{4} - x^{2}$ , de dérivée $4 x^{3} - 2 x$ .
h)
$u (x) = sin x$ , $u^{'} (x) = cos x$ ; $v (x) = cos x$ , $v^{'} (x) = - sin x$ .

$r^{'} (x)$
$= cos x \times cos x + sin x \times (- sin x)$
$r^{'} (x)$
$= (cos x)^{2} - (sin x)^{2}$

Exercice 28 — Deux façons de dériver

On considère $f (x) = (2 x + 5) (1 - 3 x)$ .

1.
Calculer $f^{'} (x)$ avec la dérivée d'un produit.
2.
Développer $f (x)$ , puis dériver l'expression obtenue.
3.
Vérifier que les deux résultats sont égaux.

Corrigé

1.
$u (x) = 2 x + 5$ , $u^{'} (x) = 2$ ; $v (x) = 1 - 3 x$ , $v^{'} (x) = - 3$ .

$f^{'} (x)$
$= 2 (1 - 3 x) + (2 x + 5) (- 3)$
$f^{'} (x)$
$= 2 - 6 x - 6 x - 15$
$f^{'} (x)$
$= - 12 x - 13$
2.
$f (x)$
$= 2 x - 6 x^{2} + 5 - 15 x$
$f (x)$
$= - 6 x^{2} - 13 x + 5$
$f^{'} (x)$
$= - 12 x - 13$
3.
On trouve bien la même dérivée.

Exercice 29 — Produit et tangente

On considère $f (x) = (x - 3) x$ sur $] 0; + \infty [$ .

1.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{3 x - 3}{2 x}$ .
2.
Calculer $f (4)$ et $f^{'} (4)$ .
3.
Donner une équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $4$ .

Corrigé

1.
$u (x) = x - 3$ , $u^{'} (x) = 1$ ; $v (x) = x$ , $v^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ .

$f^{'} (x)$
$= x + \frac{x - 3}{2 x}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x}{2 x} + \frac{x - 3}{2 x}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{3 x - 3}{2 x}$
2.
$f (4) = 1 \times 2 = 2$ et $f^{'} (4) = \frac{12 - 3}{2 \times 2} = \frac{9}{4}$ .
3.
$y$
$= \frac{9}{4} (x - 4) + 2$
$y$
$= \frac{9}{4} x - 9 + 2$
$y$
$= \frac{9}{4} x - 7$