Chapitre 4 — Dérivation · coursV Dérivées des fonctions polynômes

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Définition 4 — Fonction dérivée

Si $f$ est dérivable en tout nombre $x$ d'un intervalle $I$ , on dit que $f$ est dérivable sur $I$ . La fonction qui à $x$ associe $f^{'} (x)$ est la fonction dérivée de $f$ , notée $f^{'}$ .

Elle généralise le nombre dérivé : au lieu de refaire le calcul de limite pour chaque nombre $a$ , on le fait une fois pour un $x$ quelconque. La fonction $f^{'}$ donne alors le nombre dérivé en tout $x$ de $I$ : il suffit de remplacer $x$ par $a$ pour obtenir $f^{'} (a)$ . Par exemple, si $f^{'} (x) = 2 x$ , alors $f^{'} (3) = 6$ et $f^{'} (- 1) = - 2$ .

Propriété 3 — Dérivée de la fonction carré

Si $f (x) = x^{2}$ , alors $f^{'} (x) = 2 x$ pour tout réel $x$ .

Démonstration. Pour un réel $a$ et $h \neq = 0$ :

T (h)

= \frac{( a + h ) ^{2} - a ^{2}}{h}

T (h)

= \frac{a ^{2} + 2 ah + h ^{2} - a ^{2}}{h}

T (h)

= \frac{h ( 2 a + h )}{h}

T (h)

= 2 a + h

f^{'} (a)

= h \to 0 lim (2 a + h)

f^{'} (a)

= 2 a

h

tend vers

0

Propriété 4 — Dérivées des polynômes (admis)

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$k$ (constante)	$0$
$m x + p$	$m$
$x^{2}$	$2 x$
$x^{3}$	$3 x^{2}$
$x^{n}$ ( $n ⩾ 1$ entier)	$n x^{n - 1}$

Un polynôme se dérive terme à terme, et un coefficient se garde : la dérivée de $k x^{n}$ est $k \times n x^{n - 1}$ .

Méthode 6 — Dériver un polynôme

Exemples corrigés

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 7$
b)
$g (x) = x^{5} - 3 x^{4}$
c)
$h (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - x$
d)
$k (x) = (2 x + 1)^{2}$

Correction

f^{'} (x)

= 4 \times 3 x^{2} - 5 \times 2 x + 2

x^{3}

donne

3 x^{2}

;

2 x

donne

2

;

- 7

donne

0

f^{'} (x)

= 12 x^{2} - 10 x + 2

g^{'} (x)

= 5 x^{4} - 3 \times 4 x^{3}

x^{n}

donne

n x^{n - 1}

g^{'} (x)

= 5 x^{4} - 12 x^{3}

h^{'} (x)

= \frac{1}{3} \times 3 x^{2} + 2 \times 2 x - 1

h^{'} (x)

= x^{2} + 4 x - 1

k (x)

= 4 x^{2} + 4 x + 1

on développe d'abord

k^{'} (x)

= 8 x + 4

À vous de jouer

Calculer la dérivée de chaque fonction :

f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x + 1

g (x) = - x^{4} + 5 x

h (x) = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3}

k (x) = (x - 3)^{2}

Correction

f^{'} (x)

= 2 \times 3 x^{2} + 2 x - 6

x^{3}

donne

3 x^{2}

;

- 6 x

donne

- 6

;

1

donne

0

f^{'} (x)

= 6 x^{2} + 2 x - 6

g^{'} (x)

= - 4 x^{3} + 5

x^{4}

donne

4 x^{3}

h^{'} (x)

= \frac{1}{2} \times 4 x^{3} - \frac{2}{3} \times 3 x^{2}

h^{'} (x)

= 2 x^{3} - 2 x^{2}

k (x)

= x^{2} - 6 x + 9

on développe d'abord

k^{'} (x)

= 2 x - 6

À faire : exercices 16 à 20

Exercice 16 — Dériver un polynôme

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 7$
b)
$g (x) = 5 x - 3$
c)
$h (x) = x^{6}$
d)
$k (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$
e)
$m (x) = - 2 x^{3} + x^{2} - 5 x$
f)
$p (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 7 x - 1$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 0$ (constante)
b)
$g^{'} (x) = 5$
c)
$h^{'} (x) = 6 x^{5}$
d)
$k^{'} (x) = 6 x - 4$
e)
$m^{'} (x) = - 6 x^{2} + 2 x - 5$
f)
$p^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 7$

→ Le coefficient se garde : la dérivée de $- 2 x^{3}$ est $- 2 \times 3 x^{2} = - 6 x^{2}$ .

Exercice 17 — Avec des fractions

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$
b)
$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4$
c)
$h (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3}$
d)
$k (x) = \frac{x ^{3} - 6 x}{3}$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \times 2 x - 3 = x - 3$
b)
$g^{'} (x) = \frac{1}{3} \times 3 x^{2} - 2 x = x^{2} - 2 x$
c)
$h^{'} (x) = \frac{1}{4} \times 4 x^{3} + \frac{2}{3} \times 3 x^{2} = x^{3} + 2 x^{2}$
d)
$k (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x$ , donc $k^{'} (x) = x^{2} - 2$

Exercice 18 — Développer d'abord

Développer, puis calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (x + 4)^{2}$
b)
$g (x) = (3 x - 1)^{2}$
c)
$h (x) = x (x^{2} - 5)$
d)
$k (x) = (x + 2) (x - 2)$

Corrigé

a)
$f (x) = x^{2} + 8 x + 16$ , donc $f^{'} (x) = 2 x + 8$
b)
$g (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ , donc $g^{'} (x) = 18 x - 6$
c)
$h (x) = x^{3} - 5 x$ , donc $h^{'} (x) = 3 x^{2} - 5$
d)
$k (x) = x^{2} - 4$ , donc $k^{'} (x) = 2 x$

Exercice 19 — Entraînement : polynômes

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 2 x - 9$
b)
$g (x) = - 4 x^{5} + 3 x^{2}$
c)
$h (x) = 6 x^{4} - x^{3} + x$
d)
$k (x) = \frac{2}{5} x^{5} - x$
e)
$m (x) = 0, 5 x^{4} - 1, 5 x^{2}$
f)
$p (x) = \frac{x ^{2} - 3}{4}$
g)
$q (x) = x^{7} - x^{5} + x^{3}$
h)
$r (x) = 3 (x^{2} - 2 x + 5)$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 14 x + 2$
b)
$g^{'} (x) = - 20 x^{4} + 6 x$
c)
$h^{'} (x) = 24 x^{3} - 3 x^{2} + 1$
d)
$k^{'} (x) = \frac{2}{5} \times 5 x^{4} - 1 = 2 x^{4} - 1$
e)
$m^{'} (x) = 0, 5 \times 4 x^{3} - 1, 5 \times 2 x = 2 x^{3} - 3 x$
f)
$p (x) = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{4}$ , donc $p^{'} (x) = \frac{1}{2} x$
g)
$q^{'} (x) = 7 x^{6} - 5 x^{4} + 3 x^{2}$
h)
$r (x) = 3 x^{2} - 6 x + 15$ , donc $r^{'} (x) = 6 x - 6$

Exercice 20 — Fonction dérivée et nombres dérivés

On considère $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ .

1.
Calculer $f^{'} (x)$ .
2.
En déduire $f^{'} (0)$ , $f^{'} (1)$ , $f^{'} (- 1)$ et $f^{'} (2)$ .
3.
Donner une équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .
4.
En quels points de $C_{f}$ la tangente est-elle horizontale ?

Corrigé

1.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ .
2.
$f^{'} (0) = 0$ ; $f^{'} (1) = 3 - 6 = - 3$ ; $f^{'} (- 1) = 3 + 6 = 9$ ; $f^{'} (2) = 12 - 12 = 0$ .
3.
$f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .

$y$
$= f^{'} (1) (x - 1) + f (1)$
$y$
$= - 3 (x - 1) + 0$
$y$
$= - 3 x + 3$
4.
La tangente est horizontale quand $f^{'} (x) = 0$ : $3 x (x - 2) = 0$ , soit $x = 0$ ou $x = 2$ . Avec $f (0) = 2$ et $f (2) = 8 - 12 + 2 = - 2$ : aux points $(0; 2)$ et $(2; - 2)$ .