Chapitre 4 — Dérivation · coursVIII Dérivée d'un inverse et d'un quotient

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Propriété 7 — Inverse et quotient

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $v$ ne s'annule pas sur $I$ .

fonction	dérivée
$\frac{1}{v}$	$- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$
$\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient

Exemples corrigés

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

a)
$f (x) = \frac{1}{4 x - 3}$
b)
$g (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$
c)
$h (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$
d)
$k (x) = \frac{x ^{2}}{x + 1}$

Correction

v (x)

= 4 x - 3

v^{'} (x) = 4

f^{'} (x)

= - \frac{4}{( 4 x - 3 ) ^{2}}

- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}

v (x)

= x^{2} + 1

v^{'} (x) = 2 x

g^{'} (x)

= - \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

u (x)

= 2 x + 1

u^{'} (x) = 2

v (x)

= x - 3

v^{'} (x) = 1

h^{'} (x)

= \frac{2 ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 ) \times 1}{( x - 3 ) ^{2}}

\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

: le dénominateur reste au carré

h^{'} (x)

= \frac{2 x - 6 - 2 x - 1}{( x - 3 ) ^{2}}

le «

-

» change les signes de

u v^{'}

h^{'} (x)

= \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}}

u (x)

= x^{2}

u^{'} (x) = 2 x

v (x)

= x + 1

v^{'} (x) = 1

k^{'} (x)

= \frac{2 x ( x + 1 ) - x ^{2} \times 1}{( x + 1 ) ^{2}}

k^{'} (x)

= \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}

2 x^{2} + 2 x - x^{2}

À vous de jouer

Calculer la dérivée de chaque fonction :

f (x) = \frac{1}{5 x + 2}

g (x) = \frac{1}{x ^{2} - 4 x}

h (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}

k (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x}

Correction

f^{'} (x)

= - \frac{5}{( 5 x + 2 ) ^{2}}

- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}

avec

v (x) = 5 x + 2

v^{'} (x) = 5

g^{'} (x)

= - \frac{2 x - 4}{( x ^{2} - 4 x ) ^{2}}

v (x) = x^{2} - 4 x

v^{'} (x) = 2 x - 4

$h$

u (x)

= 3 x - 1

u^{'} (x) = 3

v (x)

= x + 2

v^{'} (x) = 1

h^{'} (x)

= \frac{3 ( x + 2 ) - ( 3 x - 1 ) \times 1}{( x + 2 ) ^{2}}

\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

h^{'} (x)

= \frac{3 x + 6 - 3 x + 1}{( x + 2 ) ^{2}}

le «

-

» change les signes de

u v^{'}

h^{'} (x)

= \frac{7}{( x + 2 ) ^{2}}

$k$

u (x)

= x^{2} + 3

u^{'} (x) = 2 x

v (x)

= x

v^{'} (x) = 1

k^{'} (x)

= \frac{2 x \times x - ( x ^{2} + 3 ) \times 1}{x ^{2}}

k^{'} (x)

= \frac{x ^{2} - 3}{x ^{2}}

2 x^{2} - x^{2} - 3

À faire : exercices 30 à 35

Exercice 30 — Dériver un inverse

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

a)
$f (x) = \frac{1}{2 x + 3}$
b)
$g (x) = \frac{1}{x ^{2} + 4}$
c)
$h (x) = \frac{3}{x - 1}$
d)
$k (x) = \frac{1}{x ^{2} - 2 x}$

Corrigé

On applique $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ .

a)
$v (x) = 2 x + 3$ , $v^{'} (x) = 2$ : $f^{'} (x) = - \frac{2}{( 2 x + 3 ) ^{2}}$
b)
$v (x) = x^{2} + 4$ , $v^{'} (x) = 2 x$ : $g^{'} (x) = - \frac{2 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
c)
$h (x) = 3 \times \frac{1}{x - 1}$ : $h^{'} (x) = 3 \times (- \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}) = - \frac{3}{( x - 1 ) ^{2}}$
d)
$v (x) = x^{2} - 2 x$ , $v^{'} (x) = 2 x - 2$ : $k^{'} (x) = - \frac{2 x - 2}{( x ^{2} - 2 x ) ^{2}}$

Exercice 31 — Dériver un quotient

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

a)
$f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$
b)
$g (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 1}$
c)
$h (x) = \frac{x ^{2}}{x - 3}$
d)
$k (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1}$

Corrigé

On applique $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .

a)
$u (x) = x + 3$ , $u^{'} (x) = 1$ ; $v (x) = x - 2$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{1 \times ( x - 2 ) - ( x + 3 ) \times 1}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x - 2 - x - 3}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{- 5}{( x - 2 ) ^{2}}$
b)
$u (x) = 4 x - 1$ , $u^{'} (x) = 4$ ; $v (x) = 2 x + 1$ , $v^{'} (x) = 2$ .

$g^{'} (x)$
$= \frac{4 ( 2 x + 1 ) - ( 4 x - 1 ) \times 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$g^{'} (x)$
$= \frac{8 x + 4 - 8 x + 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$g^{'} (x)$
$= \frac{6}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
c)
$u (x) = x^{2}$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x - 3$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$h^{'} (x)$
$= \frac{2 x ( x - 3 ) - x ^{2} \times 1}{( x - 3 ) ^{2}}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 6 x}{( x - 3 ) ^{2}}$
d)
$u (x) = x^{2} - 1$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x^{2} + 1$ , $v^{'} (x) = 2 x$ .

$k^{'} (x)$
$= \frac{2 x ( x ^{2} + 1 ) - ( x ^{2} - 1 ) \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{3} + 2 x - 2 x ^{3} + 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{4 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$

→ Le « $-$ » devant $u v^{'}$ change tous les signes : on met $u v^{'}$ entre parenthèses.

Exercice 32 — Entraînement : inverses et quotients

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

a)
$f (x) = \frac{1}{3 - x}$
b)
$g (x) = \frac{- 2}{x ^{2} + x + 1}$
c)
$h (x) = \frac{5 x + 2}{x - 1}$
d)
$k (x) = \frac{1 - 2 x}{x + 3}$
e)
$m (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$
f)
$p (x) = \frac{3 x}{x ^{2} + 1}$
g)
$q (x) = \frac{x ^{2} - 4 x}{x + 2}$
h)
$r (x) = \frac{x}{x + 1}$

Corrigé

a)
$v (x) = 3 - x$ , $v^{'} (x) = - 1$ : $f^{'} (x) = - \frac{- 1}{( 3 - x ) ^{2}} = \frac{1}{( 3 - x ) ^{2}}$
b)
$g (x) = - 2 \times \frac{1}{x ^{2} + x + 1}$ et $v^{'} (x) = 2 x + 1$ : $g^{'} (x) = - 2 \times (- \frac{2 x + 1}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}}) = \frac{4 x + 2}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}}$
c)
$u^{'} (x) = 5$ ; $v^{'} (x) = 1$ .

$h^{'} (x)$
$= \frac{5 ( x - 1 ) - ( 5 x + 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{- 7}{( x - 1 ) ^{2}}$
d)
$u^{'} (x) = - 2$ ; $v^{'} (x) = 1$ .

$k^{'} (x)$
$= \frac{- 2 ( x + 3 ) - ( 1 - 2 x )}{( x + 3 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{- 2 x - 6 - 1 + 2 x}{( x + 3 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{- 7}{( x + 3 ) ^{2}}$
e)
$u (x) = x^{2} + 1$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$m^{'} (x)$
$= \frac{2 x \times x - ( x ^{2} + 1 )}{x ^{2}}$
$m^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$
f)
$u (x) = 3 x$ , $u^{'} (x) = 3$ ; $v (x) = x^{2} + 1$ , $v^{'} (x) = 2 x$ .

$p^{'} (x)$
$= \frac{3 ( x ^{2} + 1 ) - 3 x \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$p^{'} (x)$
$= \frac{3 - 3 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
g)
$u (x) = x^{2} - 4 x$ , $u^{'} (x) = 2 x - 4$ ; $v (x) = x + 2$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$q^{'} (x)$
$= \frac{( 2 x - 4 ) ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 4 x )}{( x + 2 ) ^{2}}$
$q^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{2} - 8 - x ^{2} + 4 x}{( x + 2 ) ^{2}}$
$(2 x - 4) (x + 2) = 2 x^{2} - 8$
$q^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} + 4 x - 8}{( x + 2 ) ^{2}}$
h)
$u (x) = x$ , $u^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ ; $v (x) = x + 1$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$r^{'} (x)$
$= \frac{\frac{1}{2 x} ( x + 1 ) - x}{( x + 1 ) ^{2}}$
$r^{'} (x)$
$= \frac{( x + 1 ) - 2 x}{2 x ( x + 1 ) ^{2}}$
on multiplie en haut et en bas par $2 x$
$r^{'} (x)$
$= \frac{1 - x}{2 x ( x + 1 ) ^{2}}$

Exercice 33 — Choisir la bonne formule

Pour chaque fonction, dire s'il s'agit d'une somme, d'un produit, d'un inverse ou d'un quotient, puis calculer sa dérivée.

a)
$f (x) = 3 x^{4} - \frac{2}{x}$
b)
$g (x) = (x - 1) (x^{2} + 2)$
c)
$h (x) = \frac{4}{x ^{2} + 3}$
d)
$k (x) = \frac{x - 4}{2 x + 1}$
e)
$m (x) = x^{2} x$
f)
$p (x) = x + sin x$

Corrigé

a)
Somme : $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 2 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = 12 x^{3} + \frac{2}{x ^{2}}$
b)
Produit, avec $u^{'} (x) = 1$ et $v^{'} (x) = 2 x$ .

$g^{'} (x)$
$= 1 \times (x^{2} + 2) + (x - 1) \times 2 x$
$g^{'} (x)$
$= x^{2} + 2 + 2 x^{2} - 2 x$
$g^{'} (x)$
$= 3 x^{2} - 2 x + 2$
c)
Inverse (multiplié par $4$ ), avec $v^{'} (x) = 2 x$ : $h^{'} (x) = 4 \times (- \frac{2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}) = - \frac{8 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$
d)
Quotient, avec $u^{'} (x) = 1$ et $v^{'} (x) = 2$ .

$k^{'} (x)$
$= \frac{1 \times ( 2 x + 1 ) - ( x - 4 ) \times 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{2 x + 1 - 2 x + 8}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{9}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
e)
Produit, avec $u (x) = x^{2}$ et $v (x) = x$ .

$m^{'} (x)$
$= 2 x x + x^{2} \times \frac{1}{2 x}$
$m^{'} (x)$
$= 2 x x + \frac{x x}{2}$
$\frac{x ^{2}}{x} = x x$
$m^{'} (x)$
$= \frac{5}{2} x x$
f)
Somme : $p^{'} (x) = \frac{1}{2 x} + cos x$

Exercice 34 — Tangentes à une hyperbole

On considère $f (x) = \frac{2 x - 4}{x + 1}$ , pour $x \neq = - 1$ .

1.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{6}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
2.
$C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en $A$ . Calculer les coordonnées de $A$ , puis une équation de la tangente à $C_{f}$ en $A$ .
3.
Même question avec le point $B$ où $C_{f}$ coupe l'axe des ordonnées.

Corrigé

1.
$u (x) = 2 x - 4$ , $u^{'} (x) = 2$ ; $v (x) = x + 1$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x - 4 ) \times 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x + 2 - 2 x + 4}{( x + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{6}{( x + 1 ) ^{2}}$
2.
$f (x) = 0$ quand $2 x - 4 = 0$ , soit $x = 2$ : $A (2; 0)$ . $f^{'} (2) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

$y$
$= \frac{2}{3} (x - 2) + 0$
$y$
$= \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$
3.
$f (0) = - 4$ : $B (0; - 4)$ . $f^{'} (0) = 6$ , donc la tangente en $B$ a pour équation $y = 6 x - 4$ .

Exercice 35 — Deux fonctions, une même dérivée

On considère $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ et $g (x) = \frac{3}{x - 1}$ , pour $x \neq = 1$ .

1.
Calculer $f^{'} (x)$ et $g^{'} (x)$ . Que remarque-t-on ?
2.
Calculer $f (x) - g (x)$ . Expliquer la remarque de la question 1.

Corrigé

1.
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 ( x - 1 ) - ( 2 x + 1 ) \times 1}{( x - 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{- 3}{( x - 1 ) ^{2}}$
$g^{'} (x)$
$= 3 \times (- \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}})$
$g^{'} (x)$
$= \frac{- 3}{( x - 1 ) ^{2}}$

$f$ et $g$ ont la même dérivée.
2.
$f (x) - g (x)$
$= \frac{2 x + 1 - 3}{x - 1}$
$f (x) - g (x)$
$= \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1}$
$f (x) - g (x)$
$= 2$

$f = g + 2$ : ajouter une constante ne change pas la dérivée (la dérivée de $2$ est $0$ ). Les deux courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale : elles ont les mêmes pentes.