Faire des maths

Chapitre 4 — Dérivation · coursIII Tangente à une courbe

Sommaire du chapitre
  1. I — Limite en zéro d'une fonction
  2. II — Nombre dérivé
  3. III — Tangente à une courbe
  4. IV — Approximation linéaire
  5. V — Dérivées des fonctions polynômes
  6. VI — Dérivées des autres fonctions de référence
  7. VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
  8. VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
  9. IX — Dérivée des fonctions composées
  10. X — Étude des variations d'une fonction
  11. XI — Extremums d'une fonction
  12. XII — Étude complète d'une fonction
  13. XIII — Problèmes concrets

Définition 3 — Tangente

Soit dérivable en et le point de d'abscisse . La tangente à en est la droite qui passe par et dont le coefficient directeur est .

Propriété 1 — Équation de la tangente

La tangente à au point d'abscisse a pour équation

Elle passe par  ; quand on avance de , elle monte de .

Démonstration. La tangente a pour coefficient directeur et passe par .

équation d'une droite de coefficient directeur
est sur la droite
on isole
on remplace dans l'équation
on factorise par

Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique

On a tracé la courbe d'une fonction et quatre de ses tangentes.

Exemples corrigés

Lire et .

À vous de jouer

Lire , , puis et .

Correction

La tangente en est horizontale : .
une droite horizontale a un coefficient directeur nul

La tangente passe par et  : quand on avance de , elle monte de . Donc .
coefficient directeur  ; une descente compte en négatif
Correction

En

La courbe passe par  : .
on lit l'ordonnée du point
La tangente passe par et  : quand on avance de , elle descend de . Donc .
une descente compte en négatif

En

La courbe passe par  : .
La tangente passe par et  : quand on avance de , elle descend de . Donc .
coefficient directeur

Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente

Exemples corrigés

  1. a)
     : calculer , puis une équation de la tangente à au point d'abscisse .
  2. b)
     : on a vu que (méthode 2). Donner une équation de la tangente à au point d'abscisse .
Correction

a)

, divisé par
on recopie la formule

b)

À vous de jouer

Avec les nombres dérivés déjà calculés à la méthode 2, donner une équation de la tangente :

  1. 1°)
    à la courbe de au point d'abscisse  ;
  2. 2°)
    à la courbe de au point d'abscisse .
Correction

1°)

et (méthode 2).
les deux nombres de la formule
on recopie la formule

2°)

et (méthode 2).
À faire : exercices 9 à 12

Exercice 9 — Lecture graphique

On a tracé la courbe d'une fonction définie sur et trois de ses tangentes, aux points , et .

  1. 1.
    Lire , et .
  2. 2.
    Lire , et .
  3. 3.
    Donner une équation de la tangente à en .
Corrigé
  1. 1.
     ;  ; .
  2. 2.
    Les tangentes en et sont horizontales : et . La tangente en passe par et par  : quand on avance de , elle descend de , donc .
  3. 3.

Exercice 10 — Équation de la tangente

Dans chaque cas, donner une équation de la tangente à au point d'abscisse .

  1. a)
     ; et
  2. b)
     ; et
  3. c)
     ; et
  4. d)
     ; et
Corrigé

On applique .

  1. a)
    , soit .
  2. b)
    , soit .
  3. c)
    , soit .
  4. d)
    , soit (tangente horizontale).

Exercice 11 — Nombre dérivé, puis tangente

  1. 1.
    . Calculer par la définition, puis une équation de la tangente à au point d'abscisse .
  2. 2.
    . Calculer par la définition, puis une équation de la tangente à au point d'abscisse .
Corrigé
  1. 1.

    et .

  2. 2.

    .

    même dénominateur

Exercice 12 — Tangente passant par un point

  1. 1.
    La tangente à au point passe par . Calculer , puis donner une équation de cette tangente.
  2. 2.
    La tangente à au point passe par . Calculer , puis donner une équation de cette tangente.
Corrigé

est le coefficient directeur de la tangente, donc de la droite .

  1. 1.
  2. 2.