Chapitre 4 — Dérivation · coursIX Dérivée des fonctions composées

Sommaire du chapitre

$u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , et $n ⩾ 2$ un entier.

Pour $1/ u$ , $u$ ne s'annule pas sur $I$ (c'est la formule de la partie VIII) ; pour $u$ , $u > 0$ sur $I$ .

Toutes ces lignes viennent d'une même formule : si $f (x) = g (u (x))$ , alors

f^{'} (x) = u^{'} (x) \times g^{'} (u (x)) .

On dérive la fonction « extérieure » $g$ en gardant $u (x)$ à l'intérieur, puis on multiplie par $u^{'} (x)$ .

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

Correction

u (x)

= 2 x + 5

u^{'} (x) = 2

f^{'} (x)

= 2 \times 2 \times (2 x + 5)

2 u^{'} u

f^{'} (x)

= 8 x + 20

u (x)

= x^{2} + 1

u^{'} (x) = 2 x

g^{'} (x)

= 3 \times 2 x \times (x^{2} + 1)^{2}

n u^{'} u^{n - 1}

, avec

n = 3

g^{'} (x)

= 6 x (x^{2} + 1)^{2}

u (x)

= 3 x + 1

u^{'} (x) = 3

;

u (x) > 0

pour

x > - \frac{1}{3}

h^{'} (x)

= \frac{3}{2 3 x + 1}

\frac{u ^{'}}{2 u}

u (x)

= 2 x

u^{'} (x) = 2

k^{'} (x)

= - 2 sin (2 x)

- u^{'} sin u

u (x)

= x^{2} + 1

u^{'} (x) = 2 x

m^{'} (x)

= 2 x cos (x^{2} + 1)

u^{'} cos u

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie :

f (x) = (3 x - 2)^{2}

g (x) = (x^{2} - 2)^{4}

h (x) = 5 x + 4

k (x) = sin (4 x)

m (x) = cos (x^{2})

Correction

f^{'} (x)

= 2 \times 3 \times (3 x - 2)

2 u^{'} u

avec

u (x) = 3 x - 2

u^{'} (x) = 3

f^{'} (x)

= 18 x - 12

g^{'} (x)

= 4 \times 2 x \times (x^{2} - 2)^{3}

n u^{'} u^{n - 1}

avec

u (x) = x^{2} - 2

n = 4

g^{'} (x)

= 8 x (x^{2} - 2)^{3}

h^{'} (x)

= \frac{5}{2 5 x + 4}

\frac{u ^{'}}{2 u}

avec

u (x) = 5 x + 4

u^{'} (x) = 5

k^{'} (x)

= 4 cos (4 x)

u^{'} cos u

avec

u (x) = 4 x

m^{'} (x)

= - 2 x sin (x^{2})

- u^{'} sin u

avec

u (x) = x^{2}

À faire : exercices 36 à 38

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

Corrigé

On applique $(u^{2})^{'} = 2 u^{'} u$ , $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ et $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ .

a)
$u (x) = 3 x + 1$ , $u^{'} (x) = 3$ .

$f^{'} (x)$
$= 2 \times 3 \times (3 x + 1)$
$f^{'} (x)$
$= 18 x + 6$
b)
$u (x) = 1 - 2 x$ , $u^{'} (x) = - 2$ .

$g^{'} (x)$
$= 2 \times (- 2) \times (1 - 2 x)$
$g^{'} (x)$
$= 8 x - 4$
c)
$u (x) = x^{2} + 3$ , $u^{'} (x) = 2 x$ : $h^{'} (x) = 3 \times 2 x \times (x^{2} + 3)^{2}$ , soit $h^{'} (x) = 6 x (x^{2} + 3)^{2}$ .
d)
$u (x) = 4 x - 1$ , $u^{'} (x) = 4$ : $k^{'} (x) = 5 \times 4 \times (4 x - 1)^{4}$ , soit $k^{'} (x) = 20 (4 x - 1)^{4}$ .
e)
$u (x) = 2 x + 6$ , $u^{'} (x) = 2$ , avec $u (x) > 0$ pour $x > - 3$ .

$m^{'} (x)$
$= \frac{2}{2 2 x + 6}$
$m^{'} (x)$
$= \frac{1}{2 x + 6}$
on simplifie par $2$
f)
$u (x) = x^{2} + 4$ , $u^{'} (x) = 2 x$ , avec $u (x) > 0$ sur $R$ .

$p^{'} (x)$
$= \frac{2 x}{2 x ^{2} + 4}$
$p^{'} (x)$
$= \frac{x}{x ^{2} + 4}$

→ Erreur fréquente : oublier le facteur $u^{'}$ ( $2 (3 x + 1)$ au lieu de $6 (3 x + 1)$ ).

1.
Calculer la dérivée de chaque fonction.
1. a)
  $f (x) = sin (3 x)$
2. b)
  $g (x) = cos (5 x + 1)$
3. c)
  $h (x) = sin (x^{2})$
4. d)
  $k (x) = cos (1 - x)$
2.
On admet qu'une fonction $g$ a pour dérivée $g^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ . Avec la formule $f^{'} (x) = u^{'} (x) \times g^{'} (u (x))$ , calculer la dérivée de $f (x) = g (2 x)$ .

Corrigé

On considère $f (x) = x^{2} + 9$ , définie sur $R$ .

1.
Calculer $f^{'} (x)$ .
2.
Calculer $f (4)$ et $f^{'} (4)$ .
3.
Donner une équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $4$ .
4.
En déduire une valeur approchée de $f (4, 1)$ , puis la comparer avec la calculatrice.

Corrigé

1.
$u (x) = x^{2} + 9$ , $u^{'} (x) = 2 x$ , avec $u (x) > 0$ sur $R$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x}{2 x ^{2} + 9}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x}{x ^{2} + 9}$
2.
$f (4) = 25 = 5$ et $f^{'} (4) = \frac{4}{5} = 0, 8$ .
3.
$y = f^{'} (4) (x - 4) + f (4)$ :

$y$
$= 0, 8 (x - 4) + 5$
$y$
$= 0, 8 x + 1, 8$
4.
Avec $a = 4$ et $h = 0, 1$ : $f (4, 1) ≃ 5 + 0, 8 \times 0, 1 = 5, 08$ . La calculatrice donne $25, 81 = 5, 0803 \dots$ : juste au centième.