Chapitre 4 — Dérivation · coursVI Dérivées des autres fonctions de référence

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Propriété 5 — Inverse, puissances inverses, racine carrée, cosinus, sinus

$f (x)$	$f^{'} (x)$	$f$ est dérivable sur
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$\frac{1}{x ^{n}}$ ( $n ⩾ 1$ entier)	$- \frac{n}{x ^{n + 1}}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$] 0; + \infty [$
$cos x$	$- sin x$	$R$
$sin x$	$cos x$	$R$

Les dérivées de $\frac{1}{x ^{n}}$ , de la racine carrée, du cosinus et du sinus sont admises ; les fonctions cosinus et sinus seront étudiées au chapitre 9.

Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence

Exemples corrigés

a)
$f (x) = \frac{1}{x}$ : calculer $f^{'} (- 2)$ .
b)
$g (x) = x$ : calculer $g^{'} (9)$ .
c)
Calculer la dérivée de $h (x) = \frac{5}{x}$ , puis de $k (x) = 4 x$ .
d)
Calculer la dérivée de $m (x) = \frac{1}{x ^{3}}$ , puis de $p (x) = \frac{2}{x ^{4}}$ .
e)
Calculer la dérivée de $q (x) = 3 sin x$ , puis de $r (x) = - 2 cos x$ .

Correction

f^{'} (x)

= - \frac{1}{x ^{2}}

on écrit d'abord la dérivée

f^{'} (- 2)

= - \frac{1}{( - 2 ) ^{2}}

puis on remplace

x

f^{'} (- 2)

= - \frac{1}{4}

g^{'} (x)

= \frac{1}{2 x}

g^{'} (9)

= \frac{1}{2 \times 3}

9 = 3

g^{'} (9)

= \frac{1}{6}

h (x)

= 5 \times \frac{1}{x}

le coefficient

5

se garde

h^{'} (x)

= 5 \times (- \frac{1}{x ^{2}})

h^{'} (x)

= - \frac{5}{x ^{2}}

k^{'} (x)

= 4 \times \frac{1}{2 x}

k^{'} (x)

= \frac{2}{x}

on simplifie par

2

m^{'} (x)

= - \frac{3}{x ^{4}}

\frac{1}{x ^{n}}

donne

- \frac{n}{x ^{n + 1}}

, avec

n = 3

p (x)

= 2 \times \frac{1}{x ^{4}}

le coefficient

2

se garde

p^{'} (x)

= 2 \times (- \frac{4}{x ^{5}})

p^{'} (x)

= - \frac{8}{x ^{5}}

q^{'} (x)

= 3 cos x

sin x

donne

cos x

r^{'} (x)

= - 2 \times (- sin x)

cos x

donne

- sin x

r^{'} (x)

= 2 sin x

les deux signes «

-

» donnent «

+

À vous de jouer

1°)
$f (x) = \frac{1}{x}$ : calculer $f^{'} (4)$ . $g (x) = x$ : calculer $g^{'} (25)$ .
2°)
Calculer la dérivée de chaque fonction : $h (x) = - \frac{2}{x}$ $k (x) = 6 x$ $m (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ $p (x) = \frac{3}{x ^{5}}$ .
3°)
Calculer la dérivée de chaque fonction : $q (x) = 4 cos x$ $r (x) = - 5 sin x$ .

Correction

1°)

f^{'} (x)

= - \frac{1}{x ^{2}}

on écrit d'abord la dérivée

f^{'} (4)

= - \frac{1}{16}

puis on remplace

x

g^{'} (x)

= \frac{1}{2 x}

g^{'} (25)

= \frac{1}{2 \times 5}

25 = 5

g^{'} (25)

= \frac{1}{10}

2°)

h^{'} (x)

= - 2 \times (- \frac{1}{x ^{2}})

h (x) = - 2 \times \frac{1}{x}

: le coefficient se garde

h^{'} (x)

= \frac{2}{x ^{2}}

k^{'} (x)

= 6 \times \frac{1}{2 x}

k^{'} (x)

= \frac{3}{x}

on simplifie par

2

m^{'} (x)

= - \frac{2}{x ^{3}}

\frac{1}{x ^{n}}

donne

- \frac{n}{x ^{n + 1}}

, avec

n = 2

p^{'} (x)

= 3 \times (- \frac{5}{x ^{6}})

avec

n = 5

p^{'} (x)

= - \frac{15}{x ^{6}}

3°)

q^{'} (x)

= 4 \times (- sin x)

cos x

donne

- sin x

q^{'} (x)

= - 4 sin x

r^{'} (x)

= - 5 cos x

sin x

donne

cos x

À faire : exercices 21 à 24

Exercice 21 — Nombres dérivés des fonctions de référence

a)
$f (x) = \frac{1}{x}$ : calculer $f^{'} (5)$ et $f^{'} (\frac{1}{2})$ .
b)
$g (x) = x$ : calculer $g^{'} (16)$ et $g^{'} (\frac{1}{4})$ .
c)
$k (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ : calculer $k^{'} (1)$ et $k^{'} (- 2)$ .

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ : $f^{'} (5) = - \frac{1}{25}$ et $f^{'} (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} = - 4$ .
b)
$g^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ : $g^{'} (16) = \frac{1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$ et $g^{'} (\frac{1}{4}) = \frac{1}{2 \times \frac{1}{2}} = 1$ .
c)
$k^{'} (x) = - \frac{2}{x ^{3}}$ : $k^{'} (1) = - 2$ et $k^{'} (- 2) = - \frac{2}{- 8} = \frac{1}{4}$ .

Exercice 22 — Dériver avec les fonctions de référence

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{4}{x}$
b)
$g (x) = - 3 x$
c)
$h (x) = \frac{1}{x ^{4}}$
d)
$k (x) = \frac{5}{x ^{3}}$
e)
$m (x) = 2 cos x$
f)
$p (x) = - sin x$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 4 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = - \frac{4}{x ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = - 3 \times \frac{1}{2 x} = - \frac{3}{2 x}$
c)
$h^{'} (x) = - \frac{4}{x ^{5}}$
d)
$k^{'} (x) = 5 \times (- \frac{3}{x ^{4}}) = - \frac{15}{x ^{4}}$
e)
$m^{'} (x) = - 2 sin x$
f)
$p^{'} (x) = - cos x$

Exercice 23 — Entraînement : fonctions de référence

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = - \frac{7}{x}$
b)
$g (x) = 8 x$
c)
$h (x) = \frac{2}{x ^{2}}$
d)
$k (x) = - \frac{1}{x ^{5}}$
e)
$m (x) = \frac{1}{3} x$
f)
$p (x) = - 4 cos x$
g)
$q (x) = \frac{1}{2 x}$
h)
$r (x) = \frac{1}{2} sin x$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = - 7 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = \frac{7}{x ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = 8 \times \frac{1}{2 x} = \frac{4}{x}$
c)
$h^{'} (x) = 2 \times (- \frac{2}{x ^{3}}) = - \frac{4}{x ^{3}}$
d)
$k^{'} (x) = - 1 \times (- \frac{5}{x ^{6}}) = \frac{5}{x ^{6}}$
e)
$m^{'} (x) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2 x} = \frac{1}{6 x}$
f)
$p^{'} (x) = - 4 \times (- sin x) = 4 sin x$
g)
$q (x) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{x}$ , donc $q^{'} (x) = \frac{1}{2} \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = - \frac{1}{2 x ^{2}}$
h)
$r^{'} (x) = \frac{1}{2} cos x$

→ Deux signes « $-$ » donnent un « $+$ » : c'est l'erreur la plus fréquente en a), d) et f).

Exercice 24 — Tangentes aux courbes de référence

1.
Donner une équation de la tangente à la courbe de $f (x) = \frac{1}{x}$ au point d'abscisse $1$ .
2.
Donner une équation de la tangente à la courbe de $g (x) = x$ au point d'abscisse $4$ .
3.
Justifier que la courbe de $f$ n'a aucune tangente horizontale.

Corrigé

1.
$f (1) = 1$ et $f^{'} (1) = - 1$ .

$y$
$= - 1 \times (x - 1) + 1$
$y$
$= - x + 2$
2.
$g (4) = 2$ et $g^{'} (4) = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$ .

$y$
$= \frac{1}{4} (x - 4) + 2$
$y$
$= \frac{1}{4} x + 1$
3.
$f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ est toujours strictement négatif (un carré non nul est positif) : $f^{'} (x)$ ne vaut jamais $0$ , donc aucune tangente n'est horizontale.