Chapitre 4 — Dérivation · coursII Nombre dérivé

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Définition 2 — Nombre dérivé

Soit $h \neq = 0$ . Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est

T (h) = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .

C'est le coefficient directeur de la sécante $(A M)$ (ch. 2).

Si $T (h)$ s'approche d'un nombre quand $h$ tend vers $0$ (partie I), on dit que $f$ est dérivable en $a$ . Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ :

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .

Quand $h$ tend vers $0$ , $M$ glisse vers $A$ : la sécante tourne et se rapproche de la tangente en $A$ .

Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition

Exemples corrigés

a)
$f (x) = x^{2} + 3 x$ : calculer $f^{'} (1)$ .
b)
$g (x) = \frac{1}{x}$ : calculer $g^{'} (2)$ .

Correction

f (1)

= 1 + 3

on calcule d'abord

f (a)

f (1)

= 4

f (1 + h)

= (1 + h)^{2} + 3 (1 + h)

on remplace

x

par

1 + h

f (1 + h)

= 1 + 2 h + h^{2} + 3 + 3 h

f (1 + h)

= h^{2} + 5 h + 4

T (h)

= \frac{h ^{2} + 5 h + 4 - 4}{h}

T (h) = \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}

T (h)

= \frac{h ( h + 5 )}{h}

T (h)

= h + 5

f^{'} (1)

= h \to 0 lim (h + 5)

f^{'} (1)

est la limite de

T (h)

quand

h

tend vers

0

f^{'} (1)

= 5

on remplace

h

par

0

dans

h + 5

g (2 + h) - g (2)

= \frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}

on calcule d'abord la différence

g (2 + h) - g (2)

= \frac{1 \times 2}{( 2 + h ) \times 2} - \frac{1 \times ( 2 + h )}{2 \times ( 2 + h )}

même dénominateur

g (2 + h) - g (2)

= \frac{2 - 2 - h}{2 ( 2 + h )}

g (2 + h) - g (2)

= \frac{- h}{2 ( 2 + h )}

T (h)

= \frac{- h}{2 ( 2 + h )} \times \frac{1}{h}

diviser par

h

, c'est multiplier par

\frac{1}{h}

T (h)

= \frac{- 1}{2 ( 2 + h )}

g^{'} (2)

= h \to 0 lim \frac{- 1}{2 ( 2 + h )}

g^{'} (2)

= - \frac{1}{4}

2 + h

tend vers

2

À vous de jouer

1°)
$h (x) = x^{2} - 4 x$ : calculer $h^{'} (3)$ .
2°)
$k (x) = 2 x^{2} + 1$ : calculer $k^{'} (- 1)$ .
3°)
$m (x) = \frac{1}{x}$ : calculer $m^{'} (1)$ .

Correction

1°)

La fonction s'appelle déjà

h

: on note

t

l'écart, à la place de

h

t

joue le rôle du

h

de la méthode

h (3)

= 9 - 12

on calcule d'abord

h (3)

h (3)

= - 3

h (3 + t)

= (3 + t)^{2} - 4 (3 + t)

on remplace

x

par

3 + t

h (3 + t)

= 9 + 6 t + t^{2} - 12 - 4 t

h (3 + t)

= t^{2} + 2 t - 3

T (t)

= \frac{t ^{2} + 2 t - 3 - ( - 3 )}{t}

T (t) = \frac{h ( 3 + t ) - h ( 3 )}{t}

T (t)

= \frac{t ( t + 2 )}{t}

T (t)

= t + 2

h^{'} (3)

= t \to 0 lim (t + 2)

h^{'} (3)

= 2

2°)

k (- 1)

= 2 + 1

k (- 1)

= 3

k (- 1 + h)

= 2 (- 1 + h)^{2} + 1

on remplace

x

par

- 1 + h

k (- 1 + h)

= 2 (1 - 2 h + h^{2}) + 1

k (- 1 + h)

= 2 h^{2} - 4 h + 3

T (h)

= \frac{2 h ^{2} - 4 h + 3 - 3}{h}

T (h)

= \frac{h ( 2 h - 4 )}{h}

T (h)

= 2 h - 4

k^{'} (- 1)

= h \to 0 lim (2 h - 4)

k^{'} (- 1)

= - 4

3°)

m (1 + h) - m (1)

= \frac{1}{1 + h} - 1

on calcule d'abord la différence

m (1 + h) - m (1)

= \frac{1}{1 + h} - \frac{1 \times ( 1 + h )}{1 \times ( 1 + h )}

même dénominateur

m (1 + h) - m (1)

= \frac{- h}{1 + h}

T (h)

= \frac{- h}{1 + h} \times \frac{1}{h}

diviser par

h

, c'est multiplier par

\frac{1}{h}

T (h)

= \frac{- 1}{1 + h}

m^{'} (1)

= h \to 0 lim \frac{- 1}{1 + h}

m^{'} (1)

= - 1

1 + h

tend vers

1

À faire : exercices 5 à 8

Exercice 5 — Nombre dérivé par la définition

Pour chaque fonction, calculer le taux de variation $T (h)$ , puis le nombre dérivé demandé.

a)
$f (x) = x^{2}$ : calculer $f^{'} (3)$ .
b)
$g (x) = x^{2} + 2 x$ : calculer $g^{'} (1)$ .
c)
$k (x) = - x^{2} + 5 x$ : calculer $k^{'} (1)$ .
d)
$m (x) = 2 x^{2} - 3$ : calculer $m^{'} (- 1)$ .

Corrigé

a)
$T (h)$
$= \frac{( 3 + h ) ^{2} - 9}{h}$
$T (h)$
$= \frac{9 + 6 h + h ^{2} - 9}{h}$
$T (h)$
$= 6 + h$
$f^{'} (3)$
$= h \to 0 lim (6 + h)$
$f^{'} (3)$
$= 6$
b)
$g (1) = 3$ et $g (1 + h) = 1 + 2 h + h^{2} + 2 + 2 h = 3 + 4 h + h^{2}$ .

$T (h)$
$= \frac{3 + 4 h + h ^{2} - 3}{h}$
$T (h)$
$= 4 + h$
$g^{'} (1)$
$= h \to 0 lim (4 + h)$
$g^{'} (1)$
$= 4$
c)
$k (1) = 4$ et $k (1 + h) = - (1 + 2 h + h^{2}) + 5 + 5 h = 4 + 3 h - h^{2}$ .

$T (h)$
$= \frac{3 h - h ^{2}}{h}$
$T (h)$
$= 3 - h$
$k^{'} (1)$
$= h \to 0 lim (3 - h)$
$k^{'} (1)$
$= 3$
d)
$m (- 1) = - 1$ et $m (- 1 + h) = 2 (1 - 2 h + h^{2}) - 3 = - 1 - 4 h + 2 h^{2}$ .

$T (h)$
$= \frac{- 4 h + 2 h ^{2}}{h}$
$T (h)$
$= - 4 + 2 h$
$m^{'} (- 1)$
$= h \to 0 lim (- 4 + 2 h)$
$m^{'} (- 1)$
$= - 4$

→ Erreur fréquente : oublier les parenthèses dans $- (1 + h)^{2}$ .

Exercice 6 — Le taux de variation est donné

Dans chaque cas, $h \neq = 0$ . En déduire le nombre dérivé demandé.

a)
Le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1 + h$ est $T (h) = 3 h + 7$ : calculer $f^{'} (1)$ .
b)
Le taux de variation de $g$ entre $4$ et $4 + h$ est $T (h) = h^{2} - h - 2$ : calculer $g^{'} (4)$ .
c)
On a $k (- 1 + h) - k (- 1) = 5 h - 2 h^{2}$ : calculer $k^{'} (- 1)$ .

Corrigé

On remplace $h$ par $0$ dans $T (h)$ .

a)
$f^{'} (1) = h \to 0 lim (3 h + 7) = 7$ .
b)
$g^{'} (4) = h \to 0 lim (h^{2} - h - 2) = - 2$ .
c)
On divise d'abord par $h$ : $T (h) = \frac{5 h - 2 h ^{2}}{h} = 5 - 2 h$ , donc $k^{'} (- 1) = 5$ .

Exercice 7 — Avec des fractions

1.
$f (x) = \frac{1}{x}$ . Montrer que $f (4 + h) - f (4) = \frac{- h}{4 ( 4 + h )}$ , puis calculer $f^{'} (4)$ .
2.
$g (x) = \frac{1}{x + 1}$ . Calculer $g (1 + h) - g (1)$ , puis $g^{'} (1)$ .

Corrigé

1.
$f (4 + h) - f (4)$
$= \frac{1}{4 + h} - \frac{1}{4}$
$f (4 + h) - f (4)$
$= \frac{1 \times 4}{( 4 + h ) \times 4} - \frac{1 \times ( 4 + h )}{4 \times ( 4 + h )}$
même dénominateur
$f (4 + h) - f (4)$
$= \frac{- h}{4 ( 4 + h )}$

On divise par $h$ , puis on passe à la limite :

$T (h)$
$= \frac{- 1}{4 ( 4 + h )}$
$f^{'} (4)$
$= h \to 0 lim \frac{- 1}{4 ( 4 + h )}$
$f^{'} (4)$
$= - \frac{1}{16}$
2.
$g (1) = \frac{1}{2}$ et $g (1 + h) = \frac{1}{2 + h}$ .

$g (1 + h) - g (1)$
$= \frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}$
$g (1 + h) - g (1)$
$= \frac{2 - ( 2 + h )}{2 ( 2 + h )}$
$g (1 + h) - g (1)$
$= \frac{- h}{2 ( 2 + h )}$

On divise par $h$ , puis on passe à la limite :

$T (h)$
$= \frac{- 1}{2 ( 2 + h )}$
$g^{'} (1)$
$= h \to 0 lim \frac{- 1}{2 ( 2 + h )}$
$g^{'} (1)$
$= - \frac{1}{4}$

Exercice 8 — Pour un nombre $a$ quelconque

On considère $f (x) = x^{2} - 4 x$ et un nombre $a$ .

1.
Montrer que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est $T (h) = 2 a - 4 + h$ .
2.
En déduire $f^{'} (a)$ en fonction de $a$ .
3.
Calculer $f^{'} (0)$ , $f^{'} (2)$ et $f^{'} (5)$ .

Corrigé

1.
$f (a + h) - f (a)$
$= (a + h)^{2} - 4 (a + h) - a^{2} + 4 a$
$f (a + h) - f (a)$
$= a^{2} + 2 ah + h^{2} - 4 a - 4 h - a^{2} + 4 a$
$f (a + h) - f (a)$
$= 2 ah + h^{2} - 4 h$
$T (h)$
$= 2 a + h - 4$
on divise par $h$
2.
$f^{'} (a) = h \to 0 lim (2 a - 4 + h) = 2 a - 4$ .
3.
$f^{'} (0) = - 4$ ; $f^{'} (2) = 0$ ; $f^{'} (5) = 6$ .

Chapitre 4 — Dérivation · coursII Nombre dérivé

Définition 2 — Nombre dérivé

Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 5 — Nombre dérivé par la définition

Exercice 6 — Le taux de variation est donné

Exercice 7 — Avec des fractions

Exercice 8 — Pour un nombre a quelconque

Exercice 8 — Pour un nombre $a$ quelconque