Chapitre 4 — Dérivation · coursXIII Problèmes concrets

Sommaire du chapitre

I — Limite en zéro d'une fonction
- Méthode 1 — Calculer une limite en zéro
II — Nombre dérivé
- Méthode 2 — Calculer un nombre dérivé par la définition
III — Tangente à une courbe
- Méthode 3 — Lire un nombre dérivé sur un graphique
- Méthode 4 — Déterminer une équation de la tangente
IV — Approximation linéaire
- Méthode 5 — Calculer une valeur approchée
V — Dérivées des fonctions polynômes
- Méthode 6 — Dériver un polynôme
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
- Méthode 7 — Utiliser les dérivées de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
- Méthode 8 — Dériver une somme, un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
- Méthode 9 — Dériver un inverse, un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
- Méthode 10 — Dériver une fonction composée
X — Étude des variations d'une fonction
- Méthode 11 — Étudier les variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
- Méthode 12 — Déterminer les extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
- Méthode 13 — Étudier une fonction de bout en bout
XIII — Problèmes concrets
- Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Méthode 14 — Étudier une fonction dans un contexte

Exemples corrigés

On injecte un médicament à un patient à 8 h 45. La concentration du médicament dans le sang, en mg/L, est donnée $t$ heures après l'injection par

C (t) = \frac{180 t}{4 t ^{2} + 9},

t \in [0; 8] .

a)
Calculer $C (0)$ et interpréter le résultat.
b)
Montrer que $C^{'} (t) = \frac{180 ( 9 - 4 t ^{2} )}{( 4 t ^{2} + 9 ) ^{2}}$ .
c)
Étudier le signe de $C^{'} (t)$ sur $[0; 8]$ , puis dresser le tableau de variations de $C$ .
d)
À quelle heure la concentration est-elle maximale ? Que vaut-elle ?
e)
Le médicament agit quand la concentration est d'au moins $9$ mg/L. Pendant combien de temps agit-il ?

Correction

C (0)

= \frac{180 \times 0}{4 \times 0 ^{2} + 9} = 0

Au moment de l'injection, il n'y a pas encore de médicament dans le sang.

on interprète dans le contexte

u (t)

= 180 t

u^{'} (t) = 180

v (t)

= 4 t^{2} + 9

v^{'} (t) = 8 t

C^{'} (t)

= \frac{180 ( 4 t ^{2} + 9 ) - 180 t \times 8 t}{( 4 t ^{2} + 9 ) ^{2}}

\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

C^{'} (t)

= \frac{720 t ^{2} + 1620 - 1440 t ^{2}}{( 4 t ^{2} + 9 ) ^{2}}

C^{'} (t)

= \frac{1620 - 720 t ^{2}}{( 4 t ^{2} + 9 ) ^{2}}

C^{'} (t)

= \frac{180 ( 9 - 4 t ^{2} )}{( 4 t ^{2} + 9 ) ^{2}}

on factorise par

180

180 > 0

(4 t^{2} + 9)^{2} > 0

C^{'} (t)

a le signe de

9 - 4 t^{2} = (3 - 2 t) (3 + 2 t)

on ne garde que les facteurs dont le signe change

Sur

[0; 8]

3 + 2 t > 0

C^{'} (t)

a le signe de

3 - 2 t

, qui s'annule en

t = 1, 5

3 - 2 t > 0

pour

t < 1, 5

C (1, 5)

= \frac{270}{9 + 9} = 15

image de la racine de

C^{'}

C (8)

= \frac{1440}{265} = \frac{288}{53}

environ

5, 4

1, 5 h

= 1 h + 0, 5 \times 60 min

1, 5 h

= 1 h 30 min

Le maximum est atteint

1

30

après 8 h 45 : à 10 h 15, la concentration vaut 15 mg/L.

on répond par une phrase, avec l'unité

On résout

C (t) ⩾ 9

on traduit la question

\frac{180 t}{4 t ^{2} + 9}

⩾ 9

180 t

⩾ 36 t^{2} + 81

on multiplie par

4 t^{2} + 9 > 0

36 t^{2} - 180 t + 81

⩽ 0

4 t^{2} - 20 t + 9

⩽ 0

on divise par

9

Racines de

4 t^{2} - 20 t + 9

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ

= 400 - 144 = 256

t_{1}

= \frac{20 - 16}{8} = 0, 5

t_{2}

= \frac{20 + 16}{8} = 4, 5

Le trinôme est négatif entre ses racines : le médicament agit de

t = 0, 5

t = 4, 5

, soit pendant 4 heures (de 9 h 15 à 13 h 15).

signe de

a = 4

à l'extérieur des racines

À vous de jouer

Le nombre de spectateurs connectés à un match en ligne, en milliers, est donné $t$ heures après 18 h par

N (t) = \frac{50 t}{4 t ^{2} + 25},

t \in [0; 4] .

1°)
Calculer $N (0)$ et interpréter le résultat.
2°)
Montrer que $N^{'} (t) = \frac{50 ( 25 - 4 t ^{2} )}{( 4 t ^{2} + 25 ) ^{2}}$ .
3°)
Étudier le signe de $N^{'} (t)$ sur $[0; 4]$ , puis dresser le tableau de variations de $N$ .
4°)
À quelle heure y a-t-il le plus de spectateurs ? Combien ?
5°)
Le match est « en tendance » quand il y a au moins $2000$ spectateurs. Pendant combien de temps l'est-il ?

Correction

1°)

N (0)

= \frac{50 \times 0}{4 \times 0 ^{2} + 25} = 0

À 18 h, personne n'est encore connecté.

on interprète dans le contexte

2°)

u (t)

= 50 t

u^{'} (t) = 50

v (t)

= 4 t^{2} + 25

v^{'} (t) = 8 t

N^{'} (t)

= \frac{50 ( 4 t ^{2} + 25 ) - 50 t \times 8 t}{( 4 t ^{2} + 25 ) ^{2}}

\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

N^{'} (t)

= \frac{200 t ^{2} + 1250 - 400 t ^{2}}{( 4 t ^{2} + 25 ) ^{2}}

N^{'} (t)

= \frac{1250 - 200 t ^{2}}{( 4 t ^{2} + 25 ) ^{2}}

N^{'} (t)

= \frac{50 ( 25 - 4 t ^{2} )}{( 4 t ^{2} + 25 ) ^{2}}

on factorise par

50

3°)

50 > 0

(4 t^{2} + 25)^{2} > 0

N^{'} (t)

a le signe de

25 - 4 t^{2} = (5 - 2 t) (5 + 2 t)

on ne garde que les facteurs dont le signe change

Sur

[0; 4]

5 + 2 t > 0

N^{'} (t)

a le signe de

5 - 2 t

, qui s'annule en

t = 2, 5

5 - 2 t > 0

pour

t < 2, 5

N (2, 5)

= \frac{125}{25 + 25} = 2, 5

image de la racine de

N^{'}

N (4)

= \frac{200}{89}

environ

2, 25

4°)

2, 5 h

= 2 h + 0, 5 \times 60 min

2, 5 h

= 2 h 30 min

Le maximum est atteint

2

30

après 18 h : à 20 h 30, il y a 2 500 spectateurs.

N

est en milliers

5°)

On résout

N (t) ⩾ 2

on traduit la question

\frac{50 t}{4 t ^{2} + 25}

⩾ 2

50 t

⩾ 8 t^{2} + 50

on multiplie par

4 t^{2} + 25 > 0

8 t^{2} - 50 t + 50

⩽ 0

4 t^{2} - 25 t + 25

⩽ 0

on divise par

2

Racines de

4 t^{2} - 25 t + 25

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ

= 625 - 400 = 225

t_{1}

= \frac{25 - 15}{8} = 1, 25

t_{2}

= \frac{25 + 15}{8} = 5

Le trinôme est négatif entre ses racines ; sur

[0; 4]

: de

t = 1, 25

t = 4

, soit pendant 2 h 45 (de 19 h 15 à 22 h).

t_{2} = 5

est hors de l'intervalle d'étude

À faire : exercices 49 à 51

Exercice 49 — Le vol d'une montgolfière

Une montgolfière décolle d'un village de montagne à 10 h 50. Son altitude, en centaines de mètres, est $f (t) = \frac{8 t + 6}{t ^{2} + 1}$ , où $t \in [0; 5]$ est le temps en heures écoulé depuis le décollage.

1.
À quelle altitude se trouve le village ?
2.
Montrer que $f^{'} (t) = \frac{- 4 ( 2 t - 1 ) ( t + 2 )}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .
3.
Étudier le signe de $f^{'} (t)$ sur $[0; 5]$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
4.
À quelle heure la montgolfière commence-t-elle à perdre de l'altitude ? Quelle est alors son altitude ?
5.
À quelle heure revient-elle à l'altitude du village ?

Corrigé

1.
$f (0) = \frac{6}{1} = 6$ : le village est à $600 m$ d'altitude.
2.
$u (t) = 8 t + 6$ , $u^{'} (t) = 8$ ; $v (t) = t^{2} + 1$ , $v^{'} (t) = 2 t$ .

$f^{'} (t)$
$= \frac{8 ( t ^{2} + 1 ) - ( 8 t + 6 ) \times 2 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (t)$
$= \frac{8 t ^{2} + 8 - 16 t ^{2} - 12 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (t)$
$= \frac{- 8 t ^{2} - 12 t + 8}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (t)$
$= \frac{- 4 ( 2 t ^{2} + 3 t - 2 )}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
on factorise par $- 4$
$f^{'} (t)$
$= \frac{- 4 ( 2 t - 1 ) ( t + 2 )}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$(2 t - 1) (t + 2) = 2 t^{2} + 3 t - 2$
3.
Sur $[0; 5]$ , $(t^{2} + 1)^{2} > 0$ et $t + 2 > 0$ : $f^{'} (t)$ a le signe de $- 4 (2 t - 1)$ , positif pour $t < 0, 5$ , négatif après.

$f (0, 5)$
$= \frac{4 + 6}{1 , 25} = 8$
$f (5)$
$= \frac{46}{26} = \frac{23}{13}$
environ $1, 8$
4.
$0, 5$ h $= 30$ min : la montgolfière commence à descendre à $11 h 20$ , à $800 m$ d'altitude.
5.
On résout $f (t) = 6$ avec $t > 0$ :

$8 t + 6$
$= 6 (t^{2} + 1)$
on multiplie par $t^{2} + 1 > 0$
$6 t^{2} - 8 t$
$= 0$
$2 t (3 t - 4)$
$= 0$

$t = \frac{4}{3}$ h, soit $1$ h $20$ min : elle revient à l'altitude du village à $12 h 10$ .

Exercice 50 — Des bactéries et un antibiotique

Un antibiotique est ajouté à un milieu de culture. Le nombre de bactéries, en milliers, est $N (t) = t^{3} - 12 t^{2} + 36 t + 10$ , où $t \in [0; 8]$ est le temps en heures. La vitesse de croissance de la population, en milliers de bactéries par heure, est $N^{'} (t)$ .

1.
Calculer $N (0)$ et interpréter le résultat.
2.
Montrer que $N^{'} (t) = 3 (t - 2) (t - 6)$ .
3.
Dresser le tableau de variations de $N$ sur $[0; 8]$ .
4.
Calculer $N^{'} (0)$ et $N^{'} (4)$ , puis interpréter ces deux nombres.
5.
Montrer que $N (t) - 10 = t (t - 6)^{2}$ . Le nombre de bactéries peut-il descendre sous sa valeur de départ ?

Corrigé

1.
$N (0) = 10$ : il y a $10000$ bactéries au départ.
2.
$N^{'} (t)$
$= 3 t^{2} - 24 t + 36$
$3 (t - 2) (t - 6)$
$= 3 (t^{2} - 8 t + 12)$
$3 (t - 2) (t - 6)$
$= 3 t^{2} - 24 t + 36$
on retrouve $N^{'} (t)$
3.
$N^{'} (t)$ est du signe de $3$ à l'extérieur des racines $2$ et $6$ , négatif entre elles.

$N (2)$
$= 8 - 48 + 72 + 10 = 42$
$N (6)$
$= 216 - 432 + 216 + 10 = 10$
$N (8)$
$= 512 - 768 + 288 + 10 = 42$
4.
$N^{'} (0) = 36$ : au départ, la population augmente de $36000$ bactéries par heure. $N^{'} (4) = 3 \times 2 \times (- 2) = - 12$ : à $t = 4$ , elle diminue de $12000$ bactéries par heure.
5.
$t (t - 6)^{2}$
$= t (t^{2} - 12 t + 36)$
$t (t - 6)^{2}$
$= t^{3} - 12 t^{2} + 36 t$
c'est $N (t) - 10$

Sur $[0; 8]$ , $t ⩾ 0$ et $(t - 6)^{2} ⩾ 0$ , donc $N (t) - 10 ⩾ 0$ : non, le nombre de bactéries ne descend jamais sous $10000$ (il y revient à $t = 6$ ).

Exercice 51 — Le coût moyen d'un artisan

Un artisan fabrique entre $5$ et $50$ lampes par mois. Le coût moyen d'une lampe, en euros, est $M (x) = x + \frac{400}{x}$ , où $x \in [5; 50]$ est le nombre de lampes.

1.
Calculer $M (10)$ et interpréter le résultat.
2.
Montrer que $M^{'} (x) = \frac{( x - 20 ) ( x + 20 )}{x ^{2}}$ .
3.
Dresser le tableau de variations de $M$ . Combien de lampes faut-il fabriquer pour que le coût moyen soit le plus bas ? Quel est-il ?
4.
Vrai ou faux ? Justifier. « Le coût moyen est d'au plus $50$ € dès que l'artisan fabrique entre $10$ et $40$ lampes. »
5.
Vrai ou faux ? Justifier. « La tangente à la courbe de $M$ au point d'abscisse $10$ est parallèle à la droite d'équation $y = - 2 x + 1$ . »

Corrigé

1.
$M (10) = 10 + 40 = 50$ : pour $10$ lampes, une lampe coûte en moyenne $50 €$ .
2.
$M^{'} (x)$
$= 1 - \frac{400}{x ^{2}}$
$M^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 400}{x ^{2}}$
même dénominateur
$M^{'} (x)$
$= \frac{( x - 20 ) ( x + 20 )}{x ^{2}}$
$x^{2} - 400 = (x - 20) (x + 20)$
3.
Sur $[5; 50]$ , $x^{2} > 0$ et $x + 20 > 0$ : $M^{'} (x)$ a le signe de $x - 20$ .

$M (5)$
$= 5 + 80 = 85$
$M (20)$
$= 20 + 20 = 40$
$M (50)$
$= 50 + 8 = 58$

Il faut fabriquer $20$ lampes ; le coût moyen est alors de $40 €$ .
4.
On résout $M (x) ⩽ 50$ :

$x + \frac{400}{x}$
$⩽ 50$
$x^{2} + 400$
$⩽ 50 x$
on multiplie par $x > 0$
$x^{2} - 50 x + 400$
$⩽ 0$

$Δ$
$= 2500 - 1600 = 900$
$x_{1}$
$= \frac{50 - 30}{2} = 10$
$x_{2}$
$= \frac{50 + 30}{2} = 40$

Le trinôme est négatif entre ses racines : $M (x) ⩽ 50$ pour $10 ⩽ x ⩽ 40$ . L'affirmation est vraie.
5.
$M^{'} (10) = \frac{( - 10 ) \times 30}{100} = - 3$ : la tangente a pour coefficient directeur $- 3$ , et la droite $- 2$ . L'affirmation est fausse.