Chapitre 2 — Fonctions · coursX Fonction carré

Sommaire du chapitre

I — Antécédent et image
- Méthode 1 — Calculer une image, tester un antécédent
II — Ensemble de définition
- Méthode 2 — Déterminer un ensemble de définition
III — Tableau de valeurs, courbe et lecture graphique
- Méthode 3 — Tracer une courbe à partir d'un tableau de valeurs
- Méthode 4 — Lire une image, lire des antécédents
IV — Tableau de variations d'une fonction
- Méthode 5 — Dresser un tableau de variations à partir d'une courbe
V — Fonctions affines — équation réduite $y = m x + p$
- Méthode 6 — Déterminer une équation réduite
VI — Tracer la droite d'équation $y = m x + p$
- Méthode 7 — Tracer une droite, lire son équation
VII — Équation cartésienne d'une droite
- Méthode 8 — Trouver une équation cartésienne
VIII — Tracer une droite d'équation $a x + b y + c = 0$
- Méthode 9 — Tracer une droite d'équation cartésienne
IX — Passer d'une forme à l'autre
- Méthode 10 — Passer d'une forme à l'autre
X — Fonction carré
- Méthode 11 — Résoudre une équation en isolant $x^{2}$
XI — Fonction cube
- Méthode 12 — Résoudre une équation en isolant $x^{3}$
XII — Fonction inverse
- Méthode 13 — Équations et inéquations avec un inverse
XIII — Fonction racine carrée
- Méthode 14 — Équations et inéquations avec une racine carrée

Définition 8 — Fonction carré

La fonction carré est définie sur $R$ par $f (x) = x^{2}$ . Sa courbe est une parabole de sommet l'origine $O$ .

Propriété 5 — Carré

Décroissante sur $] - \infty; 0]$ , croissante sur $[0; + \infty [$ . Un carré est toujours positif ou nul, et deux nombres opposés ont le même carré : $(- 3)^{2} = 3^{2} = 9$ .

Propriété 6 — Équation $x^{2} = k$

Si $k > 0$ : deux solutions, $- k$ et $k$ . Si $k = 0$ : une solution, $0$ . Si $k < 0$ : aucune solution.

Méthode 11 — Résoudre une équation en isolant $x^{2}$

Exemples corrigés

Résoudre dans $R$ les équations suivantes.

a)
$x^{2} = 16$
b)
$5 x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 16$
c)
$3 x^{2} + 8 = 5$

Correction

S = {- 4; 4}

16 > 0

: deux solutions ; on n'oublie pas

- 4

, car

(- 4)^{2} = 16

5 x^{2} + 1

= 2 x^{2} + 16

5 x^{2} - 2 x^{2}

= 16 - 1

on isole

x^{2}

comme on isole

x

3 x^{2}

= 15

x^{2}

= 5

S = {- 5; 5}

5 > 0

: deux solutions

3 x^{2} + 8

= 5

3 x^{2}

= - 3

x^{2}

= - 1

S = \emptyset

un carré n'est jamais négatif

À vous de jouer

Résoudre dans $R$ :

x^{2} = 64

4 x^{2} - 5 = 2 x^{2} + 9

3 x^{2} + 1 = 13

2 x^{2} + 9 = 1

Correction

$x^{2} = 64$

S = {- 8; 8}

64 > 0

: deux solutions ;

(- 8)^{2} = 64

$4 x^{2} - 5 = 2 x^{2} + 9$

4 x^{2} - 5

= 2 x^{2} + 9

4 x^{2} - 2 x^{2}

= 9 + 5

on isole

x^{2}

comme on isole

x

2 x^{2}

= 14

x^{2}

= 7

S = {- 7; 7}

7 > 0

: deux solutions

$3 x^{2} + 1 = 13$

3 x^{2} + 1

= 13

3 x^{2}

= 12

x^{2}

= 4

S = {- 2; 2}

$2 x^{2} + 9 = 1$

2 x^{2} + 9

= 1

2 x^{2}

= - 8

x^{2}

= - 4

S = \emptyset

un carré n'est jamais négatif

À faire : exercices 38 à 41

Exercice 38 — Images et antécédents par la fonction carré

1)
Calculer le carré de $- 4$ , de $7$ , de $- 0, 2$ , puis de $20$ .
2)
Donner les antécédents par la fonction carré de $25$ , de $0$ , de $- 9$ , puis de $11$ .

Corrigé

1°)
$16$ ; $49$ ; $0, 04$ ; $400$
2°)
$- 5 et 5$ ; $0$ ; $aucun$ ; $- 11 et 11$

Un carré n'est jamais négatif : $- 9$ n'a pas d'antécédent.

Exercice 39 — Lecture graphique avec la fonction carré

On considère la fonction carré $f (x) = x^{2}$ , pour $x$ dans $[- 2; 2]$ .

1)
Compléter le tableau de valeurs.

$x$ $- 2$ $- 1, 5$ $- 1$ $- 0, 5$ $0$ $0, 5$ $1$ $1, 5$ $2$
$f (x)$
2)
Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormé (unité : 1 cm).
3)
Résoudre graphiquement :
a) $x^{2} = 1$ b) $x^{2} = 4$ c) $x^{2} = - 1$
4)
Résoudre graphiquement, en donnant les solutions sous forme d'intervalles :
a) $x^{2} ⩽ 1$ b) $x^{2} > 1$ c) $x^{2} < 4$

Corrigé

1°)
$x$ $- 2$ $- 1, 5$ $- 1$ $- 0, 5$ $0$ $0, 5$ $1$ $1, 5$ $2$
$f (x)$ $4$ $2, 25$ $1$ $0, 25$ $0$ $0, 25$ $1$ $2, 25$ $4$
2°)
Courbe ci-dessous.
3°)
a) $S = {- 1; 1}$ b) $S = {- 2; 2}$ c) $S = \emptyset$ : la courbe ne descend pas sous l'axe des abscisses.
4°)
a) Courbe sur ou sous la droite $y = 1$ : $S = [- 1; 1]$
b) $S = [- 2; - 1 [\cup] 1; 2]$
c) $S =] - 2; 2 [$

On retrouve la propriété 6 : $x^{2} = 1$ a deux solutions opposées. En 4) b), les bornes $- 2$ et $2$ sont comprises : ce sont les bornes de l'intervalle d'étude.

Exercice 40 — Se ramener à $x^{2} = k$

1)
Montrer que l'équation $5 x^{2} - 4 = - x^{2} + 14$ équivaut à $x^{2} = 3$ .
2)
Résoudre dans $R$ l'équation $x^{2} = 3$ .
3)
En déduire les solutions de $5 x^{2} - 4 = - x^{2} + 14$ .

Corrigé

1°)
$5 x^{2} + x^{2} = 14 + 4$ , soit $6 x^{2} = 18$ et $x^{2} = 3$ .
2°)
$3 > 0$ : deux solutions, $- 3$ et $3$ .
3°)
$S = {- 3; 3}$

Exercice 41 — Équations avec des carrés

Résoudre dans $R$ :

a)
$3 x^{2} - 8 = x^{2} + 10$
b)
$6 x^{2} - 1 = 8 x^{2} - 11$
c)
$2 x^{2} + 7 = 3$

Corrigé

a)
$2 x^{2} = 18$ , $x^{2} = 9$ : $S = {- 3; 3}$
b)
$- 2 x^{2} = - 10$ , $x^{2} = 5$ : $S = {- 5; 5}$
c)
$2 x^{2} = - 4$ , $x^{2} = - 2$ : $S = \emptyset$

$x$	$- 2$	$- 1, 5$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$
$f (x)$	$4$	$2, 25$	$1$	$0, 25$	$0$	$0, 25$	$1$	$2, 25$	$4$

Chapitre 2 — Fonctions · coursX Fonction carré

Définition 8 — Fonction carré

Propriété 5 — Carré

Propriété 6 — Équation x2=k

Méthode 11 — Résoudre une équation en isolant x2

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 38 — Images et antécédents par la fonction carré

Exercice 39 — Lecture graphique avec la fonction carré

Exercice 40 — Se ramener à x2=k

Exercice 41 — Équations avec des carrés

Propriété 6 — Équation $x^{2} = k$

Méthode 11 — Résoudre une équation en isolant $x^{2}$

Exercice 40 — Se ramener à $x^{2} = k$