Chapitre 2 — Fonctions · coursIII Tableau de valeurs, courbe et lecture graphique

Sommaire du chapitre

I — Antécédent et image
- Méthode 1 — Calculer une image, tester un antécédent
II — Ensemble de définition
- Méthode 2 — Déterminer un ensemble de définition
III — Tableau de valeurs, courbe et lecture graphique
- Méthode 3 — Tracer une courbe à partir d'un tableau de valeurs
- Méthode 4 — Lire une image, lire des antécédents
IV — Tableau de variations d'une fonction
- Méthode 5 — Dresser un tableau de variations à partir d'une courbe
V — Fonctions affines — équation réduite $y = m x + p$
- Méthode 6 — Déterminer une équation réduite
VI — Tracer la droite d'équation $y = m x + p$
- Méthode 7 — Tracer une droite, lire son équation
VII — Équation cartésienne d'une droite
- Méthode 8 — Trouver une équation cartésienne
VIII — Tracer une droite d'équation $a x + b y + c = 0$
- Méthode 9 — Tracer une droite d'équation cartésienne
IX — Passer d'une forme à l'autre
- Méthode 10 — Passer d'une forme à l'autre
X — Fonction carré
- Méthode 11 — Résoudre une équation en isolant $x^{2}$
XI — Fonction cube
- Méthode 12 — Résoudre une équation en isolant $x^{3}$
XII — Fonction inverse
- Méthode 13 — Équations et inéquations avec un inverse
XIII — Fonction racine carrée
- Méthode 14 — Équations et inéquations avec une racine carrée

Définition 3 — Courbe représentative

La courbe représentative $C_{f}$ de $f$ est formée des points $M (x; f (x))$ . Autrement dit, le point $M (x; y)$ est sur $C_{f}$ si et seulement si $y = f (x)$ .

Méthode 3 — Tracer une courbe à partir d'un tableau de valeurs

Exemples corrigés

Tracer la courbe de la fonction $f$ définie sur $[- 2; 4]$ par $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Correction

Résolution

On calcule des images :

un tableau de valeurs

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

On place les points

(x; f (x))

, puis on les relie par une courbe régulière, sans règle.

par exemple

(1; - 4)

, le point le plus bas

Méthode 4 — Lire une image, lire des antécédents

Exemples corrigés

Sur la courbe de la méthode 3 :

a)
lire l'image de $1$ ;
b)
lire les antécédents de $0$ .

Correction

f (1) = - 4

1

sur l'axe des abscisses, on va verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée (en vert)

Les antécédents de

0

sont

- 1

3

on trace l'horizontale

y = 0

et on lit les abscisses de tous les points de la courbe qui sont dessus (en rouge)

À vous de jouer

Sur la même courbe, lire :

1°)
l'image de $- 2$ , puis celle de $2$ ;
2°)
les antécédents de $- 3$ ;
3°)
les antécédents de $- 4$ , puis ceux de $- 5$ .

Correction

1°)

f (- 2) = 5

f (2) = - 3

verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée

2°)

L'horizontale

y = - 3

coupe la courbe aux abscisses

0

2

: les antécédents de

- 3

sont

0

2

on lit les abscisses de tous les points communs

3°)

L'horizontale

y = - 4

touche la courbe en un seul point, d'abscisse

1

- 4

a un seul antécédent,

1

c'est le point le plus bas

L'horizontale

y = - 5

ne coupe pas la courbe :

- 5

n'a aucun antécédent.

la courbe ne descend pas jusque-là

À faire : exercices 9 à 13

Exercice 9 — Première lecture graphique

Voici la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[- 2; 4]$ .

Compléter par lecture graphique.

a)
$f (0) = \dots$ et $f (2) = \dots$
b)
L'image de $- 1$ par $f$ est $\dots$
c)
$4$ a pour antécédent $\dots$
d)
Les antécédents de $0$ par $f$ sont $\dots$ et $\dots$
e)
Le nombre $5$ a-t-il un antécédent par $f$ ? Justifier.

Corrigé

a)
$f (0) = 3$ et $f (2) = 3$
b)
L'image de $- 1$ est $0$ .
c)
$4$ a pour antécédent $1$ (le point le plus haut).
d)
Les antécédents de $0$ sont $- 1$ et $3$ .
e)
$Non$ : la courbe ne monte pas au-dessus de $4$ ; la droite $y = 5$ ne la coupe pas.

Image : on part de l'axe des abscisses. Antécédents : on part de l'axe des ordonnées et on lit toutes les abscisses des points d'intersection.

Exercice 10 — Lire un tableau de valeurs

Voici un tableau de valeurs d'une fonction $f$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$4$	$2$	$- 1$	$- 3$	$1$

1)
Donner l'image de $- 1$ , de $1$ , puis de $- 2$ .
2)
Le nombre $1$ est-il un antécédent de $- 3$ ?
3)
Donner un antécédent de $1$ .

Corrigé

1°)
$f (- 1) = 2$ ; $f (1) = - 3$ ; $f (- 2) = 4$
2°)
$f (1) = - 3$ : $oui$ .
3°)
$f (2) = 1$ : $2$ est un antécédent de $1$ .

Ligne du haut : les nombres $x$ ; ligne du bas : leurs images.

Exercice 11 — Images et antécédents dans un tableau

Voici un tableau de valeurs d'une fonction $g$ .

$x$	$- 3$	$- 1$	$2$	$4$	$6$
$g (x)$	$- 4$	$6$	$0$	$- 1$	$- 4$

1)
Donner l'image de $4$ , de $2$ , puis de $- 1$ .
2)
Citer un antécédent de $6$ , de $- 1$ , puis de $- 4$ .
3)
Pourquoi dit-on « un antécédent » et non « l'antécédent » ?

Corrigé

1°)
$g (4) = - 1$ ; $g (2) = 0$ ; $g (- 1) = 6$
2°)
$6$ : $- 1$ ; $- 1$ : $4$ ; $- 4$ : $- 3$ ou $6$
3°)
$- 4$ a deux antécédents dans ce tableau ( $- 3$ et $6$ ) : on ne peut pas parler de « l'» antécédent.

Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents.

Exercice 12 — Lecture graphique complète

Voici la courbe d'une fonction $f$ .

Déterminer, par lecture graphique :

a)
l'ensemble de définition de $f$ ;
b)
l'image de $3$ ;
c)
l'image de $- 1$ ;
d)
$f (1)$ et $f (- 4)$ ;
e)
les antécédents de $2$ ;
f)
les antécédents de $1$ ;
g)
les antécédents de $0$ ;
h)
les antécédents de $- 1$ ;
i)
les antécédents de $3$ ;
j)
le maximum et le minimum de $f$ , et où ils sont atteints.

Corrigé

a)
$[- 4; 5]$
b)
$f (3) = - 1$
c)
$f (- 1) = 1$
d)
$f (1) = 1$ ; $f (- 4) = - 2$
e)
$0$
f)
$- 1; 1; 5$
g)
$- 2; 2; 4$
h)
$- 3; 3$
i)
$aucun$

j)
Maximum $2$ , atteint en $x = 0$ ; minimum $- 2$ , atteint en $x = - 4$ .

Pour $1$ : la droite $y = 1$ coupe la courbe en trois points ; ne pas oublier celui d'abscisse $5$ , au bout de la courbe. Le minimum est atteint à une borne.

Exercice 13 — Deux expressions, une seule fonction

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par

f (x) = (x + 4) (3 - x) + x^{2} - 5

et

g (x) = 7 - x .

1)
Calculer $f (2)$ et $g (2)$ .
2)
Choisir un autre nombre et calculer son image par $f$ , puis par $g$ .
3)
Démontrer que tout nombre a la même image par $f$ et par $g$ .

Corrigé

1°)
$f (2) = 6 \times 1 + 4 - 5 = 5$ et $g (2) = 5$
2°)
Par exemple pour $x = 0$ : $f (0) = 12 - 5 = 7$ et $g (0) = 7$ .
3°)
On développe :

$f (x)$
$= 3 x - x^{2} + 12 - 4 x + x^{2} - 5$
$f (x)$
$= - x + 7$

donc $f (x) = g (x)$ pour tout nombre $x$ .

Des exemples (questions 1 et 2) ne démontrent rien : seul le calcul de la question 3 vaut pour tous les nombres.