Chapitre 2 — Fonctions · coursVII Équation cartésienne d'une droite

Sommaire du chapitre

I — Antécédent et image
- Méthode 1 — Calculer une image, tester un antécédent
II — Ensemble de définition
- Méthode 2 — Déterminer un ensemble de définition
III — Tableau de valeurs, courbe et lecture graphique
- Méthode 3 — Tracer une courbe à partir d'un tableau de valeurs
- Méthode 4 — Lire une image, lire des antécédents
IV — Tableau de variations d'une fonction
- Méthode 5 — Dresser un tableau de variations à partir d'une courbe
V — Fonctions affines — équation réduite $y = m x + p$
- Méthode 6 — Déterminer une équation réduite
VI — Tracer la droite d'équation $y = m x + p$
- Méthode 7 — Tracer une droite, lire son équation
VII — Équation cartésienne d'une droite
- Méthode 8 — Trouver une équation cartésienne
VIII — Tracer une droite d'équation $a x + b y + c = 0$
- Méthode 9 — Tracer une droite d'équation cartésienne
IX — Passer d'une forme à l'autre
- Méthode 10 — Passer d'une forme à l'autre
X — Fonction carré
- Méthode 11 — Résoudre une équation en isolant $x^{2}$
XI — Fonction cube
- Méthode 12 — Résoudre une équation en isolant $x^{3}$
XII — Fonction inverse
- Méthode 13 — Équations et inéquations avec un inverse
XIII — Fonction racine carrée
- Méthode 14 — Équations et inéquations avec une racine carrée

Définition 7 — Équation cartésienne

Toute droite a une équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ , avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls : le point $M (x; y)$ est sur la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'égalité.

Propriété 3 — Vecteur directeur

La droite d'équation $a x + b y + c = 0$ a pour vecteur directeur $u (- b; a)$ .

Méthode 8 — Trouver une équation cartésienne

Exemples corrigés

a)
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ qui passe par $A (1; 4)$ et de vecteur directeur $u (3; 2)$ .
b)
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BC)$ , avec $B (- 2; 1)$ et $C (3; - 3)$ .

Correction

u (3; 2) = u (- b; a)

b = - 3

a = 2

d

2 x - 3 y + c = 0

on identifie les coordonnées de

u

(- b; a)

2 \times 1 - 3 \times 4 + c

= 0

- 10 + c

= 0

A

est sur

d

: on remplace

x

y

c

= 10

d

2 x - 3 y + 10 = 0

BC (x_{C} - x_{B}; y_{C} - y_{B})

= BC (3 - (- 2); - 3 - 1)

vecteur directeur : « arrivée moins départ »

BC (x_{C} - x_{B}; y_{C} - y_{B})

= BC (5; - 4)

b = - 5

a = - 4

- 4 x - 5 y + c = 0

(5; - 4) = (- b; a)

- 4 \times (- 2) - 5 \times 1 + c

= 0

3 + c

= 0

B

est sur la droite

c

= - 3

(BC)

- 4 x - 5 y - 3 = 0

, ou encore

4 x + 5 y + 3 = 0

contrôle avec

C

12 - 15 + 3 = 0

À vous de jouer

1°)
Déterminer une équation cartésienne de la droite qui passe par $A (2; - 1)$ et de vecteur directeur $u (1; 4)$ .
2°)
Déterminer une équation cartésienne de $(EF)$ , avec $E (1; 2)$ et $F (3; 8)$ .

Correction

1°)

u (1; 4) = u (- b; a)

b = - 1

a = 4

.
Équation :

4 x - y + c = 0

on identifie les coordonnées de

u

(- b; a)

4 \times 2 - (- 1) + c

= 0

9 + c

= 0

A

est sur la droite : on remplace

x

y

c

= - 9

La droite a pour équation

4 x - y - 9 = 0

2°)

EF (x_{F} - x_{E}; y_{F} - y_{E})

= EF (3 - 1; 8 - 2)

« arrivée moins départ »

EF (x_{F} - x_{E}; y_{F} - y_{E})

= EF (2; 6)

b = - 2

a = 6

6 x - 2 y + c = 0

(2; 6) = (- b; a)

6 \times 1 - 2 \times 2 + c

= 0

2 + c

= 0

E

est sur la droite

c

= - 2

(EF)

6 x - 2 y - 2 = 0

, ou encore

3 x - y - 1 = 0

on peut tout diviser par

2

; contrôle avec

F

9 - 8 - 1 = 0

À faire : exercices 28 à 30

Exercice 28 — Équation cartésienne de $(A B)$ (1)

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(A B)$ , avec $A (2; 3)$ et $B (5; 1)$ . Contrôler le résultat avec les deux points.

Corrigé

$A B (5 - 2; 1 - 3)$ , soit $A B (3; - 2)$ . Avec $u (- b; a)$ : $b = - 3$ et $a = - 2$ , d'où $- 2 x - 3 y + c = 0$ .

Avec $A$ : $- 4 - 9 + c = 0$ , $c = 13$ . $- 2 x - 3 y + 13 = 0$ ou $2 x + 3 y - 13 = 0$

Contrôle : $4 + 9 - 13 = 0$ et $10 + 3 - 13 = 0$ .

Dans $u (- b; a)$ , la première coordonnée donne $- b$ : attention au signe de $b$ .

Exercice 29 — Équation cartésienne de $(A B)$ (2)

Même consigne avec $A (- 3; - 1)$ et $B (5; 3)$ .

Corrigé

$A B (8; 4)$ : $b = - 8$ et $a = 4$ , d'où $4 x - 8 y + c = 0$ . Avec $A$ : $- 12 + 8 + c = 0$ , $c = 4$ .

$4 x - 8 y + 4 = 0$ , soit, en divisant par $4$ : $x - 2 y + 1 = 0$ .

Contrôle : $- 3 + 2 + 1 = 0$ et $5 - 6 + 1 = 0$ .

Exercice 30 — Lire une équation cartésienne

On considère la droite $d$ d'équation cartésienne $3 x - 4 y + 5 = 0$ .

1)
Les points $A (1; 2)$ , $B (- 3; - 1)$ et $C (2; 3)$ sont-ils sur $d$ ? Justifier par un calcul.
2)
Trouver l'ordonnée du point de $d$ d'abscisse $5$ .
3)
Trouver l'abscisse du point de $d$ d'ordonnée $- 4$ .
4)
Donner un vecteur directeur de $d$ .

Corrigé

1°)
$A$ : $3 - 8 + 5 = 0$ : $A \in d$ .
$B$ : $- 9 + 4 + 5 = 0$ : $B \in d$ .
$C$ : $6 - 12 + 5 = - 1 \neq = 0$ : $C \in / d$ .
2°)
$15 - 4 y + 5 = 0$ , soit $4 y = 20$ : $y = 5$ .
3°)
$3 x + 16 + 5 = 0$ , soit $3 x = - 21$ : $x = - 7$ .
4°)
$u (- b; a)$ avec $a = 3$ et $b = - 4$ : $u (4; 3)$ .

Chapitre 2 — Fonctions · coursVII Équation cartésienne d'une droite

Définition 7 — Équation cartésienne

Propriété 3 — Vecteur directeur

Méthode 8 — Trouver une équation cartésienne

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 28 — Équation cartésienne de (AB) (1)

Exercice 29 — Équation cartésienne de (AB) (2)

Exercice 30 — Lire une équation cartésienne

Exercice 28 — Équation cartésienne de $(A B)$ (1)

Exercice 29 — Équation cartésienne de $(A B)$ (2)