Chapitre 2 — Fonctions · coursIV Tableau de variations d'une fonction

Sommaire du chapitre

I — Antécédent et image
- Méthode 1 — Calculer une image, tester un antécédent
II — Ensemble de définition
- Méthode 2 — Déterminer un ensemble de définition
III — Tableau de valeurs, courbe et lecture graphique
- Méthode 3 — Tracer une courbe à partir d'un tableau de valeurs
- Méthode 4 — Lire une image, lire des antécédents
IV — Tableau de variations d'une fonction
- Méthode 5 — Dresser un tableau de variations à partir d'une courbe
V — Fonctions affines — équation réduite $y = m x + p$
- Méthode 6 — Déterminer une équation réduite
VI — Tracer la droite d'équation $y = m x + p$
- Méthode 7 — Tracer une droite, lire son équation
VII — Équation cartésienne d'une droite
- Méthode 8 — Trouver une équation cartésienne
VIII — Tracer une droite d'équation $a x + b y + c = 0$
- Méthode 9 — Tracer une droite d'équation cartésienne
IX — Passer d'une forme à l'autre
- Méthode 10 — Passer d'une forme à l'autre
X — Fonction carré
- Méthode 11 — Résoudre une équation en isolant $x^{2}$
XI — Fonction cube
- Méthode 12 — Résoudre une équation en isolant $x^{3}$
XII — Fonction inverse
- Méthode 13 — Équations et inéquations avec un inverse
XIII — Fonction racine carrée
- Méthode 14 — Équations et inéquations avec une racine carrée

Définition 4 — Fonction croissante, décroissante

Sur un intervalle $I$ :

$f$ est croissante si, quand $x$ augmente, $f (x)$ augmente : la courbe monte ; l'ordre est conservé ;
$f$ est décroissante si, quand $x$ augmente, $f (x)$ diminue : la courbe descend ; l'ordre est renversé.

$f$ croissante

$x_{1} < x_{2}$ donne $f (x_{1}) < f (x_{2})$

$f$ décroissante

$x_{1} < x_{2}$ donne $f (x_{1}) > f (x_{2})$

Définition 5 — Tableau de variations, extremums

Le tableau de variations résume le sens de variation : une flèche qui monte quand $f$ est croissante, une flèche qui descend quand elle est décroissante, et les valeurs de $f$ au bout de chaque flèche.

Sur un intervalle, le maximum de $f$ est la plus grande valeur de $f (x)$ , le minimum la plus petite. On dit toujours en quel $x$ il est atteint.

Méthode 5 — Dresser un tableau de variations à partir d'une courbe

Exemples corrigés

La fonction $f$ est définie sur $[- 4; 4]$ par sa courbe ci-dessous. Dresser son tableau de variations, puis donner son maximum et son minimum.

Correction

Résolution

La courbe monte de

x = - 4

x = - 2

, descend jusqu'à

x = 2

, puis remonte jusqu'à

x = 4

on repère où la courbe change de sens

f (- 4) = - 3

;

f (- 2) = 3

;

f (2) = - 2

;

f (4) = 2

on lit les valeurs aux bornes et aux changements de sens

Maximum :

3

, atteint en

x = - 2

.
Minimum :

- 3

, atteint en

x = - 4

on compare toutes les valeurs du bas des flèches ; le minimum peut être à une borne

À vous de jouer

La fonction $g$ est définie sur $[- 5; 3]$ par sa courbe ci-dessous.

1°)
Dresser le tableau de variations de $g$ .
2°)
Donner le maximum et le minimum de $g$ .

Correction

1°)

g

descend de

x = - 5

x = - 1

, puis monte jusqu'à

x = 3

on repère les changements de sens

2°)

Maximum :

4

, atteint en

x = - 5

.
Minimum :

- 2

, atteint en

x = - 1

on compare

4

3

en haut des flèches : le maximum est à une borne

À faire : exercices 14 à 19

Exercice 14 — De la courbe au tableau

La fonction $f$ est définie sur $[- 3; 5]$ par sa courbe ci-dessous. Dresser son tableau de variations, puis donner son maximum et son minimum.

Corrigé

$f$ est décroissante sur $[- 3; 1]$ , puis croissante sur $[1; 5]$ .

Maximum $4$ , atteint en $x = 5$ ; minimum $- 2$ , atteint en $x = 1$ .

Le maximum est la plus grande des deux valeurs aux bornes : $f (5) = 4 > f (- 3) = 3$ .

Exercice 15 — Décrire puis résumer

Voici la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[- 3; 4]$ .

1)
Décrire par des phrases les variations de $f$ .
2)
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

1°)
$f$ est croissante sur $[- 3; - 1]$ , décroissante sur $[- 1; 2]$ , puis croissante sur $[2; 4]$ .
2°)

Exercice 16 — Du tableau à la courbe

Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ .

1)
Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
2)
Tracer dans un repère une courbe qui peut représenter $f$ .

Corrigé

1°)
$f$ est définie sur $[- 4; 3]$ .
2°)
Une courbe possible ci-contre : elle part de $(- 4; - 2)$ , monte jusqu'à $(0; 3)$ , puis descend jusqu'à $(3; - 1)$ .

Exercice 17 — Lire un tableau de variations

Voici le tableau de variations d'une fonction $g$ .

1)
Quel est l'ensemble de définition de $g$ ?
2)
Décrire par des phrases les variations de $g$ .
3)
Donner le maximum et le minimum de $g$ , et où ils sont atteints.
4)
Tracer dans un repère une courbe qui peut représenter $g$ .

Corrigé

1°)
$[- 5; 4]$
2°)
$g$ est décroissante sur $[- 5; - 2]$ , croissante sur $[- 2; 1]$ , puis décroissante sur $[1; 4]$ .
3°)
Maximum $4$ , atteint en $x = 1$ ; minimum $- 2$ , atteint en $x = - 2$ .
4°)
Une courbe possible :

On compare les valeurs aux bornes aux extremums intérieurs : $g (- 5) = 3 < 4$ et $g (4) = 0 > - 2$ .

Exercice 18 — Construire un tableau à partir d'un texte

La fonction $f$ est définie sur $[- 4; 5]$ . On sait que :

$f$ est croissante sur $[- 4; 1]$ et sur $[3; 5]$ ;
$f$ est décroissante sur $[1; 3]$ ;
$f (- 4) = - 3$ ; $f (1) = f (5) = 2$ ; $f (3) = - 1$ .

1)
Dresser le tableau de variations de $f$ .
2)
Tracer dans un repère une courbe qui peut représenter $f$ .

Corrigé

1°)
2°)
Une courbe possible :

Exercice 19 — Résolution graphique

Voici la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[0; 10]$ .

1)
Résoudre graphiquement :
1. a)
  $f (x) = 2$
2. b)
  $f (x) = 1$
3. c)
  $f (x) = - 2$
4. d)
  $f (x) = 4$
5. e)
  $f (x) = 0$
2)
Combien l'équation $f (x) = - 1$ a-t-elle de solutions ?
3)
Résoudre graphiquement, en donnant les solutions sous forme d'intervalles :
1. a)
  $f (x) > - 2$
2. b)
  $f (x) < 1$
3. c)
  $f (x) ⩾ 1$
4. d)
  $f (x) ⩾ 0$

Corrigé

$f (x) = k$ : abscisses des points de la courbe situés sur la droite $y = k$ ; $f (x) > k$ : abscisses des points situés au-dessus.

1°)
1. a)
  $S = {0; 8; 10}$
2. b)
  $S = {1; 7}$
3. c)
  $S = {4}$
4. d)
  $S = \emptyset$ : le maximum de $f$ est $3$ .
5. e)
  $S = {2; 6}$
2°)
La droite $y = - 1$ coupe la courbe en deux points, d'abscisses $3$ et $5$ : $deux solutions$ .
3°)
1. a)
  $S = [0; 4 [\cup] 4; 10]$
2. b)
  $S =] 1; 7 [$
3. c)
  $S = [0; 1] \cup [7; 10]$
4. d)
  $S = [0; 2] \cup [6; 10]$

En 3) a), seul $4$ est exclu : $f (4) = - 2$ n'est pas strictement supérieur à $- 2$ .