Chapitre 2 — Fonctions · coursXII Fonction inverse

Sommaire du chapitre

I — Antécédent et image
- Méthode 1 — Calculer une image, tester un antécédent
II — Ensemble de définition
- Méthode 2 — Déterminer un ensemble de définition
III — Tableau de valeurs, courbe et lecture graphique
- Méthode 3 — Tracer une courbe à partir d'un tableau de valeurs
- Méthode 4 — Lire une image, lire des antécédents
IV — Tableau de variations d'une fonction
- Méthode 5 — Dresser un tableau de variations à partir d'une courbe
V — Fonctions affines — équation réduite $y = m x + p$
- Méthode 6 — Déterminer une équation réduite
VI — Tracer la droite d'équation $y = m x + p$
- Méthode 7 — Tracer une droite, lire son équation
VII — Équation cartésienne d'une droite
- Méthode 8 — Trouver une équation cartésienne
VIII — Tracer une droite d'équation $a x + b y + c = 0$
- Méthode 9 — Tracer une droite d'équation cartésienne
IX — Passer d'une forme à l'autre
- Méthode 10 — Passer d'une forme à l'autre
X — Fonction carré
- Méthode 11 — Résoudre une équation en isolant $x^{2}$
XI — Fonction cube
- Méthode 12 — Résoudre une équation en isolant $x^{3}$
XII — Fonction inverse
- Méthode 13 — Équations et inéquations avec un inverse
XIII — Fonction racine carrée
- Méthode 14 — Équations et inéquations avec une racine carrée

Définition 10 — Fonction inverse

La fonction inverse est définie pour tout $x \neq = 0$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ : $D_{f} = R ∖ {0}$ . Sa courbe est une hyperbole, de centre de symétrie $O$ .

Propriété 8 — Inverse

La fonction inverse est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et décroissante sur $] 0; + \infty [$ ; $\frac{1}{x}$ a le signe de $x$ .

Elle n'est pas décroissante sur $R ∖ {0}$ tout entier : $- 1 < 1$ et $\frac{1}{- 1} < \frac{1}{1}$ . On sépare toujours les deux intervalles.

Méthode 13 — Équations et inéquations avec un inverse

Exemples corrigés

Résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{1}{x} = 4$
b)
$\frac{6}{2 x - 4} = 3$
c)
$\frac{1}{x} ⩽ 3$

Correction

\frac{1}{x}

= 4

1

= 4 x

x \neq = 0

: on multiplie les deux membres par

x

x

= \frac{1}{4}

S = {\frac{1}{4}}

Valeur interdite :

2 x - 4 = 0

pour

x = 2

on la cherche d'abord

\frac{6}{2 x - 4}

= 3

6

= 3 (2 x - 4)

pour

x \neq = 2

, on multiplie par

2 x - 4

6

= 6 x - 12

x

= 3

S = {3}

3

n'est pas la valeur interdite

\frac{1}{x}

⩽ 3

\frac{1}{x} - 3

⩽ 0

on ne multiplie pas par

x

: son signe est inconnu

\frac{1 - 3 x}{x}

⩽ 0

un seul quotient (chapitre 1)

S =] - \infty; 0 [\cup [\frac{1}{3}; + \infty [

0

exclu (interdit) ;

\frac{1}{3}

compris

À vous de jouer

Résoudre dans $R$ :

\frac{1}{x} = - 5

\frac{4}{- 2 x + 6} = 2

\frac{1}{x} > 2

Correction

$\frac{1}{x} = - 5$

\frac{1}{x}

= - 5

1

= - 5 x

x \neq = 0

: on multiplie les deux membres par

x

x

= - \frac{1}{5}

S = {- \frac{1}{5}}

$\frac{4}{- 2 x + 6} = 2$

Valeur interdite :

- 2 x + 6 = 0

pour

x = 3

on la cherche d'abord

\frac{4}{- 2 x + 6}

= 2

4

= 2 (- 2 x + 6)

pour

x \neq = 3

, on multiplie par

- 2 x + 6

4

= - 4 x + 12

4 x

= 8

x

= 2

S = {2}

2

n'est pas la valeur interdite

$\frac{1}{x} > 2$

\frac{1}{x}

> 2

\frac{1}{x} - 2

> 0

on ne multiplie pas par

x

: son signe est inconnu

\frac{1 - 2 x}{x}

> 0

un seul quotient

S =] 0; \frac{1}{2} [

on lit les

+

;

0

interdit,

\frac{1}{2}

exclu (inégalité stricte)

À faire : exercices 46 à 50

Exercice 46 — Lecture graphique sur l'hyperbole

On considère la fonction inverse $f (x) = \frac{1}{x}$ , pour $x$ dans $[- 4; 4]$ , sauf $0$ (valeur interdite).

1)
Compléter le tableau de valeurs.

$x$ $- 4$ $- 2$ $- 1$ $- 0, 5$ $0, 5$ $1$ $2$ $4$
$f (x)$
2)
Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormé (unité : 1 cm), puis les droites d'équations $y = 1$ et $y = - 1$ .
3)
Résoudre graphiquement $\frac{1}{x} = 1$ , puis $\frac{1}{x} = - 1$ .
4)
Résoudre graphiquement $\frac{1}{x} < 1$ , puis $\frac{1}{x} ⩾ - 1$ .

Corrigé

1°)
$x$ $- 4$ $- 2$ $- 1$ $- 0, 5$ $0, 5$ $1$ $2$ $4$
$f (x)$ $- 0, 25$ $- 0, 5$ $- 1$ $- 2$ $2$ $1$ $0, 5$ $0, 25$
2°)
Courbe ci-dessous.
3°)
$S = {1}$ et $S = {- 1}$
4°)
Courbe au-dessous de $y = 1$ : $S = [- 4; 0 [\cup] 1; 4]$
Courbe sur ou au-dessus de $y = - 1$ : $S = [- 4; - 1] \cup] 0; 4]$

Pour $1/ x < 1$ , toute la branche de gauche convient : pour $x < 0$ , $\frac{1}{x}$ est négatif, donc inférieur à $1$ . Le $0$ est toujours exclu : valeur interdite.

Exercice 47 — Équations et inéquations (1)

Résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{1}{x} = 5$
b)
$\frac{1}{x} ⩽ 5$
c)
$\frac{1}{x} > 5$

Corrigé

On ne multiplie pas par $x$ , dont le signe est inconnu : on se ramène à un quotient comparé à $0$ .

a) $x \neq = 0$ : $1 = 5 x$ : $S = {\frac{1}{5}}$

b) $\frac{1}{x} - 5 ⩽ 0$ , soit $\frac{1 - 5 x}{x} ⩽ 0$ . $S =] - \infty; 0 [\cup [\frac{1}{5}; + \infty [$

c) Même tableau, quotient $> 0$ : $S =] 0; \frac{1}{5} [$

Exercice 48 — Équations et inéquations (2)

Résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{1}{x} = - 2$
b)
$\frac{1}{x} ⩽ - 2$
c)
$\frac{1}{x} < - 2$

Corrigé

a) $1 = - 2 x$ : $S = {- \frac{1}{2}}$

b) $\frac{1}{x} + 2 ⩽ 0$ , soit $\frac{1 + 2 x}{x} ⩽ 0$ ; numérateur nul en $- \frac{1}{2}$ , valeur interdite $0$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ :

$S = [- \frac{1}{2}; 0 [$

c) $S =] - \frac{1}{2}; 0 [$

Exercice 49 — Comparer deux inverses

Résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{4}$
b)
$\frac{1}{x} ⩾ \frac{3}{5}$
c)
$\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$

Corrigé

a)
$\frac{1}{x} - \frac{1}{4} ⩽ 0$ , soit $\frac{4 - x}{4 x} ⩽ 0$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ (interdite $0$ , numérateur nul en $4$ ) :
$S =] - \infty; 0 [\cup [4; + \infty [$
b)
$\frac{5 - 3 x}{5 x} ⩾ 0$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ (interdite $0$ , numérateur nul en $\frac{5}{3}$ ) :
$S =] 0; \frac{5}{3}]$
c)
$\frac{2 - x}{2 x} > 0$ : $S =] 0; 2 [$

Erreur fréquente en a) : « $x ⩾ 4$ » en inversant les deux membres. On oublie alors tous les $x$ négatifs.

Exercice 50 — Quotients du premier degré

Résoudre chaque équation, après avoir donné la valeur interdite.

a)
$\frac{6}{3 x - 3} = 2$
b)
$\frac{- 4}{- 2 x + 8} = 2$

Corrigé

a)
Interdite : $1$ ; $6 = 2 (3 x - 3)$ , soit $6 = 6 x - 6$ et $x = 2$ : $S = {2}$
b)
Interdite : $4$ ; $- 4 = 2 (- 2 x + 8)$ , soit $- 4 = - 4 x + 16$ et $4 x = 20$ : $S = {5}$

On vérifie que la solution n'est pas la valeur interdite.

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0, 5$	$1$	$2$	$4$
$f (x)$	$- 0, 25$	$- 0, 5$	$- 1$	$- 2$	$2$	$1$	$0, 5$	$0, 25$