Chapitre 2 — Fonctions · coursXIII Fonction racine carrée

Sommaire du chapitre

I — Antécédent et image
- Méthode 1 — Calculer une image, tester un antécédent
II — Ensemble de définition
- Méthode 2 — Déterminer un ensemble de définition
III — Tableau de valeurs, courbe et lecture graphique
- Méthode 3 — Tracer une courbe à partir d'un tableau de valeurs
- Méthode 4 — Lire une image, lire des antécédents
IV — Tableau de variations d'une fonction
- Méthode 5 — Dresser un tableau de variations à partir d'une courbe
V — Fonctions affines — équation réduite $y = m x + p$
- Méthode 6 — Déterminer une équation réduite
VI — Tracer la droite d'équation $y = m x + p$
- Méthode 7 — Tracer une droite, lire son équation
VII — Équation cartésienne d'une droite
- Méthode 8 — Trouver une équation cartésienne
VIII — Tracer une droite d'équation $a x + b y + c = 0$
- Méthode 9 — Tracer une droite d'équation cartésienne
IX — Passer d'une forme à l'autre
- Méthode 10 — Passer d'une forme à l'autre
X — Fonction carré
- Méthode 11 — Résoudre une équation en isolant $x^{2}$
XI — Fonction cube
- Méthode 12 — Résoudre une équation en isolant $x^{3}$
XII — Fonction inverse
- Méthode 13 — Équations et inéquations avec un inverse
XIII — Fonction racine carrée
- Méthode 14 — Équations et inéquations avec une racine carrée

Définition 11 — Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie pour tout $x ⩾ 0$ par $f (x) = x$ : $D_{f} = [0; + \infty [$ .

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$
$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

Propriété 9 — Racine carrée

La fonction racine carrée est croissante sur $[0; + \infty [$ , et toujours positive ou nulle. Pour des nombres positifs, elle conserve l'ordre : si $a ⩽ b$ , alors $a ⩽ b$ , et réciproquement.

Méthode 14 — Équations et inéquations avec une racine carrée

Exemples corrigés

Résoudre :

a)
$x = 5$
b)
$x = - 4$
c)
$x ⩽ 3$
d)
$x > 4$
e)
$\frac{18}{x} = 6$

Correction

x = 5

x = 25

S = {25}

x ⩾ 0

toujours ; les deux membres sont positifs, on élève au carré

S = \emptyset

une racine carrée n'est jamais négative (élever au carré donnerait

16

, qui ne convient pas)

x ⩽ 3

0 ⩽ x ⩽ 9

S = [0; 9]

la racine conserve l'ordre ; on n'oublie pas

x ⩾ 0

x > 4

x > 16

S =] 16; + \infty [

on élève au carré : l'ordre est conservé

\frac{18}{x}

= 6

18

= 6 x

x > 0

: le dénominateur n'est pas nul

x

= 3

x

= 9

S = {9}

À vous de jouer

Résoudre :

x = 7

x = - 9

x ⩽ 5

x ⩾ 2

\frac{10}{x} = 2

Correction

$x = 7$

x

= 7

x

= 49

les deux membres sont positifs : on élève au carré

S = {49}

$x = - 9$

S = \emptyset

une racine carrée n'est jamais négative

$x ⩽ 5$

0 ⩽ x ⩽ 25

, donc

S = [0; 25]

la racine conserve l'ordre ; on n'oublie pas

x ⩾ 0

$x ⩾ 2$

x ⩾ 4

, donc

S = [4; + \infty [

on élève au carré : l'ordre est conservé

$\frac{10}{x} = 2$

\frac{10}{x}

= 2

10

= 2 x

x > 0

: le dénominateur n'est pas nul

x

= 5

x

= 25

S = {25}

À faire : exercices 51 à 55

Exercice 51 — Lecture graphique avec la racine carrée (1)

On considère la fonction racine carrée $f (x) = x$ , pour $x$ dans $[0; 4]$ .

1)
Compléter le tableau de valeurs (arrondir au dixième).

$x$ $0$ $0, 5$ $1$ $2$ $3$ $4$
$f (x)$
2)
Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormé (unité : 2 cm).
3)
Résoudre graphiquement :
a) $x = 1$ b) $x = 2$ c) $x = 0$
4)
Résoudre graphiquement, en donnant les solutions sous forme d'intervalles :
a) $x ⩽ 1$ b) $x > 1$ c) $x < 2$

Corrigé

1°)
$x$ $0$ $0, 5$ $1$ $2$ $3$ $4$
$f (x)$ $0$ $0, 7$ $1$ $1, 4$ $1, 7$ $2$
2°)
Courbe ci-dessous.
3°)
a) $S = {1}$ b) $S = {4}$ c) $S = {0}$
4°)
a) $S = [0; 1]$ b) $S =] 1; 4]$ c) $S = [0; 4 [$

On retrouve la méthode 14 : $x = 2$ pour $x = 2^{2} = 4$ . La courbe commence en $0$ : jamais de $x$ négatif.

Exercice 52 — Lecture graphique avec la racine carrée (2)

On considère la fonction $g (x) = 2 x$ , pour $x$ dans $[0; 5]$ .

1)
Compléter le tableau de valeurs (arrondir au dixième).

$x$ $0$ $0, 5$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$g (x)$
2)
Tracer la courbe de $g$ dans un repère orthonormé (unité : 1 cm).
3)
Résoudre graphiquement $2 x = 2$ , puis $2 x = 4$ .
4)
Résoudre graphiquement $2 x > 2$ , puis $2 x ⩽ 4$ .
5)
Tracer dans le même repère la droite d'équation $y = x$ . Résoudre graphiquement $2 x = x$ , puis $2 x ⩾ x$ .

Corrigé

1°)
$x$ $0$ $0, 5$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$g (x)$ $0$ $1, 4$ $2$ $2, 8$ $3, 5$ $4$ $4, 5$
2°)
Courbe ci-dessous.
3°)
$S = {1}$ et $S = {4}$
4°)
$S =] 1; 5]$ et $S = [0; 4]$
5°)
La courbe et la droite se coupent en $(0; 0)$ et en $(4; 4)$ : $S = {0; 4}$ . La courbe est sur ou au-dessus de la droite pour $x$ entre $0$ et $4$ : $S = [0; 4]$

Exercice 53 — Isoler la racine carrée (1)

Résoudre :

a)
$5 x + 2 = 3 x + 10$
b)
$4 x - 3 = x + 6$
c)
$3 x + 8 = x + 2$
d)
$2 x + 7 = 5 x + 1$

On isole $x$ comme on isole $x^{2}$ (méthode 11), puis on résout $x = k$ (méthode 14).

Corrigé

On isole $x$ , puis : $x = k$ avec $k ⩾ 0$ donne $x = k^{2}$ ; avec $k < 0$ , pas de solution.

a)
$2 x = 8$ , soit $x = 4$ : $S = {16}$
b)
$3 x = 9$ , soit $x = 3$ : $S = {9}$
c)
$2 x = - 6$ , soit $x = - 3$ : $S = \emptyset$
d)
$- 3 x = - 6$ , soit $x = 2$ : $S = {4}$

On vérifie en remplaçant : en a), $5 \times 4 + 2 = 22$ et $3 \times 4 + 10 = 22$ .

Exercice 54 — Isoler la racine carrée (2)

Résoudre :

a)
$6 x - 1 = 2 x + 19$
b)
$7 x + 5 = 4 x - 1$
c)
$x + 11 = 4 x + 2$
d)
$2 x + 9 = 5 x + 9$

Corrigé

a)
$4 x = 20$ , soit $x = 5$ : $S = {25}$
b)
$3 x = - 6$ , soit $x = - 2$ : $S = \emptyset$
c)
$- 3 x = - 9$ , soit $x = 3$ : $S = {9}$
d)
$- 3 x = 0$ , soit $x = 0$ : $S = {0}$

En b), une racine carrée n'est jamais négative. En d), $x = 0$ a une solution : $0$ .

Exercice 55 — Inverses de carrés, de cubes et de racines

Résoudre chaque équation, après avoir donné les valeurs interdites.

a)
$\frac{4}{x ^{2}} = 1$
b)
$\frac{- 2}{x ^{3}} = 16$
c)
$\frac{21}{x} = 3$

Corrigé

a)
Interdite : $0$ ; $4 = x^{2}$ : $S = {- 2; 2}$
b)
Interdite : $0$ ; $- 2 = 16 x^{3}$ , $x^{3} = - \frac{1}{8}$ : $S = {- \frac{1}{2}}$
c)
Il faut $x > 0$ ; $21 = 3 x$ , $x = 7$ : $S = {49}$

En b), $(- \frac{1}{2})^{3} = - \frac{1}{8}$ : on vérifie en remplaçant.

$x$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$g (x)$	$0$	$1, 4$	$2$	$2, 8$	$3, 5$	$4$	$4, 5$