Chapitre 4 — Calcul littéral · coursI Réduire, substituer

Sommaire du chapitre

I — Réduire, substituer
- Méthode 1 — Réduire une expression
- Méthode 2 — Substituer
II — Développer
- Méthode 3 — Développer et réduire
III — Identités remarquables
- Méthode 4 — Développer avec une identité remarquable
IV — Factoriser
- Méthode 5 — Factoriser avec un facteur commun
V — Factoriser avec une identité remarquable
- Méthode 6 — Reconnaître une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
- Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation
VII — Fractions rationnelles
- Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction
VIII — Équations du premier degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré
- Méthode 10 — Inconnue au dénominateur
IX — Équations produit
- Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener
- Méthode 12 — Choisir la forme adaptée
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
- Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$
- Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$
XI — Mise en équation
- Méthode 15 — Résoudre un problème par une équation
XII — Problèmes de géométrie
- Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie
XIII — Isoler une grandeur
- Méthode 17 — Isoler une grandeur

Définition 1 — Termes semblables

Dans une expression littérale, des lettres remplacent des nombres. On n'écrit pas le $\times$ devant une lettre ou une parenthèse : $5 \times x = 5 x$ ; de plus $1 x = x$ et $x \times x = x^{2}$ .

Des termes semblables ont la même partie littérale : $4 x$ et $- 9 x$ sont semblables ; $3 x^{2}$ et $3 x$ ne le sont pas.

Propriété 1 — Réduire

Réduire une somme, c'est regrouper les termes semblables en additionnant leurs nombres : $6 a + 1 + 4 a = 10 a + 1$ . Réduire un produit, c'est multiplier les nombres entre eux et les lettres entre elles : $3 x \times (- 2 x) = - 6 x^{2}$ .

On peut toujours réduire un produit. On ne peut pas toujours réduire une somme : $5 + 2 x$ n'a pas de termes semblables, elle reste ainsi.

Méthode 1 — Réduire une expression

Exemples corrigés

Réduire :

a)
$A = 4 x + 7 - 9 x + 3$
b)
$B = 2 x^{2} + 5 x - x^{2} - 3 x$
c)
$C = 5 x \times (- 2 x)$

Correction

A

= 4 x + 7 - 9 x + 3

on recopie

A

= 4 x - 9 x + 7 + 3

on rapproche les termes semblables, avec leur signe

A

= - 5 x + 10

B

= 2 x^{2} + 5 x - x^{2} - 3 x

on recopie

B

= 2 x^{2} - x^{2} + 5 x - 3 x

les

x^{2}

ensemble, les

x

ensemble

B

= x^{2} + 2 x

x^{2}

2 x

ne sont pas semblables : on s'arrête

C

= 5 x \times (- 2 x)

on recopie

C

= 5 \times (- 2) \times x \times x

les nombres, puis les lettres

C

= - 10 x^{2}

À vous de jouer

Réduire, si possible :

D = 7 a - 5 + 2 a - 8

E = - 4 y^{2} + 5 y - 3 y^{2} - 5 y + 2

F = 4 x \times 7 x

G = - 5 \times (- 3 x)

H = 5 + 2 x

K = x^{2} + 5 x^{2}

Correction

D

= 7 a - 5 + 2 a - 8

on recopie

D

= 7 a + 2 a - 5 - 8

on rapproche les termes semblables, avec leur signe

D

= 9 a - 13

E

= - 4 y^{2} + 5 y - 3 y^{2} - 5 y + 2

on recopie

E

= - 4 y^{2} - 3 y^{2} + 5 y - 5 y + 2

les

y^{2}

ensemble, les

y

ensemble

E

= - 7 y^{2} + 2

5 y - 5 y = 0

F

= 4 \times 7 \times x \times x

les nombres, puis les lettres

F

= 28 x^{2}

G

= - 5 \times (- 3) \times x

G

= 15 x

même signe : positif

H = 5 + 2 x

ne se réduit pas.

5

2 x

ne sont pas semblables

K

= x^{2} + 5 x^{2}

x^{2}

compte pour

1 x^{2}

K

= 6 x^{2}

Méthode 2 — Substituer

Substituer, c'est remplacer la lettre par une valeur : on l'écrit entre parenthèses, on rétablit les $\times$ , puis on calcule avec les priorités.

Exemples corrigés

Calculer $B = 2 x^{2} - 5 x + 3$ pour $x = 4$ , pour $x = - 1$ , puis pour $x = \frac{1}{2}$ .

Correction

Résolution

B

= 2 \times 4^{2} - 5 \times 4 + 3

pour

x = 4

B

= 32 - 20 + 3 = 15

B

= 2 \times (- 1)^{2} - 5 \times (- 1) + 3

pour

x = - 1

(- 1)^{2} = 1

B

= 2 + 5 + 3 = 10

B

= 2 \times (\frac{1}{2})^{2} - 5 \times \frac{1}{2} + 3

pour

x = \frac{1}{2}

B

= \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3 = 1

\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = - 2

À vous de jouer

1°)
Calculer $E = - x^{2} + 4 x - 2$ pour $x = 3$ , pour $x = - 2$ , puis pour $x = \frac{1}{2}$ .
2°)
Calculer $F = 3 x^{2} - x + 5$ pour $x = 2$ , puis pour $x = - 1$ .

Correction

1°)

E

= - 3^{2} + 4 \times 3 - 2

pour

x = 3

- 3^{2} = - 9

E

= - 9 + 12 - 2 = 1

E

= - (- 2)^{2} + 4 \times (- 2) - 2

pour

x = - 2

(- 2)^{2} = 4

E

= - 4 - 8 - 2 = - 14

E

= - (\frac{1}{2})^{2} + 4 \times \frac{1}{2} - 2

pour

x = \frac{1}{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

E

= - \frac{1}{4} + 2 - 2 = - \frac{1}{4}

2°)

F

= 3 \times 2^{2} - 2 + 5

pour

x = 2

: le carré d'abord

F

= 12 - 2 + 5 = 15

F

= 3 \times (- 1)^{2} - (- 1) + 5

pour

x = - 1

: entre parenthèses

F

= 3 + 1 + 5 = 9

À faire : exercices 1 à 4

Exercice 1 — Réduire une somme

Réduire, si possible :

A = 7 a + 5 a + 2 a

B = 6 + 2 a + 5 a

C = 4 a^{2} + 3 + 7 a^{2}

D = 6 a + 3 a^{2} + 4 a^{2}

E = 9 m - 12 m + 5 m

F = - 6 m - 3 m - 4 m

G = 3 m - 8 m^{2} + 5 m^{2}

H = - 6 m^{2} + 4 m^{2} - 5 m^{2}

$K = 3 n^{2} + 6 n - 5 + 4 n^{2} + 3 + 8$

$L = 4 + 5 n - 3 n^{2} + 7 n^{2} + 2 n - 4$

$M = - 7 n^{2} + 6 - 4 n + 3 n^{2} - 3 n - 9$

Corrigé

A = 14 a

B = 7 a + 6

C = 11 a^{2} + 3

D = 7 a^{2} + 6 a

E = 2 m

F = - 13 m

G = - 3 m^{2} + 3 m

H = - 7 m^{2}

K = 7 n^{2} + 6 n + 6

L = 4 n^{2} + 7 n

$M = - 4 n^{2} - 7 n - 3$

Dans $B$ , le $6$ reste seul : on n'écrit pas $13 a$ .

Exercice 2 — Réduire un produit

Réduire :

A = 6 \times 4 x

B = 3 x \times 5 x

C = 7 \times 2 x^{2}

D = 3 x^{2} \times 5

E = - 4 x \times 3 x

F = - 6 \times 5 x

G = 2 x (- 7 x)

H = - 3 x (- 6 x)

K = 4 (- 3 x^{2})

L = - 5 (- 2 x^{2})

M = 3 x^{2} \times (- 4)

Corrigé

A = 24 x

B = 15 x^{2}

C = 14 x^{2}

D = 15 x^{2}

E = - 12 x^{2}

F = - 30 x

G = - 14 x^{2}

H = 18 x^{2}

K = - 12 x^{2}

L = 10 x^{2}

$M = - 12 x^{2}$

Exercice 3 — Substituer

1.
Calculer $B = 3 x^{2} - 4 x - 4$ pour $x = 2$ , $x = 3$ , $x = - 1$ , $x = - 2$ , puis $x = \frac{1}{3}$ .
2.
Calculer $C = 2 m - 4 p + 5$ pour $m = 3$ et $p = - 2$ , puis pour $m = - 1$ et $p = 4$ .

Corrigé

1) Pour $x = 2$ : $B = 12 - 8 - 4 = 0$ ; pour $x = 3$ : $B = 27 - 12 - 4 = 11$ ; pour $x = - 1$ : $B = 3 + 4 - 4 = 3$ ; pour $x = - 2$ : $B = 12 + 8 - 4 = 16$ ; pour $x = \frac{1}{3}$ : $B = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} - 4 = - 5$ .

2) $C = 6 + 8 + 5 = 19$ ; $C = - 2 - 16 + 5 = - 13$ .

$- 4 p$ pour $p = - 2$ : $- 4 \times (- 2) = + 8$ .

Exercice 4 — Égales ou non ?

On pose $A = (x - 2) (x + 5)$ et $B = 2 x^{2} - 10$ .

1.
Calculer $A$ et $B$ pour $x = 0$ , puis pour $x = 1$ .
2.
$A$ et $B$ sont-elles égales ?
3.
Développer $A$ . Que conclure ?

Corrigé

1) Pour $x = 0$ : $A = - 10$ et $B = - 10$ ; pour $x = 1$ : $A = - 6$ et $B = - 8$ .

2) $Non$ : pour $x = 1$ , elles sont différentes.

3) $A = x^{2} + 5 x - 2 x - 10 = x^{2} + 3 x - 10$ , qui n'est pas $B$ .

Un test réussi ( $x = 0$ ) ne prouve pas une égalité ; un seul contre-exemple suffit à la réfuter.