Chapitre 4 — Calcul littéral · coursXIII Isoler une grandeur

Sommaire du chapitre

I — Réduire, substituer
- Méthode 1 — Réduire une expression
- Méthode 2 — Substituer
II — Développer
- Méthode 3 — Développer et réduire
III — Identités remarquables
- Méthode 4 — Développer avec une identité remarquable
IV — Factoriser
- Méthode 5 — Factoriser avec un facteur commun
V — Factoriser avec une identité remarquable
- Méthode 6 — Reconnaître une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
- Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation
VII — Fractions rationnelles
- Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction
VIII — Équations du premier degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré
- Méthode 10 — Inconnue au dénominateur
IX — Équations produit
- Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener
- Méthode 12 — Choisir la forme adaptée
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
- Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$
- Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$
XI — Mise en équation
- Méthode 15 — Résoudre un problème par une équation
XII — Problèmes de géométrie
- Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie
XIII — Isoler une grandeur
- Méthode 17 — Isoler une grandeur

Définition 5 — Isoler une grandeur

Une formule relie plusieurs grandeurs. Isoler une grandeur, c'est réécrire la formule sous la forme « grandeur $= \dots$ » : on résout une équation dont l'inconnue est cette grandeur, les autres lettres jouant le rôle de nombres connus.

Méthode 17 — Isoler une grandeur

On ajoute, on soustrait, on multiplie ou on divise les deux membres par une même quantité non nulle ; pour deux fractions égales, le produit en croix est souvent le plus rapide ; pour une grandeur positive au carré, on finit par une racine carrée.

Exemples corrigés

a)
Puissance $P = \frac{W}{t}$ : isoler $W$ , puis $t$ .
b)
$\frac{h}{H} = \frac{ℓ}{L}$ : isoler $L$ .
c)
Périmètre d'un triangle isocèle $P = 2 a + b$ : isoler $a$ .
d)
Volume d'un cône $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ : isoler le rayon $r$ .

Correction

P

= \frac{W}{t}

on recopie

P \times t

= W

produit en croix avec

\frac{P}{1} = \frac{W}{t}

W = P \times t

t

= \frac{W}{P}

on divise les deux membres par

P

\frac{h}{H}

= \frac{ℓ}{L}

on recopie

h \times L

= H \times ℓ

produit en croix

L

= \frac{H \times ℓ}{h}

on divise par

h

2 a + b

= P

on recopie,

a

à gauche

2 a

= P - b

on soustrait

b

a

= \frac{P - b}{2}

on divise par

2

V

= \frac{1}{3} π r^{2} h

on recopie

3 V

= π r^{2} h

on multiplie par

3

r^{2}

= \frac{3 V}{πh}

on divise par

πh

r

= \frac{3 V}{πh}

r

est positif

À vous de jouer

1°)
Loi d'Ohm $U = R I$ : isoler $I$ , puis $R$ .
2°)
Périmètre d'un cercle $C = 2 π r$ : isoler $r$ .
3°)
Masse volumique $ρ = \frac{m}{V}$ : isoler $m$ , puis $V$ .
4°)
Aire d'un trapèze $A = \frac{( B + b ) \times h}{2}$ : isoler $h$ .
5°)
Conversion des températures $F = \frac{9}{5} C + 32$ : isoler $C$ .
6°)
Énergie cinétique $E = \frac{1}{2} m v^{2}$ : isoler $v$ (avec $v > 0$ ).
7°)
On a $3 x - 2 y + 5 z = 12$ . Exprimer $x$ en fonction de $y$ et $z$ , puis calculer $x$ pour $y = 3$ et $z = 0$ .

Correction

1°)

U

= R I

on recopie

I

= \frac{U}{R}

on divise par

R

R

= \frac{U}{I}

ou on divise par

I

2°)

C

= 2 π r

r

= \frac{C}{2 π}

on divise par

2 π

3°)

ρ

= \frac{m}{V}

m

= ρ V

on multiplie par

V

V

= \frac{m}{ρ}

on divise par

ρ

4°)

A

= \frac{( B + b ) \times h}{2}

2 A

= (B + b) \times h

on multiplie par

2

h

= \frac{2 A}{B + b}

on divise par

B + b

5°)

F

= \frac{9}{5} C + 32

F - 32

= \frac{9}{5} C

on soustrait

32

5 (F - 32)

= 9 C

on multiplie par

5

C

= \frac{5 ( F - 32 )}{9}

on divise par

9

6°)

E

= \frac{1}{2} m v^{2}

2 E

= m v^{2}

on multiplie par

2

v^{2}

= \frac{2 E}{m}

on divise par

m

v

= \frac{2 E}{m}

v

est positif

7°)

3 x - 2 y + 5 z

= 12

3 x

= 12 + 2 y - 5 z

on ajoute

2 y

, on soustrait

5 z

x

= \frac{12 + 2 y - 5 z}{3}

on divise par

3

Pour

y = 3

z = 0

x = \frac{12 + 6 - 0}{3} = 6

on substitue dans la formule trouvée

À faire : exercices 51 à 54 ; pour préparer le devoir commun : exercices 55 à 60

Exercice 51 — Échauffement

Isoler $A$ dans chaque égalité :

A + 3 = B

5 - A = B

4 A = B

\frac{A}{3} = B

\frac{6}{A} = B

2 A + B = C

Corrigé

A = B - 3

A = 5 - B

A = \frac{B}{4}

A = 3 B

A = \frac{6}{B}

A = \frac{C - B}{2}

Exercice 52 — Formules de géométrie et de physique

1.
Volume d'un pavé $V = L ℓ h$ : isoler $ℓ$ .
2.
Aire d'un triangle $A = \frac{b \times h}{2}$ : isoler $h$ .
3.
Tension aux bornes d'une pile $U = E - r I$ : isoler $r$ .
4.
$L H - \frac{V}{d} = 0$ : isoler $d$ .
5.
Capital placé $C = C_{0} (1 + t)$ : isoler $C_{0}$ .
6.
Aire d'un disque $A = π r^{2}$ : isoler $r$ (avec $r > 0$ ).

Corrigé

ℓ = \frac{V}{L h}

h = \frac{2 A}{b}

r = \frac{E - U}{I}

d = \frac{V}{L H}

C_{0} = \frac{C}{1 + t}

r = \frac{A}{π}

3) $r I = E - U$ ; 4) $L H = \frac{V}{d}$ , puis produit en croix.

Exercice 53 — Plus difficile

Les grandeurs sont strictement positives.

1.
Formule des lentilles $\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ : exprimer $f$ en fonction de $a$ et $b$ . (Réduire d'abord le membre de droite au même dénominateur.)
2.
$F = 6, 67 \times 1 0^{- 11} \frac{m m ^{'}}{d ^{2}}$ : exprimer $d$ en fonction de $m$ , $m^{'}$ et $F$ .

Corrigé

1) $\frac{1}{f} = \frac{a + b}{ab}$ , donc $f = \frac{ab}{a + b}$ .

2) $d^{2} = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} m m ^{'}}{F}$ , donc $d = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} m m ^{'}}{F}$ .

Exercice 54 — Isoler, puis calculer

1.
On a $4 x + 2 y - 3 z = 10$ . Exprimer $y$ en fonction de $x$ et $z$ , puis calculer $y$ pour $x = 1$ et $z = 2$ .
2.
Un pavé droit a pour volume $72$ cm $^{3}$ , pour longueur $6$ cm et pour hauteur $3$ cm. Calculer sa largeur avec l'exercice .
3.
Un disque a une aire de $80$ cm $^{2}$ . Calculer son rayon, arrondi au millimètre.

Corrigé

1) $2 y = 10 - 4 x + 3 z$ , $y = \frac{10 - 4 x + 3 z}{2}$ ; pour $x = 1$ et $z = 2$ : $y = 6$ .

2) $ℓ = \frac{72}{6 \times 3} = 4 cm$ .

3) $r = \frac{80}{π} ≃ 5, 0 cm$ .

Exercice 55 — Maîtrise des calculs

1.
Développer et réduire :

$A (x) = 3 (2 x - 5) + (3 x + 4) (2 x - 1)$

$B (x) = (x + 2) (- 3 x + 4) - (5 - x)$
2.
Factoriser :

$C (x) = 8 x^{2} - 5 x$ $D (x) = 9 x^{2} + 30 x + 25$

$E (x) = (2 x - 5) - 3 (2 x - 5)^{2}$

$F (x) = (x + 2) (- 2 x + 3) - (x + 2)^{2}$

Corrigé

A (x)

= 6 x - 15 + 6 x^{2} + 5 x - 4

A (x)

= 6 x^{2} + 11 x - 19

B (x)

= - 3 x^{2} - 2 x + 8 - 5 + x

B (x)

= - 3 x^{2} - x + 3

C (x) = x (8 x - 5)

D (x) = (3 x + 5)^{2}

E (x)

= (2 x - 5) [1 - 3 (2 x - 5)]

E (x)

= (2 x - 5) (16 - 6 x)

F (x)

= (x + 2) [(- 2 x + 3) - (x + 2)]

F (x)

= (x + 2) (- 3 x + 1)

Exercice 56 — Une fonction, trois écritures

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = (x + 3)^{2} - 16$ .

1.
Développer $f (x)$ , puis factoriser $f (x)$ .
2.
Avec l'écriture la plus adaptée : calculer $f (0)$ et $f (\frac{1}{2})$ ; déterminer les antécédents de $0$ , de $- 7$ , puis de $- 16$ par $f$ .

Corrigé

1) $f (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 16 = x^{2} + 6 x - 7$ ; $f (x) = [(x + 3) - 4] [(x + 3) + 4]$ , soit $(x - 1) (x + 7)$ .

2) $f (0) = - 7$ ; $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + 3 - 7 = - \frac{15}{4}$ .

Antécédents de $0$ : $(x - 1) (x + 7) = 0$ , $1$ et $- 7$ .

De $- 7$ : $x^{2} + 6 x = 0$ , soit $x (x + 6) = 0$ : $0$ et $- 6$ ; de $- 16$ : $(x + 3)^{2} = 0$ : $- 3$ .

Exercice 57 — Lire, puis démontrer

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 2; 5]$ par

f (x) = (2 x - 3) (x + 1) - (x + 1)^{2} .

Sa courbe est tracée ci-contre.

1.
Par lecture graphique, conjecturer les solutions de $f (x) = 0$ , puis de $f (x) = - 4$ .
2.
Montrer que $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ , puis que $f (x) = (x + 1) (x - 4)$ .
3.
Avec la forme adaptée, calculer $f (2)$ , puis résoudre $f (x) = 0$ et $f (x) = - 4$ . Conclure sur les conjectures.

Corrigé

1) On lit $f (x) = 0$ pour $x = - 1$ et $x = 4$ ; $f (x) = - 4$ pour $x = 0$ et $x = 3$ .

f (x)

= 2 x^{2} - x - 3 - (x^{2} + 2 x + 1)

f (x)

= x^{2} - 3 x - 4

f (x)

= (x + 1) [(2 x - 3) - (x + 1)]

f (x)

= (x + 1) (x - 4)

3) $f (2) = 4 - 6 - 4 = - 6$ ; $f (x) = 0$ : $S = {- 1; 4}$ ; $f (x) = - 4$ : $x (x - 3) = 0$ , $S = {0; 3}$ . Les conjectures sont démontrées.

Exercice 58 — Équations

Résoudre dans $R$ :

\frac{2}{3} x - 3 = 5

\frac{7}{4} - \frac{x}{3} = 1

4 x + 3 = 1 - 3 (2 - x)

(3 x - 4)^{2} - (x + 6)^{2} = 0

e) $9 x^{2} - 12 x + 4 = 4 (x + 2)^{2}$ (reconnaître deux carrés)

Corrigé

\frac{2}{3} x = 8

S = {12}

S = {\frac{9}{4}}

c) $4 x + 3 = - 5 + 3 x$ : $S = {- 8}$

d) $(2 x - 10) (4 x + 2) = 0$ : $S = {- \frac{1}{2}; 5}$

e) $(3 x - 2)^{2} - [2 (x + 2)]^{2} = 0$ , soit $(x - 6) (5 x + 2) = 0$ : $S = {- \frac{2}{5}; 6}$

Exercice 59 — Points d'intersection de deux courbes

Pour chaque couple, calculer les coordonnées des points d'intersection de $C_{f}$ et $C_{g}$ (on résout $f (x) = g (x)$ ).

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

g (x) = 2 x + 6

f (x) = 3 x^{2} - x + 1

g (x) = 5 x + 1

Corrigé

a) $x^{2} + 2 x - 3 = 2 x + 6$ donne $x^{2} - 9 = 0$ , soit $(x - 3) (x + 3) = 0$ . $g (3) = 12$ et $g (- 3) = 0$ : $(3; 12)$ et $(- 3; 0)$ .

b) $3 x^{2} - x + 1 = 5 x + 1$ donne $3 x^{2} - 6 x = 0$ , soit $3 x (x - 2) = 0$ . $g (0) = 1$ et $g (2) = 11$ : $(0; 1)$ et $(2; 11)$ .

Exercice 60 — Deux problèmes

1.
Quand on augmente de $3$ cm les côtés d'un carré, son aire augmente de $51$ cm $^{2}$ . Quelle est l'aire du carré de départ ?
2.
Dans le rectangle $A BC D$ , $A B = 6$ cm et $BC = 9$ cm ; $M$ est sur $[A B]$ et $A M = x$ . On construit le carré $A MNP$ et le rectangle $NQCR$ (méthode 16 du cours). Où placer $M$ pour qu'ils aient la même aire ?

Corrigé

1) $(x + 3)^{2} = x^{2} + 51$ donne $6 x + 9 = 51$ , puis $x = 7$ : l'aire de départ vaut $49 cm^{2}$ .

2) $0 < x ⩽ 6$ ; carré : $x^{2}$ ; rectangle : $(6 - x) (9 - x) = 54 - 15 x + x^{2}$ . $x^{2} = 54 - 15 x + x^{2}$ donne $x = 3, 6 cm$ , qui convient.