Chapitre 4 — Calcul littéral · coursXII Problèmes de géométrie

Sommaire du chapitre

I — Réduire, substituer
- Méthode 1 — Réduire une expression
- Méthode 2 — Substituer
II — Développer
- Méthode 3 — Développer et réduire
III — Identités remarquables
- Méthode 4 — Développer avec une identité remarquable
IV — Factoriser
- Méthode 5 — Factoriser avec un facteur commun
V — Factoriser avec une identité remarquable
- Méthode 6 — Reconnaître une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
- Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation
VII — Fractions rationnelles
- Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction
VIII — Équations du premier degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré
- Méthode 10 — Inconnue au dénominateur
IX — Équations produit
- Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener
- Méthode 12 — Choisir la forme adaptée
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
- Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$
- Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$
XI — Mise en équation
- Méthode 15 — Résoudre un problème par une équation
XII — Problèmes de géométrie
- Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie
XIII — Isoler une grandeur
- Méthode 17 — Isoler une grandeur

Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie

On place $x$ sur la figure et on précise ses valeurs possibles, on exprime les longueurs, puis les aires ou les périmètres, on écrit l'équation et on la résout ; souvent, les $x^{2}$ s'éliminent. On vérifie enfin que la solution est possible.

Exemples corrigés

a)
Un rectangle a pour longueur $10$ cm et pour largeur $x$ cm ; un carré a pour côté $x + 3$ cm. Pour quelle valeur de $x$ ont-ils le même périmètre ?
b)
Le rectangle $A BC D$ a pour dimensions $A B = 3$ cm et $BC = 6$ cm. Le point $M$ est sur $[A B]$ avec $A M = x$ ( $x \neq = 0$ ). On construit le carré $A MNP$ et le rectangle $NQCR$ (figure). Où placer $M$ pour que le carré et le rectangle aient la même aire ?

Correction

Périmètre du rectangle :

2 (10 + x) = 20 + 2 x

; du carré :

4 (x + 3) = 4 x + 12

on exprime en fonction de

x

20 + 2 x

= 4 x + 12

les périmètres sont égaux

8

= 2 x

x

= 4

4 > 0

: possible

Pour

x = 4

, les deux figures ont un périmètre de

28

cm.

on conclut

M

est sur

[A B]

0 < x ⩽ 3

. Le carré a pour aire

x^{2}

valeurs possibles

NQ = 3 - x

QC = 6 - x

: le rectangle a pour aire

(3 - x) (6 - x)

, soit

18 - 9 x + x^{2}

longueurs, puis aire

x^{2}

= 18 - 9 x + x^{2}

les aires sont égales

9 x

= 18

les

x^{2}

s'éliminent

x

= 2

0 < 2 ⩽ 3

: possible

Il faut placer

M

2

cm de

A

: les deux aires valent

4

^{2}

vérification :

1 \times 4 = 4

À vous de jouer

1°)
La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de $5$ cm, et son périmètre vaut $42$ cm. Quelles sont ses dimensions ?
2°)
Quand on augmente de $2$ cm le côté d'un carré, son aire augmente de $32$ cm $^{2}$ . Quelle est l'aire du carré de départ ?
3°)
Un rectangle a pour dimensions $x + 8$ et $x$ ; un carré a pour côté $x + 3$ (en cm, $x > 0$ ). a) Pour quelle valeur de $x$ ont-ils la même aire ? b) Peuvent-ils avoir le même périmètre ?

Correction

1°)

Soit

x

la largeur, en cm : la longueur vaut

x + 5

2 (x + (x + 5))

= 42

le périmètre

4 x + 10

= 42

4 x

= 32

x

= 8

Le rectangle mesure

8

cm sur

13

cm.

vérification :

2 \times (8 + 13) = 42

2°)

Soit

x

le côté du carré de départ, en cm.

(x + 2)^{2}

= x^{2} + 32

la nouvelle aire dépasse l'ancienne de

32

x^{2} + 4 x + 4

= x^{2} + 32

les

x^{2}

s'éliminent

4 x

= 28

x

= 7

L'aire du carré de départ est

7^{2} = 49

^{2}

vérification :

9^{2} = 81 = 49 + 32

3°)

x (x + 8)

= (x + 3)^{2}

a) les aires sont égales

x^{2} + 8 x

= x^{2} + 6 x + 9

2 x

= 9

x

= 4, 5

4, 5 > 0

: possible

b) Périmètres :

2 (x + 8 + x) = 4 x + 16

4 (x + 3) = 4 x + 12

4 x + 16 = 4 x + 12

donne

16 = 12

, ce qui est faux : ils n'ont jamais le même périmètre.

aucune valeur de

x

ne convient

À faire : exercices 45 à 50

Exercice 45 — Exprimer des longueurs et des aires

1.
Exprimer $GO$ , puis $RS$ , en fonction de $x$ ( $[RT]$ est partagé en cinq parts égales).

1.
Exprimer l'aire de la partie colorée en fonction de $x$ (avec $0 < x < 6$ ). Que remarque-t-on ?

Corrigé

1) $GO = x + 7$ ; $RS = \frac{2 x}{5}$ (deux parts sur cinq).

2) Le grand rectangle moins le rectangle blanc : $6 (x + 6) - 6 x = 36$ . L'aire ne dépend pas de $x$ .

Exercice 46 — Un trapèze et un triangle

Les longueurs sont en cm, avec $x > 0$ .

1.
Exprimer l'aire de chaque figure en fonction de $x$ .
2.
Montrer que la somme de ces aires est l'aire d'un rectangle dont un côté mesure $3 x$ . Quel est l'autre côté ?

Corrigé

1) Trapèze : $\frac{( x + 3 x ) ( x + 3 )}{2} = 2 x^{2} + 6 x$ ; triangle : $\frac{( 6 + x ) \times 2 x}{2} = x^{2} + 6 x$ .

2) Somme : $3 x^{2} + 12 x = 3 x (x + 4)$ : l'autre côté mesure $x + 4$ .

Exercice 47 — Deux solides

Montrer que le pavé droit et le prisme droit ci-dessous ont le même volume, pour tout $x > 0$ .

Corrigé

Pavé : $(2 x + 6) \times 2 x \times x = 4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Prisme : aire de la base $\frac{2 x \times 4 x}{2} = 4 x^{2}$ , puis volume $4 x^{2} (x + 3) = 4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Les volumes sont $\overset{e}{ˊ} gaux$ pour tout $x > 0$ .

Exercice 48 — Une aire donnée

Les longueurs sont en cm et $A EF D$ est un rectangle. Calculer $x$ sachant que l'aire du rectangle $A BC D$ vaut $30$ cm $^{2}$ .

Corrigé

$4 (6 + x) = 30$ , $24 + 4 x = 30$ , $x = 1, 5 cm$ .

Exercice 49 — Un carré dans un carré

On entoure un carré de $3$ cm de côté par une bande de largeur $x$ cm : on obtient un autre carré. Calculer $x$ pour que :

1.
le périmètre du grand carré soit égal à $36$ cm ;
2.
l'aire du grand carré soit égale à $49$ cm $^{2}$ ;
3.
l'aire de la bande soit égale au triple de celle du petit carré.

Corrigé

Le grand carré a pour côté $3 + 2 x$ .

1) $4 (3 + 2 x) = 36$ : $x = 3$ .

2) $(3 + 2 x)^{2} = 49$ et $3 + 2 x > 0$ : $3 + 2 x = 7$ , $x = 2$ .

3) $(3 + 2 x)^{2} - 9 = 27$ , soit $(3 + 2 x)^{2} = 36$ : $3 + 2 x = 6$ , $x = 1, 5$ .

Exercice 50 — Un bassin dans une parcelle

Dans une parcelle carrée de côté $x$ (en m, avec $x > 2$ ), on creuse un bassin carré en laissant, sur deux côtés, une bordure de $2$ m (en gris).

1.
Parmi ces expressions, lesquelles donnent l'aire de la bordure ?

a) $(x + 2)^{2} - x^{2}$ b) $4 x$ c) $4 x - 4$ d) $x^{2} - (x - 2)^{2}$ e) $x (x - 2)$
2.
Pour quelle valeur de $x$ l'aire du bassin vaut-elle $36$ m $^{2}$ ?

Corrigé

1) $c)$ et $d)$ : la parcelle moins le bassin, $x^{2} - (x - 2)^{2} = 4 x - 4$ .

2) Le bassin a pour côté $x - 2$ : $(x - 2)^{2} = 36$ et $x - 2 > 0$ , donc $x - 2 = 6$ et $x = 8 m$ .