Chapitre 4 — Calcul littéral · coursX Équations $x^{2} = a$ et équations quotient

Sommaire du chapitre

I — Réduire, substituer
- Méthode 1 — Réduire une expression
- Méthode 2 — Substituer
II — Développer
- Méthode 3 — Développer et réduire
III — Identités remarquables
- Méthode 4 — Développer avec une identité remarquable
IV — Factoriser
- Méthode 5 — Factoriser avec un facteur commun
V — Factoriser avec une identité remarquable
- Méthode 6 — Reconnaître une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
- Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation
VII — Fractions rationnelles
- Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction
VIII — Équations du premier degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré
- Méthode 10 — Inconnue au dénominateur
IX — Équations produit
- Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener
- Méthode 12 — Choisir la forme adaptée
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
- Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$
- Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$
XI — Mise en équation
- Méthode 15 — Résoudre un problème par une équation
XII — Problèmes de géométrie
- Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie
XIII — Isoler une grandeur
- Méthode 17 — Isoler une grandeur

Propriété 9 — Deux cas particuliers

$x^{2} = a$ : pas de solution si $a < 0$ (un carré est positif) ; la seule solution $0$ si $a = 0$ ; deux solutions $a$ et $- a$ si $a > 0$ .
$\frac{A}{B} = 0$ équivaut à $A = 0$ et $B \neq = 0$ : un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$

Exemples corrigés

Résoudre :

a)
$x^{2} = 25$
b)
$x^{2} = - 3$
c)
$3 x^{2} - 15 = 0$
d)
$(x - 1)^{2} = 16$

Correction

x^{2} = 25

S = {- 5; 5}

25 > 0

: deux solutions opposées

x^{2} = - 3

: un carré n'est jamais négatif,

S = \emptyset

- 3 < 0

3 x^{2} = 15

, soit

x^{2} = 5

S = {- 5; 5}

on isole le carré

x - 1 = 4

x - 1 = - 4

S = {- 3; 5}

le carré porte sur

x - 1

À vous de jouer

Résoudre :

x^{2} = 64

x^{2} + 9 = 0

2 x^{2} = 72

(x + 2)^{2} = 9

Correction

x^{2} = 64

S = {- 8; 8}

64 > 0

: deux solutions opposées

x^{2} + 9 = 0

s'écrit

x^{2} = - 9

S = \emptyset

un carré n'est jamais négatif

2 x^{2} = 72

, soit

x^{2} = 36

S = {- 6; 6}

on isole le carré

x + 2 = 3

x + 2 = - 3

S = {- 5; 1}

le carré porte sur

x + 2

Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$

On cherche d'abord la valeur interdite ( $B = 0$ ), puis on résout $A = 0$ , et on retire la valeur interdite des solutions.

Exemples corrigés

Résoudre :

a)
$\frac{2 x - 5}{x + 3} = 0$
b)
$\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = 0$

Correction

Valeur interdite

- 3

;

2 x - 5 = 0

donne

x = \frac{5}{2}

S = {\frac{5}{2}}

le numérateur s'annule

Valeur interdite

4

;

x^{2} - 16 = 0

donne

4

- 4

;

4

est interdit :

S = {- 4}

on retire la valeur interdite

À vous de jouer

Résoudre :

\frac{( 3 x - 1 ) ( x + 5 )}{x - 2} = 0

\frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = 0

Correction

Première équation : valeur interdite

2

;

(3 x - 1) (x + 5) = 0

donne

\frac{1}{3}

- 5

, qui ne sont pas interdits :

S = {- 5; \frac{1}{3}}

le numérateur s'annule

Seconde équation : valeur interdite

- 1

;

x^{2} - 1 = 0

donne

1

- 1

;

- 1

est interdit :

S = {1}

on retire la valeur interdite

À faire : exercices 39 à 41

Exercice 39 — Équations $x^{2} = a$

Résoudre dans $R$ :

x^{2} = 81

x^{2} = - 16

3 x^{2} = 48

x^{2} - 5 = 0

4 x^{2} - 25 = 0

(x + 2)^{2} = 49

Corrigé

S = {- 9; 9}

S = \emptyset

x^{2} = 16

S = {- 4; 4}

S = {- 5; 5}

x^{2} = \frac{25}{4}

S = {- \frac{5}{2}; \frac{5}{2}}

f) $x + 2 = 7$ ou $x + 2 = - 7$ : $S = {- 9; 5}$

Exercice 40 — Équations quotient

Résoudre, après avoir donné les valeurs interdites :

\frac{3 x - 4}{x + 2} = 0

\frac{2 x + 9}{3 - x} = 0

c) $\frac{( 2 x + 3 ) ^{2} - 9 ( x - 1 ) ^{2}}{4 x ^{2} - 4} = 0$

(factoriser le numérateur et le dénominateur)

d) $\frac{9 x ^{2} - 16 - 2 ( 3 x - 4 )}{12 - 9 x} = 0$

e) $\frac{3}{x} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2 x}$ (se ramener à un quotient nul)

Corrigé

a) $x \neq = - 2$ : $S = {\frac{4}{3}}$ b) $x \neq = 3$ : $S = {- \frac{9}{2}}$

c) Numérateur : $[(2 x + 3) - 3 (x - 1)] [(2 x + 3) + 3 (x - 1)] = (6 - x) \times 5 x$ ; dénominateur : $4 (x - 1) (x + 1)$ , nul pour $1$ et $- 1$ . Le numérateur s'annule pour $0$ et $6$ : $S = {0; 6}$ .

d) Numérateur : $(3 x - 4) (3 x + 4) - 2 (3 x - 4) = (3 x - 4) (3 x + 2)$ ; dénominateur nul pour $\frac{4}{3}$ . Il reste $S = {- \frac{2}{3}}$ .

e) Pour $x \neq = 0$ : $\frac{6 + x - 7}{2 x} = 0$ , soit $x - 1 = 0$ : $S = {1}$ .

d) $\frac{4}{3}$ annule aussi le numérateur, mais il est interdit.

Exercice 41 — Dans des problèmes

1.
Un carré a pour aire $30$ cm $^{2}$ . Donner la valeur exacte de son côté.
2.
Un disque a pour aire $49 π$ cm $^{2}$ . Quel est son rayon ?
3.
Le carré d'un nombre, augmenté de $7$ , vaut $43$ . Quel peut être ce nombre ?
4.
Pour quelle valeur de $x$ la fraction $\frac{x - 6}{x + 2}$ est-elle nulle ? Peut-elle valoir $1$ ?

Corrigé

1) $c^{2} = 30$ et $c > 0$ : $c = 30 cm$ .

2) $π r^{2} = 49 π$ , soit $r^{2} = 49$ : $r = 7 cm$ .

3) $x^{2} + 7 = 43$ , soit $x^{2} = 36$ : $- 6$ ou $6$ .

4) Pour $x = 6$ ( $x \neq = - 2$ ). Valoir $1$ : $x - 6 = x + 2$ est impossible : $jamais$ .

Chapitre 4 — Calcul littéral · coursX Équations x2=a et équations quotient

Propriété 9 — Deux cas particuliers

Méthode 13 — Résoudre x2=a

Exemples corrigés

À vous de jouer

Méthode 14 — Résoudre une équation quotient A/B=0

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 39 — Équations x2=a

Exercice 40 — Équations quotient

Exercice 41 — Dans des problèmes

Chapitre 4 — Calcul littéral · coursX Équations $x^{2} = a$ et équations quotient

Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$

Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$

Exercice 39 — Équations $x^{2} = a$