Chapitre 4 — Calcul littéral · coursVI Factorisations avancées

Sommaire du chapitre

I — Réduire, substituer
- Méthode 1 — Réduire une expression
- Méthode 2 — Substituer
II — Développer
- Méthode 3 — Développer et réduire
III — Identités remarquables
- Méthode 4 — Développer avec une identité remarquable
IV — Factoriser
- Méthode 5 — Factoriser avec un facteur commun
V — Factoriser avec une identité remarquable
- Méthode 6 — Reconnaître une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
- Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation
VII — Fractions rationnelles
- Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction
VIII — Équations du premier degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré
- Méthode 10 — Inconnue au dénominateur
IX — Équations produit
- Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener
- Méthode 12 — Choisir la forme adaptée
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
- Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$
- Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$
XI — Mise en équation
- Méthode 15 — Résoudre un problème par une équation
XII — Problèmes de géométrie
- Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie
XIII — Isoler une grandeur
- Méthode 17 — Isoler une grandeur

Propriété 5 — Faire apparaître le facteur commun

Une identité sur des expressions : $(\dots)^{2} - (\dots)^{2}$ , avec $a$ et $b$ entre crochets.
Le « 1 » caché : $(x + 4) = 1 \times (x + 4)$ ; il reste $1$ dans le crochet, pas $0$ .
Des facteurs opposés : $3 - x = - (x - 3)$ .
Une identité dans un seul morceau : $x^{2} - 16 = (x + 4) (x - 4)$ fait apparaître $(x + 4)$ .

Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation

Exemples corrigés

Factoriser :

a)
$A = (x + 5)^{2} - 16$
b)
$B = 3 (x + 1) (x + 4) - (x + 4)$
c)
$C = (2 x + 1) (x - 3) + x (3 - x)$
d)
$D = x^{2} - 16 + (x + 4) (3 x - 1)$

Correction

A

= [(x + 5) + 4] [(x + 5) - 4]

a^{2} - b^{2}

avec

a = x + 5

b = 4

A

= (x + 9) (x + 1)

B

= 3 (x + 1) (x + 4) - 1 \times (x + 4)

le « 1 » caché

B

= (x + 4) [3 (x + 1) - 1]

B

= (x + 4) (3 x + 2)

C

= (2 x + 1) (x - 3) - x (x - 3)

3 - x = - (x - 3)

C

= (x - 3) [(2 x + 1) - x]

C

= (x - 3) (x + 1)

D

= (x + 4) (x - 4) + (x + 4) (3 x - 1)

x^{2} - 16 = (x + 4) (x - 4)

D

= (x + 4) [(x - 4) + (3 x - 1)]

D

= (x + 4) (4 x - 5)

À vous de jouer

Factoriser :

E = (2 x + 3)^{2} - (x - 1)^{2}

F = (x + 2)^{2} + (x + 2) (3 x - 5)

G = (6 x - 4) (x + 2) + (3 x - 2) (x - 1)

H = (4 x - 1) - 3 (4 x - 1)^{2}

K = 9 x^{2} - 1 - (3 x - 1) (x + 2)

Correction

E

= [(2 x + 3) + (x - 1)] [(2 x + 3) - (x - 1)]

a^{2} - b^{2}

avec

a = 2 x + 3

b = x - 1

E

= (3 x + 2) (2 x + 3 - x + 1)

E

= (3 x + 2) (x + 4)

F

= (x + 2) [(x + 2) + (3 x - 5)]

(x + 2)^{2} = (x + 2) (x + 2)

(x + 2)

est commun

F

= (x + 2) (4 x - 3)

G

= 2 (3 x - 2) (x + 2) + (3 x - 2) (x - 1)

6 x - 4 = 2 (3 x - 2)

G

= (3 x - 2) [2 (x + 2) + (x - 1)]

G

= (3 x - 2) (3 x + 3)

G

= 3 (3 x - 2) (x + 1)

on factorise le plus possible :

3 x + 3 = 3 (x + 1)

H

= 1 \times (4 x - 1) - 3 (4 x - 1)^{2}

le « 1 » caché

H

= (4 x - 1) [1 - 3 (4 x - 1)]

H

= (4 x - 1) (4 - 12 x)

H

= 4 (4 x - 1) (1 - 3 x)

4 - 12 x = 4 (1 - 3 x)

K

= (3 x - 1) (3 x + 1) - (3 x - 1) (x + 2)

9 x^{2} - 1 = (3 x - 1) (3 x + 1)

K

= (3 x - 1) [(3 x + 1) - (x + 2)]

K

= (3 x - 1) (2 x - 1)

À faire : exercices 20 à 23

Exercice 20 — Identité remarquable sur des expressions

Factoriser, puis réduire chaque facteur. Écrire la factorisation avec des parenthèses à l'intérieur des crochets.

$A = (7 x + 5)^{2} - (3 x + 1)^{2}$

$B = (7 x - 3)^{2} - (2 x - 1)^{2}$

C = (3 x - 2)^{2} - 49

D = 81 - (2 x - 3)^{2}

$E = (x + 5)^{2} - (x + 2)^{2}$

Corrigé

A

= [(7 x + 5) + (3 x + 1)] [(7 x + 5) - (3 x + 1)]

A

= (10 x + 6) (4 x + 4)

B

= [(7 x - 3) + (2 x - 1)] [(7 x - 3) - (2 x - 1)]

B

= (9 x - 4) (5 x - 2)

C

= [(3 x - 2) + 7] [(3 x - 2) - 7]

C

= (3 x + 5) (3 x - 9)

D

= [9 - (2 x - 3)] [9 + (2 x - 3)]

D

= (12 - 2 x) (2 x + 6)

E

= [(x + 5) + (x + 2)] [(x + 5) - (x + 2)]

E

= 3 (2 x + 7)

Dans $B$ : $- (2 x - 1) = - 2 x + 1$ . On peut encore sortir des facteurs numériques : $A = 8 (5 x + 3) (x + 1)$ .

Exercice 21 — Le « 1 » caché et le carré

Factoriser :

$A = (5 x + 4) (3 x - 2) + (5 x + 4)$

$B = 3 (x - 1) (x + 2) - (x - 1)$

$C = (6 r - 4) (2 r - 3) + (6 r - 4)^{2}$

$D = (4 m - 2)^{2} - (4 m - 2) (3 m + 1)$

$E = (x + 2)^{2} + 4 (x + 2) + x + 2$

Corrigé

A

= (5 x + 4) [(3 x - 2) + 1] = (5 x + 4) (3 x - 1)

B

= (x - 1) [3 (x + 2) - 1] = (x - 1) (3 x + 5)

C

= (6 r - 4) [(2 r - 3) + (6 r - 4)]

C

= (6 r - 4) (8 r - 7)

D

= (4 m - 2) [(4 m - 2) - (3 m + 1)]

D

= (4 m - 2) (m - 3)

E

= (x + 2) [(x + 2) + 4 + 1] = (x + 2) (x + 7)

Dans $E$ , $x + 2$ apparaît trois fois : le dernier terme donne le « 1 ».

Exercice 22 — Faire apparaître le facteur commun

Factoriser. Penser aux facteurs opposés, aux multiples et aux identités cachées dans un seul morceau.

$A = (3 x - 4) (x + 2) + 6 (- 4 + 3 x)$

$B = (5 - x)^{2} + (x - 5)$

$C = (- x + 2) (3 x + 1) + (- 3 x - 1) (x - 7)$

$D = 9 x^{2} - 16 + (3 x + 4) (2 x + 5)$

$E = 16 x^{2} + 40 x + 25 - 2 (4 x + 5)$

Corrigé

A

= (3 x - 4) (x + 2) + 6 (3 x - 4)

A

= (3 x - 4) (x + 8)

B

= (x - 5)^{2} + (x - 5)

B

= (x - 5) (x - 4)

C

= (- x + 2) (3 x + 1) - (3 x + 1) (x - 7)

C

= (3 x + 1) (9 - 2 x)

D

= (3 x + 4) (3 x - 4) + (3 x + 4) (2 x + 5)

D

= (3 x + 4) (5 x + 1)

E

= (4 x + 5)^{2} - 2 (4 x + 5)

E

= (4 x + 5) (4 x + 3)

$B$ : $(5 - x)^{2} = (x - 5)^{2}$ (un carré efface le signe). $C$ : $- 3 x - 1 = - (3 x + 1)$ .

Exercice 23 — Choisir la méthode

Factoriser :

A = 16 x^{2} - 56 x + 49

B = 24 x - 10 x^{2} + 3 x^{3}

$C = (2 x + 5) (3 x - 4) + (2 x + 5) (4 x + 9)$

$D = (5 x + 3) (4 x - 9) - (5 x + 3) (6 x - 9)$

$E = (4 x - 1)^{2} - (3 x + 2)^{2}$

Corrigé

A = (4 x - 7)^{2}

B = x (3 x^{2} - 10 x + 24)

C

= (2 x + 5) [(3 x - 4) + (4 x + 9)]

C

= (2 x + 5) (7 x + 5)

D

= (5 x + 3) [(4 x - 9) - (6 x - 9)]

D

= - 2 x (5 x + 3)

E

= [(4 x - 1) + (3 x + 2)] [(4 x - 1) - (3 x + 2)]

E

= (7 x + 1) (x - 3)