Chapitre 4 — Calcul littéral · coursIII Identités remarquables

Sommaire du chapitre

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

Démonstration. $(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2}$ , soit $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ; les deux autres se démontrent de même.

Développer :

Correction

(x - 4)^{2}

= x^{2} - 2 \times x \times 4 + 4^{2}

(a - b)^{2}

avec

a = x

b = 4

(x - 4)^{2}

= x^{2} - 8 x + 16

(5 x + 2)^{2}

= (5 x)^{2} + 2 \times 5 x \times 2 + 2^{2}

parenthèses autour de

5 x

(5 x + 2)^{2}

= 25 x^{2} + 20 x + 4

(5 x)^{2} = 25 x^{2}

(3 x - 1) (3 x + 1)

= (3 x)^{2} - 1^{2}

(a + b) (a - b)

avec

a = 3 x

b = 1

(3 x - 1) (3 x + 1)

= 9 x^{2} - 1

Développer et réduire :

A = (x + 7)^{2}

B = (4 x - 3)^{2}

C = (2 - 5 x)^{2}

D = (6 x + 5) (6 x - 5)

E = (3 x + 2)^{2} - (x - 2) (x + 2)

Correction

A

= x^{2} + 2 \times x \times 7 + 7^{2}

(a + b)^{2}

avec

a = x

b = 7

A

= x^{2} + 14 x + 49

B

= (4 x)^{2} - 2 \times 4 x \times 3 + 3^{2}

(a - b)^{2}

avec

a = 4 x

b = 3

B

= 16 x^{2} - 24 x + 9

C

= 2^{2} - 2 \times 2 \times 5 x + (5 x)^{2}

(a - b)^{2}

avec

a = 2

b = 5 x

C

= 4 - 20 x + 25 x^{2}

D

= (6 x)^{2} - 5^{2}

(a + b) (a - b)

avec

a = 6 x

b = 5

D

= 36 x^{2} - 25

E

= 9 x^{2} + 12 x + 4 - (x^{2} - 4)

deux identités ; on garde la parenthèse

E

= 9 x^{2} + 12 x + 4 - x^{2} + 4

E

= 8 x^{2} + 12 x + 8

À faire : exercices 10 à 13

Développer :

A = (3 x + 4)^{2}

B = (5 + 2 x)^{2}

C = (4 a + 3)^{2}

D = (3 + 5 b)^{2}

E = (x + 6)^{2}

F = (4 x + 1)^{2}

G = (3 m + 5)^{2}

H = (4 + 3 r)^{2}

Corrigé

A = 9 x^{2} + 24 x + 16

B = 25 + 20 x + 4 x^{2}

C = 16 a^{2} + 24 a + 9

D = 9 + 30 b + 25 b^{2}

E = x^{2} + 12 x + 36

F = 16 x^{2} + 8 x + 1

G = 9 m^{2} + 30 m + 25

H = 16 + 24 r + 9 r^{2}

Le double produit : pour $A$ , $2 \times 3 x \times 4 = 24 x$ .

Développer :

A = (4 x - 3)^{2}

B = (3 x - 5)^{2}

C = (4 - 3 x)^{2}

D = (5 - 2 x)^{2}

E = (5 a - 3)^{2}

F = (2 - 5 b)^{2}

G = (3 m - 1)^{2}

H = (n - 4)^{2}

Corrigé

A = 16 x^{2} - 24 x + 9

B = 9 x^{2} - 30 x + 25

C = 16 - 24 x + 9 x^{2}

D = 25 - 20 x + 4 x^{2}

E = 25 a^{2} - 30 a + 9

F = 4 - 20 b + 25 b^{2}

G = 9 m^{2} - 6 m + 1

H = n^{2} - 8 n + 16

Développer. Attention : un des produits n'est pas une identité remarquable.

A = (4 x + 3) (4 x - 3)

B = (2 x + 5) (2 x - 3)

C = (3 + 5 x) (3 - 5 x)

D = (3 a + 4) (3 a - 4)

E = (b - 5) (b + 5)

F = (7 + c) (7 - c)

Corrigé

A = 16 x^{2} - 9

C = 9 - 25 x^{2}

D = 9 a^{2} - 16

E = b^{2} - 25

$F = 49 - c^{2}$

$B = 4 x^{2} - 6 x + 10 x - 15 = 4 x^{2} + 4 x - 15$

$B$ n'est pas une identité : $2 x + 5$ et $2 x - 3$ n'ont pas les mêmes termes.

Développer et réduire :

A = 3 (2 x + 5)

B = (2 x + 5)^{2}

C = (3 x - 4)^{2}

D = (5 x - 3) (5 x + 3)

E = (7 x + 2) (3 x - 5)

F = (3 + 7 x) (3 - 7 x)

$G = (2 x + 3)^{2} - (x - 4)^{2}$

$H = (x - 5) (x + 5) - (2 x + 1) (2 x - 1)$

$K = (x + 4)^{2} + 3 (2 x - 1) (x + 2)$

$L = (3 x + 1) (3 x - 1) - 2 (x - 3)^{2}$

Corrigé

A = 6 x + 15

B = 4 x^{2} + 20 x + 25

C = 9 x^{2} - 24 x + 16

D = 25 x^{2} - 9

E = 21 x^{2} - 29 x - 10

F = 9 - 49 x^{2}

G

= 4 x^{2} + 12 x + 9 - [x^{2} - 8 x + 16]

G

= 3 x^{2} + 20 x - 7

H

= x^{2} - 25 - [4 x^{2} - 1] = - 3 x^{2} - 24

K

= x^{2} + 8 x + 16 + 3 [2 x^{2} + 3 x - 2]

K

= 7 x^{2} + 17 x + 10

L

= 9 x^{2} - 1 - 2 [x^{2} - 6 x + 9]

L

= 7 x^{2} + 12 x - 19