Chapitre 4 — Calcul littéral · coursVIII Équations du premier degré

Sommaire du chapitre

I — Réduire, substituer
- Méthode 1 — Réduire une expression
- Méthode 2 — Substituer
II — Développer
- Méthode 3 — Développer et réduire
III — Identités remarquables
- Méthode 4 — Développer avec une identité remarquable
IV — Factoriser
- Méthode 5 — Factoriser avec un facteur commun
V — Factoriser avec une identité remarquable
- Méthode 6 — Reconnaître une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
- Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation
VII — Fractions rationnelles
- Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction
VIII — Équations du premier degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré
- Méthode 10 — Inconnue au dénominateur
IX — Équations produit
- Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener
- Méthode 12 — Choisir la forme adaptée
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
- Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$
- Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$
XI — Mise en équation
- Méthode 15 — Résoudre un problème par une équation
XII — Problèmes de géométrie
- Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie
XIII — Isoler une grandeur
- Méthode 17 — Isoler une grandeur

Définition 4 — Équation, solution

Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu. Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Résoudre, c'est trouver toutes les solutions ; on les écrit dans l'ensemble $S$ .

Propriété 7 — Règles de résolution

On garde les mêmes solutions en ajoutant (ou soustrayant) un même nombre aux deux membres, et en multipliant (ou divisant) les deux membres par un même nombre non nul. On se ramène à $a x = b$ :

si $a \neq = 0$ : $S = {\frac{b}{a}}$ ;
si $a = 0$ et $b \neq = 0$ ( $0 x = b$ est toujours faux) : $S = \emptyset$ ;
si $a = 0$ et $b = 0$ ( $0 x = 0$ est toujours vrai) : $S = R$ .

Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré

On supprime les parenthèses, puis les fractions (on multiplie chaque terme par le dénominateur commun), on regroupe les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de $x$ .

Exemples corrigés

Résoudre :

a)
$4 x - 5 = 9 - 2 (3 - x)$
b)
$\frac{x}{3} + \frac{1}{2} = \frac{x - 1}{6} + 3$
c)
$3 (x + 2) + 1 - 5 x = 2 (4 - x) + 3$

Correction

4 x - 5

= 9 - 6 + 2 x

on développe

4 x - 2 x

= 3 + 5

on soustrait

2 x

, on ajoute

5

2 x

= 8

x

= 4

on divise par

2

S = {4}

6 \times \frac{x}{3} + 6 \times \frac{1}{2}

= 6 \times \frac{x - 1}{6} + 6 \times 3

chaque terme

\times 6

2 x + 3

= x - 1 + 18

x

= 14

S = {14}

3 x + 6 + 1 - 5 x

= 8 - 2 x + 3

on développe

- 2 x + 7

= - 2 x + 11

0 x

= 4

toujours faux :

S = \emptyset

À vous de jouer

Résoudre :

1 °) 5 x - 4 = 2 x + 14

2 °) 2 (x - 3) - (x + 5) = 4 x - 2

3 °) \frac{7}{6} - \frac{x}{4} = \frac{1}{3}

4 °) \frac{x + 2}{3} = \frac{3 x - 1}{4}

5 °) 2 (3 x + 5) - 4 x = 12 - 2 (1 - x)

Correction

1°)

5 x - 2 x

= 14 + 4

les

x

à gauche, les nombres à droite

3 x

= 18

x

= 6

S = {6}

2°)

2 x - 6 - x - 5

= 4 x - 2

on développe ; le

-

change les signes de

x + 5

x - 11

= 4 x - 2

- 11 + 2

= 4 x - x

les

x

du côté où il y en a le plus

- 9

= 3 x

x

= - 3

S = {- 3}

3°)

12 \times \frac{7}{6} - 12 \times \frac{x}{4}

= 12 \times \frac{1}{3}

chaque terme

\times 12

14 - 3 x

= 4

- 3 x

= - 10

x

= \frac{10}{3}

S = {\frac{10}{3}}

4°)

4 (x + 2)

= 3 (3 x - 1)

produit en croix

4 x + 8

= 9 x - 3

8 + 3

= 9 x - 4 x

11

= 5 x

x

= \frac{11}{5}

S = {\frac{11}{5}}

5°)

6 x + 10 - 4 x

= 12 - 2 + 2 x

on développe

2 x + 10

= 2 x + 10

0 x

= 0

toujours vrai

Tout réel est solution :

S = R

l'égalité est vraie quel que soit

x

Méthode 10 — Inconnue au dénominateur

On donne les valeurs interdites, on fait un produit en croix, on résout, puis on vérifie que la solution n'est pas interdite.

Exemples corrigés

Résoudre $\frac{3 x - 2}{x - 2} = \frac{5}{2}$ .

Correction

Résolution

Valeur interdite :

x - 2 = 0

pour

x = 2

. Pour

x \neq = 2

on écarte

2

2 (3 x - 2)

= 5 (x - 2)

produit en croix

6 x - 4

= 5 x - 10

x

= - 6

- 6 \neq = 2

S = {- 6}

À vous de jouer

Résoudre $\frac{3 x + 1}{x + 2} = 2$ puis $\frac{4}{x + 3} = \frac{1}{x}$ .

Correction

Première équation

Valeur interdite :

x + 2 = 0

pour

x = - 2

. Pour

x \neq = - 2

on écarte

- 2

3 x + 1

= 2 (x + 2)

produit en croix avec

\frac{2}{1}

3 x + 1

= 2 x + 4

x

= 3

3 \neq = - 2

S = {3}

Seconde équation

Valeurs interdites :

- 3

0

. Pour

x \neq = - 3

x \neq = 0

deux dénominateurs

4 x

= x + 3

produit en croix

3 x

= 3

x

= 1

1

n'est pas interdit :

S = {1}

À faire : exercices 28 à 33

Exercice 28 — Les deux règles

Résoudre dans $R$ :

4 x + 3 = 3 x + 8

3 x + 2 = 4 x - 6

2 x + 5 = 6 x + 1

7 - 2 x = 0

2 x - 9 = 5 x + 12

3 x + 7 = 3 x - 4

Corrigé

S = {5}

S = {8}

4 = 4 x

S = {1}

S = {\frac{7}{2}}

- 3 x = 21

S = {- 7}

0 x = - 11

S = \emptyset

Exercice 29 — Avec des parenthèses

Résoudre dans $R$ , en supprimant d'abord les parenthèses :

a) $7 - (x - 2) = 5 x - (4 x - 9)$

b) $4 (x - 2) + 3 (3 - x) = 0$

c) $6 (x + 3) - 2 (x + 4) = x + 16$

d) $3 (x - 2) - 2 (x + 1) = 5 (x - 4)$

e) $m - (4 - 2 m) = 2 m + 5$

Corrigé

a) 9 - x

= x + 9

- 2 x

= 0 : S = {0}

b) x + 1

= 0 : S = {- 1}

c) 4 x + 10

= x + 16

3 x

= 6 : S = {2}

d) x - 8

= 5 x - 20

12

= 4 x : S = {3}

e) 3 m - 4

= 2 m + 5 : S = {9}

Exercice 30 — Coefficients fractionnaires

Résoudre dans $R$ :

\frac{- 5 x}{3} = \frac{10}{3}

\frac{12 x}{5} = \frac{3}{10}

\frac{3}{4} x = \frac{9}{2}

- 3 x = \frac{12}{5}

\frac{- 3}{7} x = \frac{- 1}{14}

\frac{5}{6} = \frac{- 10}{9} x

Corrigé

S = {- 2}

S = {\frac{1}{8}}

S = {6}

S = {- \frac{4}{5}}

S = {\frac{1}{6}}

S = {- \frac{3}{4}}

c) $x = \frac{9}{2} \times \frac{4}{3}$ : on multiplie par l'inverse du coefficient.

Exercice 31 — Supprimer les fractions

Résoudre dans $R$ , en multipliant chaque terme par le dénominateur commun :

- \frac{1}{3} x + 4 = x - 8

\frac{5}{2} x + 1 = 3 x - 4

\frac{3 x}{5} - \frac{4}{3} = \frac{7}{15}

\frac{x}{2} + \frac{5}{3} = - \frac{x}{6} + 9

e) $\frac{x - 3}{2} - 4 = \frac{3 x + 1}{4} + \frac{1}{2}$

f) $\frac{3 x + 1}{4} - \frac{x - 3}{4} = \frac{x + 5}{3}$

Corrigé

a) - x + 12

= 3 x - 24 : S = {9}

b) 5 x + 2

= 6 x - 8 : S = {10}

c) 9 x - 20

= 7 : S = {3}

d) 3 x + 10

= - x + 54 : S = {11}

e) 2 x - 6 - 16

= 3 x + 1 + 2 : S = {- 25}

f) 3 (2 x + 4)

= 4 (x + 5) : S = {4}

On multiplie par $3$ , $2$ , $15$ , $6$ , $4$ et $12$ ; chaque terme, y compris celui sans fraction.

Exercice 32 — Produit en croix, cas particuliers

1.
Résoudre avec un produit en croix :

a) $\frac{3 x + 2}{4} = \frac{5 x - 1}{3}$ b) $\frac{3 x - 2}{5} = \frac{2}{3}$
2.
Résoudre, en concluant par $S = R$ ou $S = \emptyset$ :

a) $\frac{1}{2} (x + 4) - \frac{2}{3} (x - 3) = \frac{1}{6} (- x + 12) + 2$

b) $\frac{x + 1}{3} - \frac{2 x - 1}{4} - 1 = - \frac{2 x + 1}{12}$

Corrigé

1) a) $9 x + 6 = 20 x - 4$ : $S = {\frac{10}{11}}$ b) $9 x - 6 = 10$ : $S = {\frac{16}{9}}$

2) a) ( $\times 6$ ) $- x + 24 = - x + 24$ : $0 x = 0$ , $S = R$ .

b) ( $\times 12$ ) $- 2 x - 5 = - 2 x - 1$ : $0 x = 4$ , $S = \emptyset$ .

Exercice 33 — L'inconnue au dénominateur

Résoudre, après avoir donné les valeurs interdites :

\frac{3 x - 2}{2 x + 1} = 2

\frac{3 - 2 x}{2 - x} = 1

\frac{3 - x}{2 x + 1} = \frac{3}{4}

\frac{2 + x}{1 + 2 x} = \frac{1}{2}

\frac{3 - x}{x - 2} = 2

\frac{- 3 x}{2 + x} = 2

Corrigé

a) x

\neq = - \frac{1}{2} : 3 x - 2 = 4 x + 2

x

= - 4 : S = {- 4}

b) x

\neq = 2 : 3 - 2 x = 2 - x

x

= 1 : S = {1}

c) x

\neq = - \frac{1}{2} : 12 - 4 x = 6 x + 3

x

= \frac{9}{10} : S = {\frac{9}{10}}

d) x

\neq = - \frac{1}{2} : 4 + 2 x = 1 + 2 x

0 x

= - 3 : S = \emptyset

e) x

\neq = 2 : 3 - x = 2 x - 4

x

= \frac{7}{3} : S = {\frac{7}{3}}

f) x

\neq = - 2 : - 3 x = 4 + 2 x

x

= - \frac{4}{5} : S = {- \frac{4}{5}}