Chapitre 4 — Calcul littéral · coursII Développer

Sommaire du chapitre

I — Réduire, substituer
- Méthode 1 — Réduire une expression
- Méthode 2 — Substituer
II — Développer
- Méthode 3 — Développer et réduire
III — Identités remarquables
- Méthode 4 — Développer avec une identité remarquable
IV — Factoriser
- Méthode 5 — Factoriser avec un facteur commun
V — Factoriser avec une identité remarquable
- Méthode 6 — Reconnaître une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
- Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation
VII — Fractions rationnelles
- Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction
VIII — Équations du premier degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré
- Méthode 10 — Inconnue au dénominateur
IX — Équations produit
- Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener
- Méthode 12 — Choisir la forme adaptée
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
- Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$
- Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$
XI — Mise en équation
- Méthode 15 — Résoudre un problème par une équation
XII — Problèmes de géométrie
- Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie
XIII — Isoler une grandeur
- Méthode 17 — Isoler une grandeur

Propriété 2 — Distributivité

Développer, c'est transformer un produit en une somme. Pour tous nombres $k$ , $a$ , $b$ , $c$ , $d$ :

k (a + b) = ka + kb

k (a - b) = ka - kb

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de chaque terme : $- (a - b) = - a + b$ . Pour soustraire un produit, on le développe d'abord entre crochets.

Méthode 3 — Développer et réduire

Exemples corrigés

Développer et réduire :

a)
$A = - 4 (3 x - 2)$
b)
$B = (2 x + 5) \times 3$
c)
$C = 7 - (2 x - 3)$
d)
$D = 3 x (2 x - 5) + 4 x$
e)
$E = (3 x + 2) (x - 5)$
f)
$F = 4 x^{2} - (3 x - 2) (x + 4)$
g)
$G = 3 (x + 2) (x - 4)$

Correction

A

= - 4 (3 x - 2)

on recopie

A

= - 4 \times 3 x + (- 4) \times (- 2)

- 4

multiplie chaque terme

A

= - 12 x + 8

B

= (2 x + 5) \times 3

le facteur est à droite : il multiplie aussi chaque terme

B

= 2 x \times 3 + 5 \times 3

B

= 6 x + 15

C

= 7 - (2 x - 3)

un signe

-

devant la parenthèse

C

= 7 - 2 x + 3

il change le signe de chaque terme :

- (2 x - 3) = - 2 x + 3

C

= - 2 x + 10

D

= 3 x (2 x - 5) + 4 x

on recopie

D

= 6 x^{2} - 15 x + 4 x

3 x \times 2 x = 6 x^{2}

D

= 6 x^{2} - 11 x

E

= (3 x + 2) (x - 5)

on recopie

E

= 3 x^{2} - 15 x + 2 x - 10

chaque terme par chaque terme : quatre produits

E

= 3 x^{2} - 13 x - 10

F

= 4 x^{2} - (3 x - 2) (x + 4)

on recopie

F

= 4 x^{2} - [3 x^{2} + 12 x - 2 x - 8]

le produit entre crochets

F

= 4 x^{2} - 3 x^{2} - 10 x + 8

-

change tous les signes du crochet

F

= x^{2} - 10 x + 8

G

= 3 (x + 2) (x - 4)

on recopie

G

= 3 [x^{2} - 4 x + 2 x - 8]

d'abord les deux parenthèses

G

= 3 [x^{2} - 2 x - 8]

G

= 3 x^{2} - 6 x - 24

puis on distribue le

3

À vous de jouer

Développer et réduire :

H = - 6 (2 x - 3)

K = (3 x + 5) \times 4

L = 9 - (5 x - 2)

M = 2 x (4 x + 3) - 5 x

N = (2 x - 3) (5 x + 1)

P = 3 x - (x - 4) (2 x + 3)

Q = 2 (x - 3) (x + 5)

R = (3 x + 1) (x + 2) - (x - 4) (2 x + 1)

Correction

H

= - 6 \times 2 x + (- 6) \times (- 3)

- 6

multiplie chaque terme

H

= - 12 x + 18

K

= 3 x \times 4 + 5 \times 4

K

= 12 x + 20

L

= 9 - 5 x + 2

-

change le signe de chaque terme

L

= - 5 x + 11

M

= 8 x^{2} + 6 x - 5 x

2 x \times 4 x = 8 x^{2}

M

= 8 x^{2} + x

N

= 10 x^{2} + 2 x - 15 x - 3

chaque terme par chaque terme

N

= 10 x^{2} - 13 x - 3

P

= 3 x - (2 x^{2} + 3 x - 8 x - 12)

on garde la parenthèse derrière le

-

P

= 3 x - 2 x^{2} + 5 x + 12

P

= - 2 x^{2} + 8 x + 12

Q

= 2 (x^{2} + 5 x - 3 x - 15)

on développe d'abord les deux parenthèses

Q

= 2 (x^{2} + 2 x - 15)

Q

= 2 x^{2} + 4 x - 30

R

= (3 x^{2} + 6 x + x + 2) - (2 x^{2} + x - 8 x - 4)

chaque produit à part

R

= 3 x^{2} + 7 x + 2 - 2 x^{2} + 7 x + 4

R

= x^{2} + 14 x + 6

À faire : exercices 5 à 9

Exercice 5 — Distributivité simple

Développer et réduire :

A = 4 (3 x + 5)

B = (6 + 3 x) \times 2

C = x (4 x + 5)

D = 3 x (2 x + 7)

E = 5 x + 3 (2 x + 4)

F = 2 (5 x + 6) + 4 (2 x + 3)

G = 5 (3 + 2 x) + 4 x

H = 3 (4 x + 2) + 2 (6 + 3 x)

K = x (3 x + 5) + 2 (5 x + 1)

L = 2 x (4 x + 3) + 3 x (2 x + 5)

Corrigé

A = 12 x + 20

B = 6 x + 12

C = 4 x^{2} + 5 x

D = 6 x^{2} + 21 x

E = 11 x + 12

F = 18 x + 24

G = 14 x + 15

H = 18 x + 18

K = 3 x^{2} + 15 x + 2

L = 14 x^{2} + 21 x

Exercice 6 — Avec des signes moins

Développer et réduire :

A = 6 (a + 3) - 4 a

B = - 7 a + 3 (2 a - 4)

$C = 4 (3 + 2 a) - 3 (5 + 2 a)$

$D = - 5 (- 3 a + 2) + 2 (4 a - 3)$

E = 3 b + 2 b (5 + 7 b)

F = 5 b (- 3 b + 2) + 4 b^{2}

$G = 4 b (- 3 b - 2) - b (2 b - 9)$

$H = - 3 b (4 b - 2) + 6 b (- 2 b - 3)$

Corrigé

A = 2 a + 18

B = - a - 12

C

= 12 + 8 a - 15 - 6 a = 2 a - 3

D

= 15 a - 10 + 8 a - 6 = 23 a - 16

E = 14 b^{2} + 13 b

F = - 11 b^{2} + 10 b

G

= - 12 b^{2} - 8 b - 2 b^{2} + 9 b

G

= - 14 b^{2} + b

H

= - 12 b^{2} + 6 b - 12 b^{2} - 18 b

H

= - 24 b^{2} - 12 b

Dans $G$ : $- b \times (- 9) = + 9 b$ .

Exercice 7 — Double distributivité

Développer et réduire :

A = (2 x + 5) (4 x + 3)

B = (3 + 4 x) (2 x + 7)

C = (3 x - 4) (- 2 x + 5)

D = (- 5 + 2 x) (3 - 4 x)

E = (- 4 x - 2) (- 3 x - 5)

F = (2 - 3 x) (4 - 5 x)

G = (- 6 x + 5) (- 3 x + 2)

H = (- 3 + 2 x) (4 x - 5)

Corrigé

A = 8 x^{2} + 26 x + 15

B = 8 x^{2} + 34 x + 21

C

= - 6 x^{2} + 15 x + 8 x - 20 = - 6 x^{2} + 23 x - 20

D

= - 15 + 20 x + 6 x - 8 x^{2} = - 8 x^{2} + 26 x - 15

E = 12 x^{2} + 26 x + 10

F = 15 x^{2} - 22 x + 8

G = 18 x^{2} - 27 x + 10

H = 8 x^{2} - 22 x + 15

Exercice 8 — Une différence de produits

Développer et réduire. Le produit qui suit un $-$ se développe d'abord entre crochets.

$A = (4 x + 3) (2 x + 5) - (3 x + 2) (2 x - 5)$

$B = (- 2 x + 7) (3 x - 4) + (5 x - 2) (2 x - 3)$

$C = (- 4 x - 5) (- 3 x + 6) - (2 + 3 x) (5 - 4 x)$

$D = (6 x + 1) (3 x - 2) - (5 x - 2) (4 - 3 x)$

Corrigé

A

= 8 x^{2} + 26 x + 15 - [6 x^{2} - 11 x - 10]

A

= 2 x^{2} + 37 x + 25

B

= - 6 x^{2} + 29 x - 28 + 10 x^{2} - 19 x + 6

B

= 4 x^{2} + 10 x - 22

C

= 12 x^{2} - 9 x - 30 - [- 12 x^{2} + 7 x + 10]

C

= 24 x^{2} - 16 x - 40

D

= 18 x^{2} - 9 x - 2 - [- 15 x^{2} + 26 x - 8]

D

= 33 x^{2} - 35 x + 6

Le crochet garde le produit entier ; le $-$ change ensuite tous ses signes.

Exercice 9 — Crochets et trois facteurs

Développer et réduire :

$A = (6 - 3 x) - 4 - (5 x - 2)$

$B = (4 x - 3) + 5 x - (6 x + 2)$

$C = 4 - [6 - (2 x + 3)] + (3 - 4 x)$

$D = 5 x + [2 - (6 - x)] - [3 x - (x - 4)]$

$E = 3 x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5) (x - 3)$

$F = (x + 2) (3 x - 4) (- x + 3)$

Corrigé

A

= 6 - 3 x - 4 - 5 x + 2 = 4 - 8 x

B

= 4 x - 3 + 5 x - 6 x - 2 = 3 x - 5

C

= 4 - [3 - 2 x] + 3 - 4 x = 4 - 2 x

D

= 5 x + [x - 4] - [2 x + 4] = 4 x - 8

E

= 6 x^{2} + 15 x - 4 [2 x^{2} - x - 15]

E

= - 2 x^{2} + 19 x + 60

F

= (3 x^{2} + 2 x - 8) (- x + 3)

F

= - 3 x^{3} + 7 x^{2} + 14 x - 24