Chapitre 4 — Calcul littéral · coursIX Équations produit

Sommaire du chapitre

I — Réduire, substituer
- Méthode 1 — Réduire une expression
- Méthode 2 — Substituer
II — Développer
- Méthode 3 — Développer et réduire
III — Identités remarquables
- Méthode 4 — Développer avec une identité remarquable
IV — Factoriser
- Méthode 5 — Factoriser avec un facteur commun
V — Factoriser avec une identité remarquable
- Méthode 6 — Reconnaître une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
- Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation
VII — Fractions rationnelles
- Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction
VIII — Équations du premier degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré
- Méthode 10 — Inconnue au dénominateur
IX — Équations produit
- Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener
- Méthode 12 — Choisir la forme adaptée
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
- Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$
- Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$
XI — Mise en équation
- Méthode 15 — Résoudre un problème par une équation
XII — Problèmes de géométrie
- Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie
XIII — Isoler une grandeur
- Méthode 17 — Isoler une grandeur

Propriété 8 — Produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$ .

Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener

On met tout dans le membre de gauche ( $\dots = 0$ ), on factorise, puis on écrit « facteur $= 0$ » pour chaque facteur.

Exemples corrigés

Résoudre :

a)
$(x + 3) (3 x - 7) = 0$
b)
$4 x^{2} - 6 x = 0$
c)
$(x + 2) (3 x - 1) = (x + 2) (x + 5)$
d)
$(2 x - 1)^{2} - 9 = 0$

Correction

x + 3 = 0

3 x - 7 = 0

, soit

x = - 3

x = \frac{7}{3}

S = {- 3; \frac{7}{3}}

un facteur est nul

2 x (2 x - 3)

= 0

on factorise par

2 x

2 x = 0

2 x - 3 = 0

S = {0; \frac{3}{2}}

(x + 2) (3 x - 1) - (x + 2) (x + 5)

= 0

tout dans le membre de gauche

(x + 2) [(3 x - 1) - (x + 5)]

= 0

(x + 2) (2 x - 6)

= 0

x + 2 = 0

2 x - 6 = 0

S = {- 2; 3}

[(2 x - 1) - 3] [(2 x - 1) + 3]

= 0

a^{2} - b^{2}

avec

a = 2 x - 1

b = 3

(2 x - 4) (2 x + 2)

= 0

2 x - 4 = 0

2 x + 2 = 0

S = {- 1; 2}

À vous de jouer

Résoudre :

1 °) (4 x - 3) (5 - 2 x) = 0

2 °) 2 x^{2} + 8 x = 0

3 °) (x + 4) (3 x - 2) - (1 - x) (3 x - 2) = 0

4 °) (x - 2) (2 x + 1) = 3 (2 x + 1)

Correction

1°)

4 x - 3 = 0

5 - 2 x = 0

, soit

x = \frac{3}{4}

x = \frac{5}{2}

S = {\frac{3}{4}; \frac{5}{2}}

un facteur est nul

2°)

2 x (x + 4)

= 0

on factorise par

2 x

2 x = 0

x + 4 = 0

S = {- 4; 0}

3°)

(3 x - 2) [(x + 4) - (1 - x)]

= 0

le facteur commun est

(3 x - 2)

(3 x - 2) (2 x + 3)

= 0

x + 4 - 1 + x = 2 x + 3

3 x - 2 = 0

2 x + 3 = 0

S = {- \frac{3}{2}; \frac{2}{3}}

4°)

(x - 2) (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)

= 0

tout dans le membre de gauche

(2 x + 1) [(x - 2) - 3]

= 0

(2 x + 1) (x - 5)

= 0

2 x + 1 = 0

x - 5 = 0

S = {- \frac{1}{2}; 5}

on ne divise jamais par

(2 x + 1)

Méthode 12 — Choisir la forme adaptée

Pour calculer une image : la forme où le calcul est le plus simple ; pour $f (x) = 0$ : la forme factorisée ; pour $f (x) = k$ : la forme où les nombres s'éliminent.

Exemples corrigés

Soit $f (x) = (x + 1)^{2} - 9$ .

a)
Développer, puis factoriser $f (x)$ .
b)
Calculer $f (0)$ , puis résoudre $f (x) = 0$ , $f (x) = - 8$ et $f (x) = - 9$ .

Correction

f (x)

= x^{2} + 2 x + 1 - 9

forme développée

f (x)

= x^{2} + 2 x - 8

f (x)

= [(x + 1) - 3] [(x + 1) + 3]

forme factorisée

f (x)

= (x - 2) (x + 4)

f (0) = - 8

(forme développée).

f (x) = 0

(x - 2) (x + 4) = 0

S = {- 4; 2}

forme factorisée

f (x) = - 8

x^{2} + 2 x - 8 = - 8

, soit

x (x + 2) = 0

S = {- 2; 0}

forme développée

f (x) = - 9

(x + 1)^{2} - 9 = - 9

, soit

(x + 1)^{2} = 0

S = {- 1}

forme de l'énoncé

À vous de jouer

Soit $g (x) = (2 x - 1)^{2} - 16$ .

1°)
Développer, puis factoriser $g (x)$ .
2°)
Avec la forme adaptée : calculer $g (0)$ ; résoudre $g (x) = 0$ , $g (x) = - 15$ et $g (x) = - 16$ .

Correction

1°)

g (x)

= 4 x^{2} - 4 x + 1 - 16

forme développée

g (x)

= 4 x^{2} - 4 x - 15

g (x)

= [(2 x - 1) - 4] [(2 x - 1) + 4]

forme factorisée :

a = 2 x - 1

b = 4

g (x)

= (2 x - 5) (2 x + 3)

2°)

g (0) = - 15

forme développée

g (x) = 0

(2 x - 5) (2 x + 3) = 0

S = {- \frac{3}{2}; \frac{5}{2}}

forme factorisée

g (x) = - 15

4 x^{2} - 4 x - 15 = - 15

, soit

4 x (x - 1) = 0

S = {0; 1}

forme développée : le

- 15

s'élimine

g (x) = - 16

(2 x - 1)^{2} - 16 = - 16

, soit

(2 x - 1)^{2} = 0

S = {\frac{1}{2}}

forme de l'énoncé : le

- 16

s'élimine

À faire : exercices 34 à 38

Exercice 34 — Produit nul

Résoudre dans $R$ :

2 x (3 x - 5) = 0

- 4 x^{2} (3 x - 8) = 0

(- 2 x + 5)^{2} = 0

x^{2} (x + 2) (- 4 - 3 x) = 0

e) $(x + 1) (3 x - 2) (x - 5) = 0$

Corrigé

S = {0; \frac{5}{3}}

S = {0; \frac{8}{3}}

S = {\frac{5}{2}}

S = {- 2; - \frac{4}{3}; 0}

e) $S = {- 1; \frac{2}{3}; 5}$

c) Un carré est nul si et seulement si le nombre est nul : une seule solution.

Exercice 35 — Factoriser d'abord

Résoudre en se ramenant à une équation produit :

3 x^{2} - 8 x = 0

2 x^{3} - 5 x^{2} = 0

c) $(x + 3)^{2} = (x + 3) (4 x - 3)$

d) $(2 x - 5) (3 x + 1) = (2 x - 5) (4 - x)$

e) $9 x^{2} - 4 - 3 (3 x + 2) + x (3 x + 2) = 0$

f) $(3 x - 1) (x + 2)^{2} = 9 (3 x - 1)$

Corrigé

a) x (3 x - 8)

= 0 : S = {0; \frac{8}{3}}

b) x^{2} (2 x - 5)

= 0 : S = {0; \frac{5}{2}}

c) (x + 3) [(x + 3) - (4 x - 3)]

= 0

(x + 3) (6 - 3 x)

= 0 : S = {- 3; 2}

d) (2 x - 5) [(3 x + 1) - (4 - x)]

= 0

(2 x - 5) (4 x - 3)

= 0 : S = {\frac{3}{4}; \frac{5}{2}}

e) (3 x + 2) (3 x - 2 - 3 + x)

= 0

(3 x + 2) (4 x - 5)

= 0 : S = {- \frac{2}{3}; \frac{5}{4}}

f) (3 x - 1) [(x + 2)^{2} - 9]

= 0

(3 x - 1) (x + 5) (x - 1)

= 0 : S = {- 5; \frac{1}{3}; 1}

e) $9 x^{2} - 4 = (3 x + 2) (3 x - 2)$ fait apparaître le facteur commun.

Exercice 36 — Différence de deux carrés nulle

Résoudre dans $R$ :

9 x^{2} - (x + 2)^{2} = 0

(3 x + 1)^{2} - (x + 3)^{2} = 0

c) $(3 x + 5)^{2} - 4 (x + 1)^{2} = 0$

d) $9 (x + 1)^{2} - 4 (2 x + 3)^{2} = 0$

Corrigé

a) (3 x - x - 2) (3 x + x + 2)

= 0

(2 x - 2) (4 x + 2)

= 0 : S = {- \frac{1}{2}; 1}

b) (2 x - 2) (4 x + 4)

= 0 : S = {- 1; 1}

c) [(3 x + 5) - 2 (x + 1)] [(3 x + 5) + 2 (x + 1)]

= 0

(x + 3) (5 x + 7)

= 0 : S = {- 3; - \frac{7}{5}}

d) [3 (x + 1) - 2 (2 x + 3)] [3 (x + 1) + 2 (2 x + 3)]

= 0

(- x - 3) (7 x + 9)

= 0 : S = {- 3; - \frac{9}{7}}

c) $4 (x + 1)^{2} = [2 (x + 1)]^{2}$ .

Exercice 37 — Développer d'abord

Résoudre en commençant par développer. Les $x^{2}$ s'éliminent-ils ?

a) $(3 x - 2) (4 + x) = 3 x^{2} + 5$

b) $(2 x + 3)^{2} = 4 x (x + 0, 5)$

c) $(x + 3) (x - 1) = (x + 5) (x - 4)$

d) $x (4 - x)^{2} = x^{2} (x + 3)$

Corrigé

a) 3 x^{2} + 10 x - 8

= 3 x^{2} + 5

10 x

= 13 : S = {\frac{13}{10}}

b) 4 x^{2} + 12 x + 9

= 4 x^{2} + 2 x

10 x

= - 9 : S = {- 0, 9}

c) x^{2} + 2 x - 3

= x^{2} + x - 20 : S = {- 17}

d) x^{3} - 8 x^{2} + 16 x

= x^{3} + 3 x^{2}

x (16 - 11 x)

= 0 : S = {0; \frac{16}{11}}

En d), ce sont les $x^{3}$ qui s'éliminent ; il reste une équation produit.

Exercice 38 — Choisir la bonne écriture

Pour tout réel $x$ , on pose $E (x) = (x - 2)^{2} - 36$ (forme A).

1.
Prouver que $E (x) = x^{2} - 4 x - 32$ (forme B), puis que $E (x) = (x - 8) (x + 4)$ (forme C).
2.
Avec la forme la mieux adaptée, calculer $E (0)$ , puis résoudre $E (x) = 0$ , $E (x) = - 32$ et $E (x) = - 36$ .

Corrigé

1) $E (x) = x^{2} - 4 x + 4 - 36 = x^{2} - 4 x - 32$ ; $E (x) = [(x - 2) - 6] [(x - 2) + 6]$ , soit $(x - 8) (x + 4)$ .

2) $E (0) = - 32$ (forme B) ; $E (x) = 0$ : $S = {- 4; 8}$ (forme C) ; $E (x) = - 32$ : $x (x - 4) = 0$ , $S = {0; 4}$ (forme B) ; $E (x) = - 36$ : $(x - 2)^{2} = 0$ , $S = {2}$ (forme A).