Chapitre 4 — Calcul littéral · coursVII Fractions rationnelles

Sommaire du chapitre

I — Réduire, substituer
- Méthode 1 — Réduire une expression
- Méthode 2 — Substituer
II — Développer
- Méthode 3 — Développer et réduire
III — Identités remarquables
- Méthode 4 — Développer avec une identité remarquable
IV — Factoriser
- Méthode 5 — Factoriser avec un facteur commun
V — Factoriser avec une identité remarquable
- Méthode 6 — Reconnaître une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
- Méthode 7 — Choisir une stratégie de factorisation
VII — Fractions rationnelles
- Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction
VIII — Équations du premier degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation du premier degré
- Méthode 10 — Inconnue au dénominateur
IX — Équations produit
- Méthode 11 — Résoudre une équation produit, ou s'y ramener
- Méthode 12 — Choisir la forme adaptée
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
- Méthode 13 — Résoudre $x^{2} = a$
- Méthode 14 — Résoudre une équation quotient $A / B = 0$
XI — Mise en équation
- Méthode 15 — Résoudre un problème par une équation
XII — Problèmes de géométrie
- Méthode 16 — Mettre en équation un problème de géométrie
XIII — Isoler une grandeur
- Méthode 17 — Isoler une grandeur

Définition 3 — Fraction rationnelle, valeur interdite

Une fraction rationnelle est un quotient d'expressions dont le dénominateur contient la lettre : $\frac{x - 1}{x + 3}$ , $\frac{2}{5 - x}$ . Une valeur de $x$ qui annule le dénominateur est interdite : pour $\frac{x - 1}{x + 3}$ , c'est $- 3$ .

Propriété 6 — Mêmes règles que les fractions de nombres

Pour $b$ et $d$ non nuls : $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b}$ . On ne simplifie que des facteurs : $\frac{x + 5}{5} \neq = x$ .

Méthode 8 — Écrire avec une seule fraction

On donne les valeurs interdites, on met au même dénominateur, puis on réduit le numérateur seulement.

Exemples corrigés

Donner les valeurs interdites, puis écrire avec une seule fraction :

a)
$A = 2 + \frac{3 x}{x + 2}$
b)
$B = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}$

Correction

x + 2 = 0

pour

x = - 2

: on travaille pour

x \neq = - 2

les valeurs interdites d'abord : un dénominateur ne doit pas être nul

A

= \frac{2 ( x + 2 )}{x + 2} + \frac{3 x}{x + 2}

2 = \frac{2 ( x + 2 )}{x + 2}

A

= \frac{2 x + 4 + 3 x}{x + 2}

A

= \frac{5 x + 4}{x + 2}

Les dénominateurs

x

x + 2

s'annulent en

0

et en

- 2

: on travaille pour

x \neq = 0

x \neq = - 2

une valeur interdite par dénominateur

B

= \frac{x + 2}{x ( x + 2 )} - \frac{x}{x ( x + 2 )}

dénominateur commun

x (x + 2)

B

= \frac{x + 2 - x}{x ( x + 2 )}

B

= \frac{2}{x ( x + 2 )}

le dénominateur reste factorisé

À vous de jouer

1°)
Donner les valeurs interdites, puis écrire avec une seule fraction : $C = \frac{3}{x} + \frac{1}{2}$ $D = \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ $E = x - \frac{4}{x}$
2°)
Bonus. À l'aide de $B$ , calculer $\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \dots + \frac{2}{99 \times 101}$ .

Correction

1°)

C

: pour

x \neq = 0

;

D

: pour

x \neq = 2

x \neq = - 1

;

E

: pour

x \neq = 0

les valeurs interdites d'abord

C

= \frac{3 \times 2}{x \times 2} + \frac{1 \times x}{2 \times x}

dénominateur commun

2 x

C

= \frac{6 + x}{2 x}

D

= \frac{3 ( x + 1 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )} - \frac{2 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )}

dénominateur commun

(x - 2) (x + 1)

D

= \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{( x - 2 ) ( x + 1 )}

on réduit le numérateur seulement

D

= \frac{x + 7}{( x - 2 ) ( x + 1 )}

E

= \frac{x \times x}{1 \times x} - \frac{4}{x}

x = \frac{x}{1}

E

= \frac{x ^{2} - 4}{x}

2°)

D'après

B

\frac{2}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}

: chaque terme est une différence.

avec

n = 1

, puis

3

5

…,

99

somme

= (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{101})

chaque fraction s'annule avec la suivante

somme

= 1 - \frac{1}{101}

il reste le premier et le dernier terme

somme

= \frac{100}{101}

À faire : exercices 24 à 27

Exercice 24 — Valeurs interdites

Donner la ou les valeurs interdites :

A = \frac{2 x + 5}{x + 3}

B = \frac{7}{3 x - 2}

C = \frac{x - 1}{x ( x + 5 )}

D = \frac{4 x}{( 3 x + 2 ) ( 2 - x )}

E = \frac{5}{x ^{2} - 16}

Corrigé

A

- 3

B

\frac{2}{3}

C

0

- 5

D

- \frac{2}{3}

2

$E$ : $x^{2} - 16 = 0$ pour $- 4$ et $4$ .

Exercice 25 — Premiers calculs

Écrire avec une seule fraction, pour $x \neq = 0$ :

A = 2 + \frac{1}{x}

B = 4 - \frac{3}{x}

C = \frac{2}{x} + \frac{5}{x}

D = x + \frac{3}{x}

E = \frac{1}{3} + \frac{2}{x}

Corrigé

A = \frac{2 x + 1}{x}

B = \frac{4 x - 3}{x}

C = \frac{7}{x}

D = \frac{x ^{2} + 3}{x}

$E = \frac{x}{3 x} + \frac{6}{3 x} = \frac{x + 6}{3 x}$

Exercice 26 — Une seule fraction

Écrire avec une seule fraction, en précisant les valeurs interdites :

A = 1 + \frac{3}{x - 2}

B = \frac{4}{x} - \frac{3}{x + 2}

C = \frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x}

D = 3 - \frac{x + 2}{x - 1}

E = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}

Corrigé

A

= \frac{x - 2 + 3}{x - 2} = \frac{x + 1}{x - 2}

B

= \frac{4 ( x + 2 ) - 3 x}{x ( x + 2 )} = \frac{x + 8}{x ( x + 2 )}

C

= \frac{x ^{2} + 2 ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x ^{2} + 2 x + 6}{x ( x + 3 )}

D

= \frac{3 ( x - 1 ) - ( x + 2 )}{x - 1} = \frac{2 x - 5}{x - 1}

E

= \frac{x + 2 + x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{2 x}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

Valeurs interdites : $A$ : $2$ ; $B$ : $0$ et $- 2$ ; $C$ : $0$ et $- 3$ ; $D$ : $1$ ; $E$ : $2$ et $- 2$ .

$D$ : la parenthèse autour de $x + 2$ est indispensable.

Exercice 27 — Démontrer une égalité

1.
Démontrer que, pour tout $x \neq = 1$ : $\frac{2 x - 3}{x - 1} = 2 - \frac{1}{x - 1}$ .
2.
Démontrer que, pour tout $x \neq = 0$ et $x \neq = 2$ :

$\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x ( x - 2 )} .$

Corrigé

2 - \frac{1}{x - 1}

= \frac{2 ( x - 1 ) - 1}{x - 1}

2 - \frac{1}{x - 1}

= \frac{2 x - 3}{x - 1}

\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x}

= \frac{x - ( x - 2 )}{x ( x - 2 )}

\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x}

= \frac{2}{x ( x - 2 )}